北京市丰台区2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析

北京市丰台区2019-2020八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.下列四个图案中，是轴对称图形的是()
A. B.
C. D.
2.若√x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A. x>0
B. x>6
C. x≥6
D. x≤6
3.计算(−b
2a
)3的结果是()
A. −b3
2a3B. −b3
6a3
C. −b3
8a3
D. b3
8a3
4.某一动物细胞，细胞核与细胞壁之间的距离为0.0000075cm，用科学记数法表示为()
A. 7.5×106cm
B. 7.5×10−6cm
C. 7.5×10−5cm
D. −7.5×106cm
5.下列计算正确的是()
A. a2+a2=a4
B. (−a)2−a2=0
C. a8÷a2=a4
D. a2⋅a3=a6
6.如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，补充下
列条件不能证明△ABC≌△DEF的是()
A. AD=CF
B. BC//EF
C. ∠B=∠E
D. BC=EF
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平
分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请
在图形中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有()
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.当x=_________时，分式2x−3
的值为0．
2x+3
10.点P(−3,5)关于x轴的对称点的坐标是_______．
11.分解因式：m3−4m=________．
12.已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是______°.
13.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，BD=1，则BC的长为______．
14.如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一
个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，以顶点A为圆心，适当长为半径
画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于
1
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，
2
若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是．
16.如图，是我国古代数学家杨辉最早发现的“杨辉三角”：下一行的数比上一行的数多1个，每
行的首末的数字都是1，其余各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和﹒“杨辉三角”
的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数：
写出下列展开式：(a+1)4=．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17.解方程：5x−4
x−2=4x+10
3x−6
−1．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）
18.计算：|−2|−(π+2019)°+2cos30°−(1
3
)−1
19.计算：(√3×√15−6√10)÷3√5
20.求代数式x(2x−1)−2(x−2)(x+1)的值，其中x=2017．
21.如图，已知点E，C在线段BF上，∠A=∠D，BE=CF，AC//DF，
求证：△ABC≌△DEF．
22.先化简，再求值：x2−1
x2−4x+4÷(1+1
x−2
)−x
x−2
，其中x=2+√2．
23.如图，AC，BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB.求证：∠ABO=∠DCO．
24.计算：√16−|2−√5|+√27
3．
25.已知：小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨痕污染了(如图)，但知
道∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．(不写作法，保留作图痕迹)
26.甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均
每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．
27.分解因式x2−4y2−2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可
提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2−4y2=2x+4y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+ 2y−2)这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：a2−9b2−2a+6b；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状。

28.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段
BD．
(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据轴对称图形定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.答案：C
解析：解：√x−6在实数范围内有意义，则x−6≥0，
故x的取值范围是：x≥6．
故选：C．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3.答案：C
解析：
此题主要考查了分式的乘方，关键是掌握分式的乘方计算法则．
根据分式的乘方，把分子分母分别乘方进行计算．
解：(−b
2a )3=−b3
8a3
，
故选C．
4.答案：B
解析：解：0.0000075=7.5×10−6；故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.答案：B
解析：解：(A)原式=2a2，故A错误；
(C)原式=a6，故C错误；
(D)原式=a5，故D错误；
故选(B)
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的乘法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
6.答案：D
解析：
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用全等三角形的判定方法即可判断．
解：∵AB=DE，∠A=∠EDF，
∴只要AC=DF即可判断△ABC≌△DEF，
∵当AD=CF时，可得AD+DC=DC+CF，即AC=DF，
当BC//EF时，∠ACB=∠F，可以判断△ABC≌△DEF，
当∠B=∠E时，可以判断△ABC≌△DEF，
故选：D．
7.答案：B
解析：
根据题意知EF是BC的垂直平分线，故B P=PC，故当点P在AC上时，AP+CP有最小值，即AP+BP 取得最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是
解题的关键．
解：连接PC．
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP=PC．
∴PA+BP=AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．
故选：B．
8.答案：D
解析：
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
解：如图，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个，
6+2=8．
故选D．
9.答案：3
2
解析：
本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
的值为0，
解：∵分式2x−3
2x+3
∴2x−3=0且2x+3≠0，
．
解得：x=3
2
故答案为3
．
2
10.答案：(−3,−5)
解析：
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
解：点P(−3,5)关于x轴的对称点的坐标是(−3,−5)，
故答案为(−3,−5)．
11.答案：m(m−2)(m+2)
解析：
本题考查了提公因式法，公式法分解因式.先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：原式=m(m2−4)
=m(m−2)(m+2)．
故答案为m(m−2)(m+2)．
12.答案：50或80
解析：解：分两种情况：
①当80°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数=(180°−80°)÷2=50°；
②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，
故它的底角度数是50∘或80∘．
故答案为50或80．
由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．
13.答案：3
解析：解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=1
×(180°−120°)=30°，
2
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD=1，
在Rt△DAC中，∠C=30°，
∴CD=2AD=2，
∴BC=BD+CD=3，
故答案为：3．
根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得到∠B=∠C=30°，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
14.答案：a+6
解析：
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：拼成的长方形的面积为(a+3)2−32=(a+3+3)(a+3−3)=a(a+6)，
因为拼成的长方形的一边长为a，所以另一边长是a+6．
15.答案：30
解析：
【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及求三角形的面积，熟记性质是解题的关键．判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=1
2AB⋅DE=1
2
×15×4=30．
故答案为30．
16.答案：(1)1，4，6，4，1
(2)a4+4a3+6a2+4a+1
解析：
本题考查了对完全平方公式的应用，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
(1)根据已知图形得出即可；
(2)根据“杨辉三角”的应用，求得展开式．
解：(1)由规律可知，第五行：1，4，6，4，1，
故答案为1，4，6，4，1；
(2)由规律可知：(a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1，
故答案为a4+4a3+6a2+4a+1．
17.答案：解：去分母得：15x−12=4x+10−3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.答案：解：|−2|−(π+2019)°+2cos30°−(1
3
)−1
=2−1+2×√3
2
−3
=1+√3−3
=√3−2
解析：首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
19.答案：解：原式=1
3√3×15×1
5
−2√10×1
5
=√3
3
−2√2．
解析：根据二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.答案：解：x(2x−1)−2(x−2)(x+1)
=2x2−x−2x2+2x+4
=x+4，
当x=2017时，原式=2017+4=2021．
解析：先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．21.答案：证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵AC//DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠D
∠ACB=∠DFE BC=EF
，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
解析：本题考查的是全等三角形的判定、平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据题意得到BC=EF，根据平行线的性质得到∠ACB=∠DFE，利用AAS定理证明即可．
22.答案：解：原式=(x+1)(x−1)
(x−2)2÷x−2+1
x−2
−x
x−2
=
(x+1)(x−1)
(x−2)2
⋅
x−2
x−1
−
x
x−2 =
x+1
x−2
−
x
x−2
=1
x−2
，
当x=2+√2时，原式=
2+√2−2=√2
2
．
解析：先算括号内的加法，把除法变成乘法，再算乘法，算减法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．23.答案：证明：连接BC．
在△ABC和△DCB中，
{AB=DC AC=DB BC=CB
，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠A=∠D，
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS)．
∴∠ABO=∠DCO．
解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等．
连接BC，先证明△ABC≌△DCB，然后证明△AOB≌△DOC，即可证得．
24.答案：9−√5
解析：本题主要考查实数的运算法则，掌握运算法则是解题的关键．
利用实数运算法则将每一项进行化简，然后进行计算即可．
解：原式=4−√5+2+3=9−√5．
25.答案：解：如图作∠EAB=∠1，∠FBA=∠2，射线AE交射线BF于点C，
点C即为所求．
解析：本题考查作图−应用与设计，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．如图作∠EAB=∠1，∠FBA=∠2，射线AE交射线BF于点C，点C即为所求．
26.答案：解：设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打(x+20)个字，
根据题意得：135
x =180
x+20
，
解得：x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解．
答：甲平均每分钟打60个字．
解析：设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打(x+20)个字，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
27.答案：解：(1)a2−9b2−2a+6b
=(a2−9b2)−2(a−3b)
=(a+3b)(a−3b)−2(a−3b)
=(a−3b)(a+3b−2)；
(2)∵a2−ab−ac+bc=0，
∴a(a−b)−c(a−b)=0，
∴(a−b)(a−c)=0，
∴a−b=0或a−c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
解析：此题主要考查了因式分解的方法和应用，要熟练掌握，注意分组分解法的应用．
(1)应用分组分解法，把a2−9b2−2a+6b分解因式即可．
(2)首先应用分组分解法，把a2−ab−ac+bc=0分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可．
28.答案：解：(1)∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−∠A)=90°−α，
∵∠ABD=∠ABC−∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°−α；
(2)△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°−∠DBE=∠EBC=30°−α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°−(30°−α)−150°=α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC，
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形；
(3)∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴∠DCE=150°−60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC=CE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=(180°−150°)=15°，
∵∠EBC=30°−α=15°，
∴α=30°．
解析：(1)求出∠ABC的度数，即可求出答案；
(2)连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°−1
2
α，
且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=1
2∠BAC=1
2
α，求出∠BEC=1
2
α=
∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；
(3)求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°−1
2
α=15°，求出即可．。