(3份试卷汇总)2019-2020学年北京市西城区高一数学下学期期末考试试题
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3．D
【解析】
【分析】
通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.
【详解】
若 ， ，则 ， 错误；
，则 ， 错误；
， ，则 ， 错误；
，则 等价于 ，成立， 正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
4．D
【解析】
该程序的功能是计算并输出分段函数 .
当 时， ，解得 ；
7．A
【解析】
【分析】
根据相邻的两个组的编号确定相邻的两个组的编号分别为12，21，所以组矩为9，
则第一组所取学生的编号为3，第四组所取学生的编号为30.
故选：A
【点睛】
此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.
8．B
【解析】
【分析】
A．40B．36C．30D．20
6．已知函数 ，且此函数的图象如图所示，由点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）
A．30B．31C．32D．33
【详解】
解：由图象可得函数的周期 ∴ ，得 ，
将 代入 可得 ，∴ （注意此点位于函数减区间上）
∴
由 可得 ，
∴点 的坐标是 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用图象求三角函数 的解析式，其步骤如下：
①求 、 ： ， ；
②求 ：利用一些关键点求出最小正周期 ，再由公式 求出 ；
③求 ：代入关键点求出初相 ，如果代对称中心点要注意附近的单调性。
15．如图，在 中，已知点 在 边上， ， ，则 的长为____________．
16．已知 ，则 ________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知不经过原点的直线 在两坐标轴上的截距相等，且点 在直线 上.
（1）求直线 的方程；
（2）过点 作直线 ，若直线 ， 与 轴围成的三角形的面积为2，求直线 的方程.
11．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．63B．62C．61D．60
12．在 中， 是 的中点， ， ， 相交于点 ，若 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题
13．计算： __________.
14．已知 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
8．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则 是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
9．已知圆 ，直线 ，点 在直线 上．若存在圆 上的点 ，使得 （ 为坐标原点），则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知直线 ， ，若 ，则 （）
A．2B． C． D．1
（1）求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围；
（2）求 的最大值及相应的 的值．
21．（6分）设 ．
（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 （ R）．
22．（8分）已知对任意 ， 恒成立（其中 ），求 的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
3．若 ，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，令 ，若 ，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
5．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（）
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{an}的前n项的和Sn，若a2+a8＝6，则S9＝（ ）
A．3B．6C．27D．54
2．甲箱子里装有 个白球和 个红球，乙箱子里装有 个白球和 个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为 ，摸出的红球的个数为 ，则（）
18．某中学从高三男生中随机抽取n名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如表所示：
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.05
第2组
a
0.35
第3组
30
b
第4组
20
0.20
第5组
10
0.10
合计
n
1.00
（1）求出频率分布表中 的值，并完成下列频率分布直方图；
（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.
19．（6分）已知 的外接圆的半径为 ，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，又向量 ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）求三角形 的面积 的最大值并求此时 的周长.
20．（6分）如图是某设计师设计的 型饰品的平面图，其中支架 ， ， 两两成 ， ， ，且 ．现设计师在支架 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 ，且 与 长成正比，比例系数为 （ 为正常数）；在 区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 ，且 与 的面积成正比，比例系数为 ．设 ， ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解.
综上， ，则实数a的取值范围是 .
故选D.
5．C
【解析】
试题分析：利用分层抽样的比例关系,设从乙社区抽取 户，则 ，解得 .
考点：考查分层抽样.
6．B
【解析】
【分析】
先由函数图象与 轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出 的值，再将点 代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出 的值，即可得出答案。
1．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质和求和公式，即可求得 的值，得到答案．
【详解】
由题意，等差数列 的前n项的和 ，
由 ，根据等差数列的性质，可得 ，
所以 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．D
【解析】
可取 ， ； ， ， ， ， ，故选D.
利用正弦定理得到答案.
【详解】
故答案为B
【点睛】
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
9．B
【解析】
【解析】
【分析】
通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.
【详解】
若 ， ，则 ， 错误；
，则 ， 错误；
， ，则 ， 错误；
，则 等价于 ，成立， 正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
4．D
【解析】
该程序的功能是计算并输出分段函数 .
当 时， ，解得 ；
7．A
【解析】
【分析】
根据相邻的两个组的编号确定相邻的两个组的编号分别为12，21，所以组矩为9，
则第一组所取学生的编号为3，第四组所取学生的编号为30.
故选：A
【点睛】
此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.
8．B
【解析】
【分析】
A．40B．36C．30D．20
6．已知函数 ，且此函数的图象如图所示，由点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）
A．30B．31C．32D．33
【详解】
解：由图象可得函数的周期 ∴ ，得 ，
将 代入 可得 ，∴ （注意此点位于函数减区间上）
∴
由 可得 ，
∴点 的坐标是 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用图象求三角函数 的解析式，其步骤如下：
①求 、 ： ， ；
②求 ：利用一些关键点求出最小正周期 ，再由公式 求出 ；
③求 ：代入关键点求出初相 ，如果代对称中心点要注意附近的单调性。
15．如图，在 中，已知点 在 边上， ， ，则 的长为____________．
16．已知 ，则 ________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知不经过原点的直线 在两坐标轴上的截距相等，且点 在直线 上.
（1）求直线 的方程；
（2）过点 作直线 ，若直线 ， 与 轴围成的三角形的面积为2，求直线 的方程.
11．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．63B．62C．61D．60
12．在 中， 是 的中点， ， ， 相交于点 ，若 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题
13．计算： __________.
14．已知 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
8．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则 是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
9．已知圆 ，直线 ，点 在直线 上．若存在圆 上的点 ，使得 （ 为坐标原点），则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知直线 ， ，若 ，则 （）
A．2B． C． D．1
（1）求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围；
（2）求 的最大值及相应的 的值．
21．（6分）设 ．
（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 （ R）．
22．（8分）已知对任意 ， 恒成立（其中 ），求 的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
3．若 ，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，令 ，若 ，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
5．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（）
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{an}的前n项的和Sn，若a2+a8＝6，则S9＝（ ）
A．3B．6C．27D．54
2．甲箱子里装有 个白球和 个红球，乙箱子里装有 个白球和 个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为 ，摸出的红球的个数为 ，则（）
18．某中学从高三男生中随机抽取n名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如表所示：
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.05
第2组
a
0.35
第3组
30
b
第4组
20
0.20
第5组
10
0.10
合计
n
1.00
（1）求出频率分布表中 的值，并完成下列频率分布直方图；
（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.
19．（6分）已知 的外接圆的半径为 ，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，又向量 ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）求三角形 的面积 的最大值并求此时 的周长.
20．（6分）如图是某设计师设计的 型饰品的平面图，其中支架 ， ， 两两成 ， ， ，且 ．现设计师在支架 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 ，且 与 长成正比，比例系数为 （ 为正常数）；在 区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 ，且 与 的面积成正比，比例系数为 ．设 ， ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解.
综上， ，则实数a的取值范围是 .
故选D.
5．C
【解析】
试题分析：利用分层抽样的比例关系,设从乙社区抽取 户，则 ，解得 .
考点：考查分层抽样.
6．B
【解析】
【分析】
先由函数图象与 轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出 的值，再将点 代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出 的值，即可得出答案。
1．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质和求和公式，即可求得 的值，得到答案．
【详解】
由题意，等差数列 的前n项的和 ，
由 ，根据等差数列的性质，可得 ，
所以 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．D
【解析】
可取 ， ； ， ， ， ， ，故选D.
利用正弦定理得到答案.
【详解】
故答案为B
【点睛】
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
9．B
【解析】