电子自旋算符和自旋函数

x *

得：b = c* (或c = b*)
| c |2 0 0 | c |2
0 c* x c 0
x
2
0 c 0 c c 0 c 0
* *
I

| c |2 1
令c = exp[iα ] α 为实，则
ˆ ˆ ˆ ˆ S i Sx j S y k Sz
自旋角动量满足的对易关系是：
ˆ S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
2
ˆ ˆ ˆ S S iS
(7.2 1)
ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [ S x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S iS [ S y , S z ] iS x [ S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ y z x
最后得 SZ 的矩阵 形式
1 0 Sz 2 0 1
（7.2-21） （7.2-22）
Pauli算符的矩阵形式 根据定义
2
1 0 ˆ z Sz 0 1
2

1 0 ˆz 0 1
2 2 2 Sx Sy S z2 . 4
(7.2 3)
2
所以，
3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S Sx S y Sz 4
2
(7.2 4)
令 S s(s 1) (7.2 5) 2 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但 这里s只能取一个数值，即s=1/2.
S z 1 2 1
2
2
矩阵形式
a b 2c d
1 (r , t ) 1 (r , t ) 0 2 0
（7.2-19）
a 1 1 c 0 1
同理对Φ–1/2 处理，有
a 1 c 0
（7.2-20）
a b 0 0 2 c d 2 (r , t ) 2 2 (r , t ) b 0 b 2 0 d d 1 2 2
ˆ ,S ˆ 2 ] [S ˆ ,S ˆ 2 ] [S ˆ ,S ˆ 2] 0 [S x y z
(7.2 2)
ˆ 由于 S 在空间任意方向上的投影只能取两个数值 ， 2 ˆ 、S ˆ 和S ˆ 所以S 三个算符的本征值都是 x y 2 ，它们的平方 z
2 就都是 ： 4
a1 a1 a a 2 2
a1 a1 a 2 0
由归一化条件确定a1
a
所以
0
1 2
* 1
a 0 0 1
1

| a1 | 1 a1 1
1
（7.2-26）
2 2
二、泡利算符
ˆ 的关系是 ˆ ，它和 S 为简便起见，引进一个算符
(7.2 6)
ˆ S
ˆ ˆ S x x 2 ˆ ˆ , S y y 2 ˆ ˆ S z z 2
2
ˆ,
(7.2 7)
ˆ 所满足的对易关系： 将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
若已知电子处于 Sz = /2或Sz = -/2的自旋态， 则波函数可分别写为：
1 (r , t ) 1 2 0 0 1 2 ( r , t ) 2
（7.2-16）
（7.2-11） （7.2-12） （7.2-13）
含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电 子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还 需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋 的波函数需写为：
( x, y, z, Sz , t )
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
（7.2-9）
x , y , z 的本征值
2 x 2 y 2 z



x y z 1
2
常数算符 , , 及 的本征值分别为
2 x2 y z2 1
（7.2-10）
算符间还存在反对易关系 x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
由 S 的对易关系可得

ˆ ˆ 2i ˆ
x y y x 2i z y z z y 2i x z x x z 2i y
（7.2-8）
SZ 的本征方程
令
ˆ Sz ( Sz ) ( Sz ) 2 1 ( S z )和 1 ( S z )分别为本征值
2 2
和 的自旋波函数，即 2 2
ˆ Sz 1 ( Sz ) 1 ( Sz ) 2 2 2 S ˆ 1 (S ) 1 (S ) z z z 2 2 2
（7.2-14）
1 ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) ( r , t ) ( x , y , z , 2 ,t) 2
写成列矩阵
1 (r , t ) 2 (r , t )
（7.2-15）
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性，它不可 能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但它和 其他力学量有根本的差别：一般力学量都可表示为坐标和动 量的函数，自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电 子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量。
一、自旋算符
同理

1 2
0 1
（7.2-27）
二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交


1 2
1 1 0 1 0 2 0
力学量平均值
引进自旋后，任一自旋算符的函数 G 在 Sz 表象 表示为2×2矩阵 G11 G12 G G G （7.2-28） 22 21
e i ( ) 0
这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0,于是得到 Pauli算符的矩阵形式为：
0 1 x 1 0 0 i y i 0
（7.2-23）
0 1 x 1 0
0 i y i 0
算符 G 在任意态Φ中对自旋求平均的平均值
G11 G12 1 * * ˆ G G 1 2 G G 21 22 2



* 1
2
*

G11 1 G12 2 G G 22 2 21 1
因为 Sz 是 2 ×2 矩阵，所以在 S2, Sz 为对角 矩阵的表象内，χ1/2, χ-1/2 都应是 2×1 的 列矩阵。 a1 a3 a a 2 4
1 2 1 2
代入本征方程得：
1 2 0 0 1 a1 a1 a 2 a 2 2
* 1 *
（7.2-29）
*
G11 1 G12 2 2 G21 1 2 G22 2
* 1
算符 G 在 Φ 态中对坐标和自旋同时求平 均的平均值是：
ˆ d G G

*

* 1
2
*

*
G11 G12 1 d G 21 G22 2
1 0 z 0 1 （7.2-24）
自旋波函数
1 2
波函数
(r , S z , t ) (r , t ) ( S z )
（7.2-25）
ˆ 的本征函数， 其中 (Sz ) 是 S z
求：自旋波函数χ(Sz)
求 Pauli 算符的 其他两个分量 令
a ˆx c 1 0 得： 0 1
b 利用反对易关系 ˆ ˆ ˆ x ˆz z x d a b a b 1 0 c d c d 0 1
0 e i x e i 0
求σy 的矩阵形式
ˆy ˆ z ˆx ˆ y i ˆ z ˆx 由i
1 得： y i 0 0 1 0 i e e i 0
0 e i ( )
（7.2-17）
自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（1） SZ的矩阵形式
a Sz 2c b d
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋 波函数上的，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的 矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
（7.2-18）
因为Φ1/2 描写的态， SZ 有确定值 /2 ，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 /2，即有：
* *
[ 1 G11 1 1 G12 2 2 G21 1 2 G22 2 ]d
（7.2-30）
a 0 d 0
a b a b c d c d
σX 简化为： 由力学量算符厄密性
0 b x c 0
0 b 0 c 0 b ˆ ˆ x c 0 b* 0 c 0