切线长定理_课件

B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
作业
今天有任务哦！
习题4.13
下课了!
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
牛刀小试 （2）若AB=6cm, ∠APB=60°,求⊙O的半径OA 及点P到⊙O的切线长PA
A O B
P
定理拓展
若PA、PB是⊙O的两条切 E 线，A、B为切点，直线OP交 于⊙O于点D、E，交AB于C。 O
A
C D B
P
（1）写出图中所有相等的线段 AO=BO=DO=EO，AP=BP，AC=BC （2）写出图中所有相等的弧 AD=BD，AE=BE，DAE=DBE （3）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
折一折
A
1 2
O B
P
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
证一证
若从⊙O外的一点引两 条切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP，你 能发现什么结论？并证明你 所发现的结论。 PA = PB， ∠OPA=∠OPB
∴OA⊥PA，OB⊥PB A
认知准备
问题1: 经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
A P· · O P· · O P· B · O
问题2: 经过圆外一点P，如何做已知⊙O 的切线？
画一画
方法一：借助三角板 方法二：尺规作图
A O· B P
基本概念
A
O
经过圆外一点作圆的 切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长。 P 如图，P是⊙O外一点，
二、选择：
如图所示，PA、PB、DE分 别切⊙O于A、B、C，DE分 别交PA，PB于D、E，已知P 到⊙O的切线长为8CM，则Δ A PDE的周长为（ ）
A 16cm B 14cm
A D O
P
E B
C12cm
D 8cm
三、PA,PB切圆O于A,B两 点,如果PA=4cm，PD=2cm， 试求半径OA的长。
O
D
P
A
拓展提高
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
A
D
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
课堂小结
A
。
O
切线长定理 从圆外一点 引圆的两条切线，它们 的切线长相等，圆心和 P 这一点的连线平分两条 切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
PA，PB是⊙O的两条切 线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长。
B
• • •
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量。 思考：当P点在⊙O上时，过P点可以作圆的切线吗? 此时有切线长吗？
D N C P O M L
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
AD+BC
A
结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质： 圆的内接四边形：角的关系
= B （2）填空：AB+CD （>,<,=)
圆的外切四边形：边的关系
练习
一、判断：
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ） ） （2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（
牛刀再试
2.若延长PO交⊙O于 点C，连结AC、BC， C 你又能得出什么新 的结论?并给出证明. AC=BC， ∠OCA=∠OCB
。
A
O
B
P
证明：∵ PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
∵ PC=PC
∴△PCA ≌ △PCB
∴AC=BC，∠OCA=∠OCB
归纳反思
反思：在解决有关圆 的切线长问题时，往 往需要我们构建基本 图形，添加辅助线。
O
。
A
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
应用
A x x
幻灯片 15
已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。 解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC= Zcm x+y=13 依题意得方程组 E O z 解得: y+z=14
E
A
x
O C D
P
B
PA2 OA2 OP2
即：4
2
x
2

x 2
2
解得： x=
3cm

半径OA的长为3cm
练习
四、填空：
A
O
M
P
C
B
（1）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= 60 °
（Hale Waihona Puke ）若∠APB=70°，则∠AOB= 110 °，∠BAC= 35 °
练习
已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，AC是直径。 求证：BC∥OP B C
A O P 反思：切线长定理为 证明线段相等、角相 等提供新的方法
B
几何语言:
PA = PB ∠OPA=∠OPB
PA、PB与⊙O分别相切于点A、B
牛刀小试
B
1.若连结两切点A、B， AB交OP于点M.（1）你 又能得出什么新的结论？ 并给出证明. OP垂直平分AB
∴PA = PB
O
M
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∠OPA=∠OPB
O
B
P
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
∠OPA=∠OPB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
F
y B y x+y=13 y+z=14 x+z=9
x+z=9 X=4 Y=9 Z=5
D z
C
AF、BD、CE的长分别是 cm、cm、cm。 4 9 5
例题
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和 圆O分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边 形边的关系。（1）找出图中所有相等的线段