辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学2015-2016学年高二上学期期末考试理科数学试题 含答案

高二数学理科期末试题
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分） 1. “0a b >>”是“22a b >”的( ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2.复数121i z i
+=-的虚部是（ ）
A ．i 2
3 B ．2
3 C ．i 2
1- D ．2
1-
3. 已知双曲线
1
C ：
22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为 2.若抛物线
22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线
2
C 的方程为( ）
A. 283
3
x y =
B 。

2163
x y =
C.28x y =
D.216x y =
4．定积分=⎰
π
cos xdx ( ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．π
5．设随机变量X 服从二项分布B （6,错误!),则P （X ＝3)等于（ )
A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D.错误! 6．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人,老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ( ） A ．35
B ．15
C ．25
D ．7
7。

分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B ，“两枚结果相同”记为事件C,那么事件A 与B,A 与C 间的关系是( ).
A ．A 与B,A 与C 均相互独立
B ．A 与B 相互独立,A 与
C 互斥
C ．A 与B ，A 与C 均互斥
D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立
8.给出下列四个命题,其中正确的一个是 ( ）
A. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0； B 。

对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小,“X 与Y 有关系”可信程度越大；
C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差
平方和越大，模型的拟合效果越好；
D ．在线性回归方程ˆ0.212y
x =+中，当x 每增加1个单位
时，预报量平均增加0。

2个单位。

9、随机变量10003（，.）B ξ
,则(25)D ξ-等于（
)
A. 120 B 。

84 C 。

79 D 。

42
10、按照程序框图(如右上图）执行，第3个输出的数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7
11．在区间]2
,2[ππ-上随机取一个数x ,x cos 的值介于0到2
1之间的概率为
( )
A 。

12
B 。

π2 C. 13 D. 3
2
7 8 9 9 44 6 4 7 3
12. 已知()0,12,1--=t t a ，()t t b ,,2=
-的最小值为( ) A.
B. 6 C 。

D. 3
二、填空题（每小题５分，每题５分共２０分） 13。

命题“03,2>+-∈∀x x R x ”的否定是 ． 14。

动圆的圆心在抛物线x 4y
2
=上，且动圆恒与直线01=+x 相切,
则动圆必过定点 ．
15．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨)与相应的生产能耗y （吨)的几组对应数据：根据上表
提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35y
x =+, 那么表中t 的值为
16．右图是2013年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评
委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 和 。

三、解答题：（17题为10分,18题—22题均为12分)
17．在直角坐标系xOy 中，已知动点P 与平面上两定点(1,0),(1,0)M N -连线的斜率的积为定值4-，设点P 的轨迹为C 。

（1)求出曲线C 的方程；
（2）设直线1y kx =+与C 交于,A B 两点，若错误!⊥错误!，求k 的值。

18．已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=
(Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；
(Ⅱ）当0>a 时,若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围； （Ⅲ）若对任意),,0(,21
+∞∈x
x 当21x x ≠时有
0]
2)([2)(2
12211>-+-+x x x x f x x f 恒成立，
求a 的取值范围.
19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)50,40,[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90。

（1）求图中x 的值；
（2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩 在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ得数学期望。

20．如图，已知在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
1PA AD ==，2AB =，F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点．
（1)当E 是AB 的中点时，求证：//AF 平面PEC ；
（2）要使二面角P EC D --的大小为45,试确定E 点的位置．
21、为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查,得到了如下的列联表，若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有6人。

喜欢看该节目不喜欢看
该节目
合
计
女
生
5男
生
10
合计5 0
（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜欢看该节目节目与性别有关？说
明你的理由;
（Ⅲ)已知喜欢看该节目的10位男生中，5位喜欢看新闻，3位喜欢看动画片，2位喜欢看韩剧，现从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求喜欢看动画片的男生甲和喜欢看韩剧的男生乙不全被选中的概率． 参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K
a b c d a c b d -=
++++,其中n a b c d =+++；
①当K 2≥3.841时有95％的把握认为ξ、η有关联； ②当K 2≥6。

635时有99％的把握认为ξ、η有关联.
22。

已知函数36)2(2
3
)(23
-++-=x x a ax
x f 。

（I ）当2>a 时，求函数)(x f 的极小值；
（II ）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数
高二理科数学考试答案
一、选择题
二、填空题 13、03,x
02
00≤+-∈∃x x R
14、)0,1(
15、3 16、85,16 三、解答题
17(1）曲线C 的方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠±． (3)
（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩
，
消去y 并整理得2
2
(4)230k x kx ++-=， 故1
2
12
22234
4
k x x x x k k +=-=-++，．
若OA OB ⊥，即12
12
0x x y y +=．…………………………………………7 而2
12
12
1
2
()1y y k x x k x x =+++，
于是22
121222233210444
k k x x y y k k k +=---+=+++，
化简得2410k -+=,所以12
k =±． (10)
18。

（Ⅰ）当1=a 时，x
x x f x x x x f 132)(',ln 3)(2
+
-=+-=
2)1(,0)1('-==f f ，所以切线方程是2-=y ……3分
(Ⅱ)函数x x a ax x f ln )2()(2
++-=的定义域是()+∞,0 ……4分
当0>a 时，
)0(1
)2(21)2(2)('2>++-=++-=x x
x a ax x a ax x f
令0)('=x f ，即
0)
1)(12(1)2(2)('2=--=++-=x
ax x x x a ax x f
所以a
12
1==x x 或 当110≤<a
，即1≥a 时,)(x f 在],1[e 上单调递增， 所以)(x f 在],1[e 上的最小值是2)1(-=f ；
当e a
<<11时，)(x f 在],1[e 上的最小值是2)1()1(-=<f a
f ,不合题意；
当e a
≥1时，)(x f 在),1(e 上单调递减，
所以)(x f 在],1[e 上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意 综上，1≥a …8分
（Ⅲ）设x x f x g 2)()(+=，则x ax ax x g ln )(2+-=，
由题意可知只要)(x g 在），（∞+0上单调递增即可.
而x
ax ax x a ax x g 1
212)('2+-=+-=
当0=a 时，01)('>=x
x g ，此时)(x g 在），（∞+0上单调递增； 当0≠a 时，只需
0)('≥x g 在
），（∞+0上恒成立， 因为),0(+∞∈x ，只要0122≥+-ax ax ，则需要0>a ， 对于函数122+-=ax ax y ,过定点（0，1），对称轴04
1
>=
x ，只需
82≤-=∆a a ,即
8
0≤<a .
综上80≤≤a 。

……12分
解:（1) (0.006⨯3+0.01+0。

054+x ）×10=1,∴x =0.018 ……………
4
(2) [)90,80的人数=0.018⨯10⨯50=9， []100,90的人数=0.006⨯10⨯50=3 (6)
当0=ξ时,11
62122
9==C C P ;
当1=ξ时,2292
12
13
19==C C C P ； 当2=ξ时，22
12122
3==C C P
ξ的分布列是
(10)
∴=∑=i
i p x E ξ1160⨯
+2291⨯+2212⨯
=2
1 ∴
ξ的数学期望为2
1。

(12)
()()()()()()1,,,,,11110,0,0,0,,,0,,,
222221,0,0,2,1,0,0,0,1,,,,000AB AD AP x y z A xyz A F AF E C P PEC m x y z m EC x y x z m EP -⎛⎫⎛⎫'
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⎧⋅=+=⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎩20.解：由已知,两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系则则设平面的法向量为则()
()()()()(),
011,1,14110,,1,1,10,22,//620,0,1,,0,0,,x m AF m AF m
AF PEC AF PEC
DEC AP E t PEC m x y z m EC ⎧⎨⎩'==-⎛⎫
⋅=⋅-=⊥ ⎪⎝⎭
'
⊄==⋅令得由得又平面故平面由已知可得平面的一个法向量为设，设平面的法向量为则()()
020,11,2,100
5
cos 45,
45
45,.
124
t x y x m t t tx z m EP AP n
t AP n P EC D AE ⎧=⎧-+=⎪'
⇒==-⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩⋅︒=
⇒=⋅'
∴--︒=令得由要使二面角的大小为只需
21、
22。

（I ）)1)(2
(36)2(33)(2
--=++-='x a
x a x a ax x f ………………2分
,2>a 12<∴a ∴当a x 2<或1>x 时，0)(>'x f ；当12<<x a 时,0)(<'x f
)(x f ∴在)2
,(a -∞，（1，)∞+内单调递增,在)1,2(a
内单调递减…………4分
故)(x f 的极小值为2
)1(a f -= ……………………………………5分
(II ）①若,0=a 则2
)1(3)(--=x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点。

……6分
②若,0<a 则12<a ，∴当12><x a x 或时，0)(<'x f ,当12<<x a
时，
0)(>'x f )(x f ∴的极大值为02)1(>-
=a
f )
(x f 的极小值为
0)2
(<a
f )
(x f ∴的图象与
x
轴有三个公共
点。

…………………8分
③若20<<a ，则12>a。

∴当a
x x 21>
<或时,0
)(>'x f ，当
12
<<x a
时,0)(<'x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点…………………10分
④若2=a ，则0)1(6)(2
≥-='x x f )(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ⑤当2>a ，由（I)知)(x f 的极大值为04
3)431(4)2(2
<---=a a f
若0<a ，)(x f ∴的图象与x 轴有三个公共点。

………综上所述，若,
0≥a )(x f 的图象与x 轴只有一个公共点；………12分。