求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)之欧阳数创编

数列的通项公式与求和
时间：2021.03.02 创作：欧阳数
练习1
练习2
练习3
练习4
练习5
练习6
练习7
练习8 等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则
练习9求和：5，55，555，5555，…，，…；
练习10求和：
练习11求和：
练习12设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的
通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．
答案
练习1答案：
练习2证明：
(1)
注意到：
a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由(1)知，
{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1) 又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得：
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n
练习3答案：
1)
a1=S1=1/3(a1-1)
a1=-1/2
a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2
3a2=a2-1+3/2
2a2=1/2
a2=1/4
2)
3Sn=an-1
3S(n-1)=a(n-1)-1
相减：
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/2
所以{an}为等比数列！
练习4 累加法，答案：
练习5 累乘法，答案：
练习6 待定系数法，答案：
练习7 倒数法，答案：
练习8 公式法，答案：
练习9 答案：
．
练习10 ，列项相消法，答案
练习11，,列项相消法
1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]
所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)]
=1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)]
=1+2*[1/2-1/(n+1)]
=2-2/(n+1)
练习12（错位相减法）
答案：解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依
题意有且
解得，．所以，
．（Ⅱ）
．，
①，②
②－①得，
．
时间：2021.03.02 创作：欧阳数。