基于CPA和MDH的机器人运动学参数辨识与标定

基于CPA和MDH的机器人运动学参数辨识与标定
周瑞;房银芳;王金娥;章丽;张峰峰;郁树梅;匡绍龙;孙立宁
【摘要】为了提高机器人的控制精度,在分析国内外现有机器人建模方法和参数标定的基础上,兼顾建模方法的通用性和误差辨识的可操作性,提出一种采用基于圆周点分析(CPA)和修正Denavit-Hartenberg(MDH)联合建模的机器人运动学参数辨识与标定的方法.基于本研究所设计的Articulate机器人的实验结果表明,该方法能够将机器人精度由初始的3.156mm提高到1.525mm,且与单纯使用CPA方法或单纯使用MDH方法相比,本方法具有更高的精度,并能解决MDH方法对初值敏感性问题;本文中提出的机器人参数辨识和误差标定方法是在机器人通用模型基础上实现的,具有良好的可用性和提高精度效果.%To improve the controlling accuracy of robots, a method which combined circle point analysis (CPA) with modified Denavit-Hartenberg (MDH) was proposed to identify the kinematic parameters based on the universal and usability requirements.Experimental results on self-designed articulated-type robot show that the robots′ accuracy is improved from 3.165 to 1.525mm.The proposed method can gain more accuracy than using CPA or MDH method separately and avoid the sensitivity of initial value which affect the final accuracy.It is concluded that the method proposed for robots parameter identification and accuracy calibration has its usability and effectiveness based on the robots universal model.
【期刊名称】《济南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(031)005
【总页数】7页(P414-420)
【关键词】机器人;运动学建模;参数辨识;参数标定;修正Denavit-Hartenberg方法
【作者】周瑞;房银芳;王金娥;章丽;张峰峰;郁树梅;匡绍龙;孙立宁
【作者单位】苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学江苏省先进机器人重点实验室,江苏苏州215021;苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学江苏省先进机器人重点实验室,江苏苏州215021;苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学江苏省先进机器人重点实验室,江苏苏州215021;苏州大学机电工程学院,江苏苏州215021;苏州大学江苏省先进机器人重点实验室,江苏苏州215021
【正文语种】中文
【中图分类】TP24
机器人精度是衡量机器人特性的关键性指标之一，它是指机器人末端位姿与理论位姿的接近程度，一般用误差来表示，即实际位姿与理论位姿之间的差距，差距越小，精度越高。

一般的机器人结构为开链形式，其制造安装过程中的几何误差构成机器人精度误差的主要来源[1-2]。

Vukobratovic等[3]从制造误差对机器人末端精度影响角度进行了分析，从而提出在制造过程中如何选配零部件以提高机器人精度的误差预防方法。

对于已经装配好的机器人，只能采用误差补偿方法，即通过软件而不是改变机械结构或设计来达到最终精度要求的机器人运动学辨识和标定的方法[4]。

结构参数辨识补偿能够显著提高机器人精度[5]。

在应用方面，
误差补偿法一直是机器人领域研究的热点和关键技术之一[6-8]。

机器人参数辨识和标定一般可以分为建模、测量、辨识、标定等4个步骤[9]。

从
机器人建模角度，机器人运动学参数的辨识和标定主要有基于模型的方法和基于无模型的方法2类。

基于模型的方法[10-14]是利用机器人关节和连杆之间的几何关系，建立机器人运动学方程，通过标定，求解机器人模型参数常用Denavit-Hartenberg(D-H)模型。

无模型方法是无需考虑机器人几何参数，直接通过某种手段拟合出关节角度和机器人末端位姿之间关系的方法，常用的方法有遗传算法[15]和人工神经网络等[16-18]。

从测量方法上，分眼在手上和眼在手外2种方式。

眼在手上主要是将测量元件(一般为相机)安装在机器人末端，形成手眼标定的模式[19-23]。

眼在手外主要是利用双经纬测量系统、球杆仪、三坐标测量机、激光跟
踪测量仪等设备进行机器人位姿的测量与标定[24-26]。

从参数辨识角度，文献[2]、[4]中对诸多用于机器人参数辨识的方法进行了总结。

由于D-H模型是机器人运动学最常用表达形式，因此在大多数场合使用的机器人参数辨识与标定方法仍然是以D-H或修正D-H(modified Denavit-Hartenberg，MDH)方法为主[1,6,12,27]。

所有研究者提出的以D-H模型进行的辨识和标定方法都能一次性实现对机器人参
数标定，但张振普等[28]通过实验发现，标定的初始尺寸对标定结果有较大影响；Judd等[1]也发现机器人最大的精度改善来源于角度偏移或者每个轴的零点校正；Roning等[29]指出基于D-H或者MDH方法在进行参数辨识时雅克比矩阵对扰动是敏感的，初始参数偏差对标定结果影响较大。

一般来说，按设计尺寸，刚加
工制造的机器人的精度误差可达5～15 mm[24]，因而在标定前需要尽可能精确
给出相关机器人参数，而不是设计时的数据，以提高机器人参数辨识和标定的精度。

为此，本文中针对自行研发设计的用于医疗的Articulate型机器人，提出采用基于圆周点分析(circle point analysis，CPA)[24,27]和MDH联合建模的D-H参数辨识与标定方法。

首先通过CPA方法确定机器人基坐标和各关节原点坐标，并
直接求出D-H矩阵的初步参数。

在此基础上，运用MDH方法进行参数的修正
和标定。

最后基于自行设计的机器人，搭建平台，进行参数辨识，验证方法的
有效性。

1.1 基于D-H矩阵的机器人参数建模
D-H模型因概念清晰且相对容易编程实现而在机器人领域被广泛接受。

机器人D-
H模型可由相邻两连杆齐次转换矩阵相乘后的4×4型矩阵来表达，即
式中：T为连杆n坐标系相对于机器人基坐标系的转换矩阵；公式(1)中的解释为：dx、dy、dz为末端坐标系原点在基坐标系中的位置；nx、ny、nz为末端坐标系
x轴在基坐标系中的方向向量；ox、oy、oz为末端坐标系y轴在基坐标系中的方
向向量；ax、ay、az为末端坐标系z轴在基坐标系中的方向向量； Ai表示坐标系i-1相对于坐标系i的D-H转换矩阵(图1所示)，相邻连杆空间转换可以由一系列
的旋转和平移得到，即
Ai=rot(z,qi)trans(0,0,di)
trans(li-1,0,0)rot(x,αi-1)，
亦即
图1中，D-H模型中各参数含义为：θi是zi绕xi-1轴旋转到xi轴的角度；αi-1是绕xi-1轴由zi-1轴旋转到zi轴的角度； di为关节之间的距离； li为关节之间
公垂线长度。

基于该D-H参数描述，很容易建立包含旋转关节和平移关机的机器
人通用运动学模型，实现可编程控制的要求。

1.2 CPA方法的基本原理
Stone等[12]在D-H建模基础上，提出了更加通用的S-model用于机器人参数
辨识，该方法在对机器人参数辨识上有更好的操作性，并且在实际场合得到了应用。

Abderrahim等[24]借鉴S-model在辨识旋转关节过程中提出的旋转中心和旋转平面概念，将CPA方法用于旋转关节机器人坐标建立和参数辨识。

其基本
原理是：将机器人末端安装一测量探头，用于描述机器人末端相对于测量坐标系的位置关系；然后将机器人从末端关节开始，每次只转动一个关节，用测量探头测出该关节在旋转一圈过程中的位置坐标。

理论上单个关节旋转一圈，探头测量的点形成一个旋转平面，且相关点是绕着关节轴(旋转轴)和半径形成的一个圆周上(如图2所示)。

在旋转平面上以旋转轴上某特定点为原点建立坐标系，其相对机器人基坐标的变换矩阵见式(4)。

式中：坐标系的z轴由过旋转中心的旋转平面的法线方向矢量表示；旋转平面上轴X、 Y分别用和表达，但必须满足D-H规定，即沿着连杆长度方向，与在旋转平面上形成正交；对于两平行关节，为两旋转轴心的公垂线方向； Ti为旋转平面坐标系相对于基坐标系(或者测量坐标系)的其次变换矩阵。

在实际应用过程中，利用单个关节运动采集的点，可用最小二乘法拟合出旋转平面方程，同样也可用最小二乘法拟合出该平面上的圆，然后得旋转中心(旋转轴线)、旋转半径，从而求出Ti相关参数。

这样，由式(1)、(2)，可以推导出式(5)，
由式(1)、(2)、(5)，采用从右到左迭代可求出Ai。

1.3 基于CPA方法的机器人连杆坐标建立和D-H参数初辨识
D-H参数建模过程主要就是确定机器人基坐标系和关节坐标系的关系过程，而CPA方法能很好地实现该过程。

由于滑动关节很容易确定[27]，因此这里主要讨论旋转关节情况。

1.3.1 机器人基坐标系确立
在机器人参数辨识和标定过程中，需要确定机器人基坐标系和测量坐标系之间的关系[24]，也就是确立基坐标系的问题。

如图3所示，首先在机器人底座平面上采集n个点(n>4)，拟合形成平面β，再使用旋转法得到机器人底座上定位孔轴线，作为机器人基坐标zb轴方向，并且计算
其与平面β的交点pref1，作为基坐标系的原点。

同样可以得到机器人基坐另一个定位孔的轴线，并且得到参考点pref2，连接2个参考点得到，该向量为基坐标系的xb轴。

根据上述信息，最后可以确定基坐标系。

根据基坐标系信息，可以建立机器人坐标系{o0}，使用圆周法，得到z0轴，并且
求得该轴与平面β的交点o0，x0方向与xbobzb平面平行，y0由z0和x0按右手法则确定。

1.3.2 关节D-H参数误差辨识
图4所示为相邻连杆坐标系关系。

根据机器人D-H设计参数，在已确立轴o0坐
标系下，可根据机器人设计参数，确定理论上i-1轴坐标系在测量过程中，利用CPA方法，可确定实际轴线(旋转轴线)。

此时，规定轴线与坐标系的X-Y平面相
交的点作为i轴的实际坐标系原点，构建坐标系其中，坐标系的由zi指向zi+1(垂直于)来确定，yi方向由zi与xi的右手法则来决定。

基于D-H参数定义，可按图
4给出的关系求出Δθi、Δdi、Δai、Δli等参数。

需要注意的是，这种方法缺陷在于将实际坐标原点设置在理论计算的坐标系平面上，也就是将到i+1连杆之间的距离作为i连杆和i+1连杆之间的公垂线距离(连杆长度)，但它可以避开因相邻连杆近似平行导致的D-H参数突变问题，并且实际应用中，相邻两杆之间的位置关系偏差很小，故这种假设是可以接受的。

当机器人基坐标系和关节坐标系都确立后，特别是D-H矩阵参数的误差确立后，
就可以直接求出各连杆D-H参数。

由于D-H模型在标定相邻两连杆平行或近似平行的机器人会因参数微小误差而导
致求解过程困难，且求解的D-H参数突变问题。

Hayati[13]提出了带5个参数的MDH模型(图5所示)，即针对相邻两连杆平行或近似平行时，在原有的D-H模型基础上附加一个绕yi轴旋转βi的转动项参数，
记为rot(y,βi)，此时MDH模型中两相邻坐标系的变换为
Ai=rot(zi-1,θi)trans(0,0,di)
trans(li-1,0,0)rot(xi,αi)rot(y, βi)。

MDH模型的5个参数分别是关节角θi、偏移di、连杆长度ai、扭角αi和βi。

当相邻关节不平行时，扭角βi值定义为0;当相邻关节平行时，di定义为0。

变换
矩阵Ai修正为
当关节之间变换关系为MDH模型，MDH参数之间有Δθi、Δdi、Δai、Δli、Δβi 的微小误差，则两关节之间的变幻矩阵Ai的变化为
由各个参数引起工具坐标系与末端坐标系之间的误差关系为
0Tn+dTn=(A1+dA1)(A2+dA2)…(An+dAn)，
化简上式得
d0Tn≈(A1A2…AndA1A2…An)=
记理论位置与实际位置之间误差为dx、 dy、 dz，则有
式(10)即为MDH参数杆件误差与机器人末端位置误差之间的关系，J为雅可比矩阵，由式(11)计算得到ΔQ(各参数误差)。

此时，可以利用最小二乘法求解杆件参
数误差的最优解，使得最终计算位置与实际位置之间误差最小。

3.1 实验平台及实验过程
本文中所设计的Articulate机器人简图以及按D-H方法建立的坐标系如图6所示，其D-H模型的相关参数见表1。

该机器人齐次变换矩阵可表达为
基于本文设计和制造的机器人，利用莱卡Leica-AT901型激光跟踪测量仪，在MATLAB环境下编制程序，搭建机器人参数辨识和标定平台(图6a)。

按照前述CPA方法，首先进行每个轴的运动和测量，每个轴测量150个点，辨识机器人
各关节坐标和D-H参数。

最后激光跟踪测量仪的探头安装于末端关节处，将机器
人在其运动空间范围内随机记录800个点，针对CPA辨识结果，利用这些点进行基于MDH的机器人参数重新修正和标定。

3.2 结果
按照上述方法计算出的相关参数见表2，机器人精度误差统计列于表3中。

实验结果表明，利用CPA和MDH方法可以提高机器人运动参数辨识的精度，它
比单纯使用CPA方法或单纯使用MDH方法有更好的效果。

本文中针对自行研发设计的用于医疗的Articulate型机器人，提出采用基于CPA
和MDH方法的机器人D-H参数辨识与标定方法。

实验结果表明，基于该方法辨
识与标定后，机器人精度有明显提高，基本达到可用要求。

实际上，这个精度是全工作空间范围内的，由于该机器人每个关节运动范围都很大，如果将2、3关节运动范围限制在适合手术要求的区域范围[30]内，绝对精度可达1.0 mm以内，可以满足大多数医疗环境对机器人精度的要求。

此外，本文中所设计机器人关节减速机为谐波齿轮减速器，关节柔性较大[31]，加上机械臂整体长度较长，重力也会导致机器人误差增大，如果需要更高精度的标定，未来还需要考虑这些因素对机器人精度的影响[32-36]。

MDH方法的引入会带来一个额外的扭角，导致与D-H运动学模型不兼容，特别是求解逆运动学时会有麻烦。

实际上，对于相邻两杆设计为平行的关节，加工制造后扭角值很小，一般情况下可以忽略，只是为了辨识参数过程中的求解所用。

基于本文中所设计的机器人，根据辨识结果，当忽略扭角按照D-H模型进行运
算时，最终均方根误差精度为1.525 mm，而带扭角误差计算结果为1.523 mm，因此这种影响是可以忽略的。

从本文中的研究结果来看，机器人初始参数对标定结果的确有很大影响，利用CPA和MDH方法分2个步骤进行机器人参数标定是一个有效的手段，尽管过程
稍微复杂。

当然，一些研究者提出了相对简易的辨识方法，如神经网络等，本文中
根据所测数据按照相关方法进行了分析，针对本文中的机器人，其标定结果并没有相关研究者给出的分析那样有效，因而可以说明，在实际应用过程中，找到一个有效的方法对机器人参数进行辨识和标定是非常重要的。

同时，针对自行研发的机器人，建模方法还要考虑其通用性问题，为未来推广提供便利。

【相关文献】
[1] JUDD R P, KNASINSKI A B. A technique to calibrate industrial robots with experimental verification[J]. IEEE Transactions on Robotics & Automation, 1990, 6(1): 20-30.
[2] 王东署, 迟健男. 机器人运动学标定综述[J]. 计算机应用研究, 2007, 24(9): 8-11.
[3] VUKOBRATOVIC M, BOROVAC B. Accuracy of the robot positioning and orientation assessed via its manufacturing tolerances[J]. Mechanism & Machine Theory, 1995, 30(1): 11-32.
[4] ELATTA A Y, LI P G, FAN L Z, et al. An overview of robot calibration[J]. Information Technology Journal, 2004, 3(5): 377-385.
[5] REN X D, FENG Z R, SU C P. A new calibration method for parallel kinematics machine tools using orientation constraint[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2009, 49(9): 708-721.
[6] 黄晨华,张铁,谢存禧.工业机器人位姿误差建模与仿真 [J]. 华南理工大学学报(自然科学版), 2009, 37(8): 65-70.
[7] LIU B, ZHANG F, QU X, et al. A rapid coordinate transformation method applied in industrial robot calibration based on characteristic line coincidence[J]. Sensors, 2016, 16(2): 239.
[8] JOUBAIR A, ZHAO L F, BIGRASP, et al. Absolute accuracy analysis and improvement of
a hybrid 6-DOF medical robot[J]. Industrial Robot, 2015, 42(1): 44-53.
[9] MOORING B, DRIELS M, ROTH Z. Fundamentals of manipulator calibration[M]. New York: John Wiley & Sons, Inc. 1991.
[10] NGUYEN H, ZHOU J, KANG H, et al. A calibration method for enhancing robot accuracy through integration of an extended Kalman filter algorithm and an artificial neural network[J]. Neurocomputing, 2015, 151: 996-1005.
[11] MOORING B, DRIELS M, ROTH Z. Fundamentals of manipulator calibration[M]. New York: John Wiley, 1991.
[12] STONE H, SANDERSON A, NEUMAN C. Arm signature identification[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation.San Francisco:IEEE, 1986:
41-48.
[13] HAYTATT S A. Robot arm geometric link parameter estimation[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Decision & Control.Athens:IEEE,1983:1477-1483. [14] HE R, ZHAO Y, YANG S, et al. Kinematic-parameter identification for serial-robot calibration based on POE formula[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2010, 26(3): 411-423.
[15] DOLINSKY J U, JENKINSON I D, COLQUHOUN G J, et al. Application of genetic programming to the calibration of industrial robots[J]. Computers in Industry, 2007, 58(3): 255-264.
[16] JANG, HYUN J, KIM, et al. Calibration of geometric and non-geometric errors of an industrial robot[J]. Robotics, 2001, 19(3): 305-701.
[17] BAI Y,ZHUANG H. Modeless robots calibration in 3D workspace with an on-line fuzzy interpolation technique[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Man and Cybernetics.Washington:IEEE,2004:5233-5239.
[18] 王东署,付志强.机器人逆标定方法研究[J]. 计算机应用, 2007, 27(1): 120-122.
[19] ZHONG X L, LEWIS J M, NAGY F L. Autonomous robot calibration using a trigger probe[J]. Robotics & Autonomous Systems, 1996, 18(4): 395-410.
[20] WATANABE A, SAKAKIBARA S, BAN K, et al. A kinematic calibration method for industrial robots using autonomous visual measurement[J]. CIRP Annals: Manufacturing Technology, 2006, 55(1): 1-6.
[21] MENG Y, ZHUANG H. Autonomous robot calibration using vision technology[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2007, 23(4): 436-446.
[22] LIU Y,XI N,ZHANG G,et al. An automated method to calibrate industrial robot joint offset using virtual line-based single-point constraint approach[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Robots and Systems.Piscataway:IEEE,2009:715-720.
[23] 王君臣,王田苗,杨艳,等.非线性最优机器人手眼标定[J]. 西安交通大学学报, 2011, 45(9): 15-20.
[24] ABDERRAHIM M, KHAMIS A, GARRIDO S, et al. Industrial robotics: programming, simulation and applications [M]. Austria: Pro Literatur Verlag, 2006.
[25] YOUNG K, PICJKIN C G. Accuracy assessment of the modern industrial robot[J]. Industrial Robot, 2013, 27(6): 427-436.
[26] 叶声华,王一,任永杰,等.基于激光跟踪仪的机器人运动学参数标定方法[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版), 2007, 40(2): 202-205.
[27] ABDERRAHIM M, WHITTAKER A R. Kinematic model identification of industrial manipulators[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2000, 16(1): 1-8.
[28] 张振普,张爱民. 一种不完全补偿机器人标定方法[J]. 机械, 2012, 39(8): 67-73.
[29] RONING J,KORZUN A. A method for industrial robot calibration[C]//Proceedings of IEEE International Robotics and Automation.New Mexico:IEEE,1997:1477-1483.
[30] KUANG S, LEUNG K S, WANG T, et al. A novel passive active hybrid robot for
orthopaedic trauma surgery[J]. International Journal of Medical Robotics and Computer Assisted Surgery MRCAS, 2012, 8(4): 458-467.
[31] HAGN U, NICKL M, JORG S, et al. The DLR MIRO: A versatile lightweight robot for surgical applications[J]. Industrial Robot, 2008, 35(8): 324-336.
[32] ABTAHI M, PENDAR H, ALASTY A, et al. Experimental kinematic calibration of parallel manipulators using a relative position error measurement system[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2010, 26(6): 799-804.
[33] STONE H,SANDERSON A. A prototype arm signature identification
system[C]//Proceedings of IEEE International Robotics and
Automation.Raleigh:IEEE,1987:175-182.
[34] ALICI G, SHIRINZADEH B. A systematic technique to estimate positioning errors for robot accuracy improvement using laser interferometry based sensing[J]. Mechanism & Machine Theory, 2005, 40(8): 879-906.
[35] ZHANG H, ROTH Z S, HAMANO F. A complete and parametrically continuous kinematic model for robot manipulators[J]. IEEE Transactions on Robotics & Automation, 1992, 8(4): 451-463.
[36] SCHROER K, ALBRIGHT S L, GRETHLEIN M. Complete, minimal and model-continuous kinematic models for robot calibration[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 1997, 13(1): 73-85.。