在探究中自然发现参数讨论的界点r——以含有参数的函数、导数问题为例

在探究中自然发现参数讨论的界点r——以含有参数的函数、
导数问题为例
徐道奎
【摘要】含有参数的函数、导数问题中,参数讨论的界点确定较为困难,教学中要充分暴露确定界点的思维过程,引导学生在探究的过程中,自然发现参数讨论界点,培养学生能力、提升学生素养.
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2017(000)012
【总页数】5页(P46-50)
【关键词】参数界点;探究过程;自然生成
【作者】徐道奎
【作者单位】安徽省金寨第一中学
【正文语种】中文
含有参数的问题一直是学生学习的难点，尤其是对参数分类标准的确定，亦即参数讨论界点的确定较为困难.事实上，对参数的讨论是自然而然的，它是学生基本数学素养的体现，只有具备扎实的数学功底，才能在分析、讨论中逻辑严密，丝丝入扣，下面以含有参数的函数、导数问题的具体实例予以说明.
例1已知函数
（1）若m=2,求函数f(x)的极大值；
（2）定义函数其中max{a,b}表示a,b中的较大者，e为自然对数的底数，当时，
试探究函数g(x)的零点个数.
现对第（2）小题进行分析.
师：怎样求出函数g(x)的零点？
生1：需要对函数g(x)中的两个函数h(x)=ex-e,图象做具体的分析，以确定函数g(x)的图象的形状、零点情况.
师：函数h(x)的图象容易分析，怎样分析函数φ(x)的图象呢？
生2：用导数分析.令
师：用导数探究函数的图象，重点是看导数的取值是什么情况，怎样分析函数的导数呢？
生3：分析导数即分析导数的正负，得出函数单调区间，必须对参数进行分类. 师：为什么要对参数予以分类呢？
生4：在解导数φ′(x)=-3x2+m大于0、小于0的不等式时，m的正、负、0决定着导数大于0、小于0的解集.因此，要对m分正、负、0进行讨论.
师：得出导数大于零、小于零的解集后，还需要进行讨论吗？为什么？
生5：需要，因为仅有单调区间还不能准确知道函数图象的形状，求不出零点，也不知道h(x)与φ(x)两个图象的位置关系.
师：应该如何讨论呢？
学生共同探究，讨论后总结：当m≤0时，函数φ(x)单调递减，注意到φ(0)＜0,可以根据函数φ(x)与h(x)的位置关系、零点状况，得出g(x)的图象，进一步得出零点；当m＞0时，φ(x)的两个极值点之一x1(x1＜x2)的函数值φ(x1)＜0，另一个极值点x2的函数值φ(x2)的符号不确定，当函数值φ(x2)＜0时，能够分析出φ(x)的零点及图象情况，得出g(x)的图象及零点；当函数值φ(x2)＞0或φ(x2)=0时，还需要分析h(x)与φ(x)图象的位置关系，以及各自零点情况才能得出g(x)的图象及零点.
从以上师生探讨的过程中可以看出，对参数的讨论要顺其自然，到达什么环节，讨论什么问题.不一定要事先规划好参数讨论的全部程序.例如，分析导数正负时，需
要解不等式.如何解不等式？不等式解集如何？要结合不等式特点讨论，解出不等
式后，要分析单调区间，分析极值点的函数值（正负或大小），分析g(x)中两个
函数φ(x)与h(x)图象及其位置关系，进一步分析g(x)图象，得出g(x)零点.
怎样使学生能够对参数顺其自然地进行分类讨论呢？关键在于在探究过程中培养学生的参数处理意识和参数分类意识.参数处理应遵循双重性原则，先淡化后深化，
没有涉及参数运算时，它就是一个普通数，不要把参数当成参数，要告诉学生不要急于分类（事实上，学生此时也不知道怎样分类），不要因为有参数就不会分析了，参数也是数；在参数参与运算时，要知道它不是固定不变的数，不要把参数当成是一个固定的数，甚至当成正数，此时要结合具体运算进行分类.
例2已知函数f(x)=(ax-1) e2x+x+1（其中e为自然对数的底数）.
（1）若a=0,求函数f(x)的单调区间；
（2）对∀x∈(0,+∞),f(x)＞0恒成立，求a的范围.
现对第（2）小题进行分析.
处理恒成立问题有三种方法常见解法，即直接最值法、分离后最值法、不等式解集子集法.当然，对于含有参数的问题，如果采用分离后最值法可以避免讨论，但是
往往比较复杂（此题可以用此法）.现在引导学生用直接最值法，通过在探索过程
中不断发现需要对参数进行讨论的契机，找到讨论a的界点.
师：不等式恒成立问题通常转化为函数问题进行处理.怎样利用函数方法讨论不等
式恒成立问题呢？怎样分析函数呢？请试一试.
生6：用导数解决，f′(x)=(2ax-2+a) e2x+1,接下来不知道该怎么办了.
师：下一步应该做什么？
生7：应该解f′(x)＞0或f′(x)＜0的不等式，但是比较困难.
师：不能解出导数大于0、小于0的不等式，这时我们应该怎么办？另寻出路？生8：用其他方法分析出导数的正负.例如，二次求导，即对导数f′(x)再用求导法分析.
师：如果二次求导，应该怎样分析？
学生进行探究：令f′(x)=g(x),则g′(x)=4×(ax-1+a) e2x.
分析的路线是：g′(x)的正负→f′(x)的增减→f′(x)的正负→f(x)的增减（此线路以下简称“线路1”），其中，确定g′(x)的正负是关键，而g′(x)的正负取决于ax-
1+a的符号，需要解不等式ax-1+a＞0或ax-1+a＜0.
师：怎样解？是否还需要讨论？
生9：要对a的正、负、0进行讨论，求不等式的解集，还需要对与0的大小进行比较.
师：很好，这样分析，可以求得结论，但是过程很复杂，能否有更为简单的方法就能确定参数讨论的界点呢？
学生思考、尝试.
师：我们强调过，当导数中参数讨论比较复杂，或无法求解导数大于0、小于0的不等式时，可以整体分析，特殊发现，寻找契机，找到参数讨论的突破口.
生10：不能直接分析其正负.
生11：函数f(x)是连续的，当x=0时，f(x)=0,在(0,x0)的微小区域内（x0很小很小的含义），必然有f′(x)=(2ax-2+a) e2x+1≥0,用极限思想，可知a≥1.
注：以前在研究性学习中涉及过函数关键点处的微观、微场景分析法.
师：很好，还有什么发现？
生12：二次求导后，x→0,当a=1时，ax-1+a=0,即二阶导数为0.
生13：取x∈(0,+∞)的特殊值（如取x=1,不失一般性，f(x)＞0必然成立，也可以发现a→1.
师：非常好，现在所有的观察与发现全部指向a=1,能否试着以a＞1,a=1,a＜1分类呢？
学生共同探究之后认为可以按照a＞1，a=1，a＜1分类，根据线路1逐步逆推，最终得出结论：a≥1符合题意，a＜1不符合题意.
对导数式的结构、特点进行探究，能发现契机，或找到讨论参数的界点，或缩小参数讨论的范围，使问题变得简单.例如，发现某点函数值或导函数值的特殊性，用特殊值代入，锁定参数讨论的范围，分析端点函数值情况，观察出明显使得导数恒正、恒负的参数取值范围等.
除此之外，还应注意，题目中的问题设置往往具有连续性，利用前问的结论或结论获得过程中的结论和方法发现问题解决的契机，找到参数分类的方法.
例3（2016年四川卷·理21）设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）确定a的所有可能取值，使得在区间(1,+∞)内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）.
现对第（2）小题进行分析.
引导学生探究（师生探究活动过程、对话过程略），主要精神如下.
由第（1）小题的结论，可知当a≤0时，f′(x)＜0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.因为f(1)=0,所以f(x)在区间(1,+∞)上小于0.但是存在x∈(1,+∞)使大于0（如x=2时）.这样，不恒成立，显然a≤0不合题意.这样，参数a只要在大于0的范围内讨论即可.再次利用第（1）小题的结论，当a＞0时，上单调递减，在上单调递增.因此，只要讨论1与的大小关系即可.同样，注意到f(1)=0,因此(1,+∞)上不能有减区间，显然只有即a的范围是
当然，此题的第（2）小题也可以不依赖第（1）小题直接得出，也可以像上例一样发现参数界点，大家可以一试.
发现契机，找到参数分类的界点关键要培养学生基本的思维能力，包括直觉观察、归纳演绎、分析判断能力，培养学生多角度思考的视角，包括灵活变式、特殊代入、直接确定、间接排除、等价转化等.在教学时，教师要在分析中暴露思维过程，让
学生先做后学，然后把脉问诊、分析病因.教师要善于引导学生发现条件和结论之
间的关联，鼓励学生发散思维、动手动脑，帮助学生进行比较，使参数界点确定水到渠成，自然生成.
利用导数分析函数的关键是分析影响导数正负的因素，明确讨论的方向，找到参数讨论的界点.
有时候虽然需要讨论的地方很多，但是参数分类标准及方向比较明确，这时可以将它们整合在一起，统筹考虑，一并解决.
例4（2014年全国Ⅰ卷·文21）已知函数f(x)=曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.
（1）求b;
（2）若存在x0≥1,使得求a的取值范围.
现对第（2）小题进行分析.
师：导数的正负取决于什么？如果导数中含有参数a，如何划分参数a的讨论区间呢？
引导学生进行分析：函数定义域为(-1,+∞),导数的正负取决于分子，显然应该考虑a2-2a与-1（定义域端点）和0（导数等于0的一个根）的大小关系，分1＜a＜2,a=2,a＞2三种情况进行讨论.
例6已知函数
（1）当a=-2时，求函数f(x)的极大值；
（2）若函数f(x)有极大值，求实数a的取值范围.
现对第（2）小题进行分析.
学生探究：f′(x)=1+asinx,在分析出导数正负时遇到障碍.
师：该导数有什么特点？它对我们参数讨论的界点确定有何启发？分析时怎样结合导数式的特点？
生15：因为|sinx|≤1,-|a|≤asinx≤|a|,所以应该考虑a与±1的关系，分-1≤a≤1,a ＞1和a＜-1三种情况进行讨论.
学生共同探究.
①当-1≤a≤1时，无极值；
②当a＞1时，由1+asinx=0,得
综上所述，a的取值范围是(-∞,-1).
数学问题思考的方向尤为重要，有方向才不至于隐隐约约，有方向才会清清楚楚，有方向才会自然而然.而明确方向在于对信息特征的把握，在参数分类、界点确定的过程中，教师要不断强化学生观察、分析问题的敏感性，敏感性从何而来？在于学习过程中和探究实践中的感悟、体验，在于思维和经验的积累.
对参数讨论的区间划分（范围确定）不可能一步到位、一蹴而就，要层层递进，逐层分析.具体在某一层次的分析时，需要讨论哪些一般是固定的，要按部就班，不要手忙脚乱.
例如，我们解不等式，则需要确定：（1）这是什么不等式（若为整式不等式，则需要进一步确定是一次不等式还是二次不等式）？（2）整式不等式的解集的区间端点往往是对应的方程的根（也有可能是定义域端点），那么方程有没有实数根？实数根哪一个是大根，哪一个是小根？（3）若要考虑函数定义域，则解集区间的端点与定义域区间的端点是什么关系？
在用导数解决函数时，对参数的分层讨论要围绕怎样判断导数符号来进行.一般有以下四个层次：（1）分导数恒大于等于0、恒小于等于0、有正有负几种情况确定参数讨论的范围；（2）当导数有正有负时，解导数大于（小于）0的不等式，
要依据不等式的特点对参数进行讨论（同前分析）；（3）对导数零点与定义域区间端点的关系进行讨论；（4）还要结合区间内极值、最值、零点、图象变化趋势等情况综合确定参数讨论的界点.
为了不显得重复，我们选择与例1类似的高考试题，看如何在讨论中理出层次，
然后分层确定、分层讨论.
例7（2015年全国Ⅰ卷·理21）已知函数
（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；
（2）用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x＞0),讨
论h(x)零点的个数.
现对第（2）小题进行分析.
师生共同探究：当x＞1时，g(x)＜0,函数h(x)没有零点，只要分析区间(0,1]上
h(x)的零点即可.而(0,1)上g(x)也没有零点，因此实际上只要分析f(x)在(0,1]上零点.用导数分析f(x)的图象，要对参数a进行讨论.如何确定参数讨论的界点呢？师：在确定参数讨论界点时，先考虑什么？后考虑什么？有没有层次呢？
学生思考后回答.
生16：考虑参数时，有先后之分，分三个层次进行思考.
留足时间，让学生探究后回答.
生17：（层次1）依据函数单调性不同进行分类.因为f′(x)=3x2+a,所以当a≥0时，f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在定义域(0,+∞)上有增有减.因此，0是对参数a讨论的最先确定的界点.得到当a≥0时，函数h(x)仅有一个零点；而当a＜0时，函数f(x)在定义域(0,+∞)上有增有减，故要进一步分析函数在区间(0,1]上的单调性.
生18：（层次2）定义域内单调区间的划分.当定义域区间内有增有减时，通过确
定参数讨论的界点，将区间细化.当a＜0时，解导数大于（小于）0的不等式得
f(x)在定义域内单调区间为上单调递减，f(x)上单调递增，因为我们只需要考虑在(0,1]上零点，所以要讨论1与的大小关系，以便确定f(x)在区间(0,1]上的单调性.
此时，又将a分为a≤-3和-3＜a＜0两种情况，接着需要研究上述两种情况下函
数f(x)的最小值的正负（注意到x=1时，g(x)=0,因此要讨论函数f(x)最小值的正负）.
生19：（层次3）区间最值分析.
（1）当a≤-3时，函数f(x)在(0,1]上单调递减，函数的最小值为要分析其正负，
需要对a的范围再分为
教师进行总结，画出层次分析树图（略）.
根据以上分析，分别考虑各种情况下函数的零点.
综上，当时，h(x)有一个零点；
当h(x)有两个零点；
当h(x)有三个零点.
上述案例说明，对参数的讨论一般不可能一步到位，需要逐层确定，嵌套分析，最后综合.分层是参数讨论最基本的做法，分层使得思维有条理，问题解决有章法，
很多涉及参数的问题都是通过分层逐步确定的，要在探究中体现参数讨论界点的自然生成，让学生实际操作，使学生对参数界点确定由模糊到清晰，再到自然生成，促进其对函数导数问题的深度理解.例2也可以采用分层逐步确定参数范围的方法，大家可以再试一试.
分层确定参数讨论的界点也是教师还原思维过程的良好契机，是培养学生逻辑思维能力的重要抓手，教学中应给予足够的重视.
对参数的讨论最能反映思维的缜密程度和基础的扎实程度，参数分类讨论在高中数学教学中的地位是显而易见的，教师在教学中要从训练学生的基本方法入手，让学生积累基本思维经验和基本活动经验，自然而然地掌握参数分类的方法，培养学生
的逻辑思维能力，提高其思维水平，提升其能力素养.
【相关文献】
［1］刘飚，王克亮.还原数学概念自然性的教学策略初探［J］.数学通报，2016（10）：4-8. ［2］张维佳.基于脑科学与学习进行教学设计与实施的探索［J］.中国数学教育（高中版），2017（4）：2-4，9.。