七年级数学上 从算式到方程

1．方程：
（1）方程的定义：含有___________的___________叫做方程．
注意：方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上；方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示．
（2）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是___________．
2．等式的性质：
（1）等式的性质1：等式两边___________同一个___________，结果仍相等．
如果a=b，那么a±c=___________．
（2）等式的性质2：等式两边乘同一个___________，或除以同一个___________，结果仍相等．
如果a=b，那么ac=___________；如果a=b(c≠0)，那么a
c
=___________．
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：
①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是___________．如果a=b，那么b=___________．
②传递性：如果a=b，且b=c，那么a=___________．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换．3．一元一次方程
（1）概念：方程只含有一个__________（元），未知数的次数都是__________，等号两边都是___________，这样的方程叫做一元一次方程．
（2）一元指方程仅含有一个___________，一次指未知数的次数为___________，且未知数的系数不为___________．我们将___________（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的___________，b是___________，x的次数必须是1．
K知识参考答案：
1．（1）未知数，等式（2）方程的解
2．（1）加（或减），数（或式子），b±c（2）数，不为0的数，bc，b
c
（3）等式，a，c
3．（1）未知数，1，整式（2）未知数，1，0，ax+b=0，系数，常数
K—重点（1）方程的概念；（2）列简单的一元一次方程；（3）一元一次方程；（4）等式的性质．
K—难点（1）方程的解与解方程；（2）利用等式的性质解方程．
K—易错对一元一次方程概念的理解．
一、方程的有关概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数．两者缺一不可．2．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根．
3．解方程：求方程解的过程，叫做解方程．
【例1】下列各式中，是方程的是
A．
2
3
x y
B．14–5=9
C．a>3b D．x=1
【答案】D
【名师点睛】
1．判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数，二者缺一不可．
2．使方程左右两边相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有多个．
方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是一个具体的数值，解方程是求方程的解的过程，方程的解是通过解方程求得的，二者要区别开．
二、一元一次方程
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．【例2】已知x2m–3+1=7是关于x的一元一次方程，则m的值是
A．–1 B．1
C．–2 D．2
【答案】D
【解析】因为x2m–3+1=7是关于x的一元一次方程，所以2m–3=1，解得m=2，故选D．
【名师点睛】
1．其中“一元”指只含一个未知数，“一次”指的是未知数的次数都是1．
2．ax+b=0（a≠0）通常叫做x的一元一次方程的标准形式，其中，只有一个未知项ax，一个常数项b，方程右边是0．
三、方程的解
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
【例3】下列方程中，解为x=4的方程是
A．x–2=6 B．1
3
x=12
C．2x+2=6 D．1
2
（x–2）=1
【答案】D
【名师点睛】
1．方程的解可能有多个，也可能无解．
2．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数直接代入方程中，而要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边=右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方程的解．
四、等式的性质
1．等式的性质1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果a =b ，那么a ±c =b ±c ． 2．等式的性质2
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a =b ，那么ac =bc ；如果a =b （c ≠0），那么
c
b
c a ． 【例4】下列运用等式性质正确的是 A ．如果a =b ，那么a +c =b –c B ．如果a =b ，那么
a c =
b c
C ．如果a c =b
c
，那么a =b
D ．如果a =3，那么a 2=3a 2
【答案】C
【名师点睛】
1．性质1中“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同．
2．等式的性质包括加、减、乘和除，其中加、减或乘的数往往是任意的，只有除法中的除数不能为0．
1．下列各式中不是方程的是 A ．2x +3y =1 B ．3π+4≠5
C ．–x +y =4
D ．x =8
2．下列四个式子中，是方程的是
A ．3+2=5
B ．3x –2=1
C ．2x –3<0
D ．a 2+2ab +b 2
3．下列方程中，解为x =1的是 A ．x –1=–1 B ．–2x =
12
C ．
1
2
x =–2
D ．2x –1=1
4．下列方程中，解为x =2的方程是 A ．x +2=0 B ．2+3x =8
C ．3x –1=2
D ．4–2x =1
5．下列方程中，是一元一次方程的是 A ．x 2
+x +1=x 2
+2 B ．x +y =9
C ．x +
1x
=2
D ．3x =3（x –1）
6．下列方程中是一元一次方程的是 A ．3x –1=
2
x B ．x 2–4x =3
C ．xy –3=5
D ．x +2y =1
7．下列等式变形正确的是 A ．若–3x =5，则x =–
35
B ．若
1132
x x -+=，则2x +3（x –1）=1 C ．若5x –6=2x +8，则5x +2x =8+6
D ．若3（x +1）–2x =1，则3x +3–2x =1
8．下列利用等式的性质，错误的是 A ．由a =b ，得到1–a =1–b B ．由
2a =2
b
，得到a =b C ．由a =b ，得到ac =bc
D ．由ac =bc ，得到a =b
9．下列结论不成立的是 A ．若x =y ，则m –x =m –y B ．若x =y ，则mx =my C ．若mx =my ，则x =y
D ．若
x y
n n
=，则nx =ny 10．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是
A ．如果a =b ，那么a +5=b +5
B ．如果a =b ，那么a –
23=b –23
C．如果ac=bc，那么a=b D．如果a b
c c
=，那么a=b
11．下列方程：
（1）2x–1=x–7，（2）1
2
x=
1
3
x–1，（3）2（x+5）=–4–x，（4）
2
3
x=x–2．
其中解为x=–6的方程的个数为
A．4个B．3个C．2个D．1个12．在0，1，2，3中，__________是方程2x–1=–5x+6的解．
13．如果关于x的一元一次方程ax+2x=4的解是x=4，那么a的值为__________．
14．有下列等式：①由a=b，得5–2a=5–2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得a b
c c
=；④由
23
a b
c c
=，
得3a=2b；⑤由a2=b2，得a= b．其中正确的是__________．
15．由5x=4x+5得5x–4x=5，在此变形中，方程两边同时加上了__________．16．如果5x=10–2x，那么5x+__________=10．
17．若–
1
3
x-
=
1
2
y-
，根据等式性质__________（填“1”或“2”）得到–2x=3y–5．
18．在下列方程中：①x+2y=3，②1
39
x
x
-=，③
21
33
y
y
-
=+，④
1
2
x=，是一元一次方程的有__________
（只填序号）．
19．若（a–1）x|a|=3是关于x的一元一次方程，则a=__________．
20．检验下列各数是不是方程3
2
x
x
=-的解．
（1）x=2；
（2）x=–1．
21．老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x=4（a+3）．王聪说x=4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．
22．我们规定，若关于x 的一元一次方程ax =b 的解为b –a ，则称该方程为“差解方程”，例如：2x =4的解
为2，且2=4–2，则该方程2x –4是差解方程． （1）判断3x =4.5是否是差解方程；
（2）若关于x 的一元一次方程5x =m +1是差解方程，求m 的值．
23．下列方程中，是一元一次方程是
A ．2y =1
B ．3x –5y =3
C ．3+7=10
D ．x 2
+x =1
24．下列方程中，解为x =3的方程是
A ．y –3=0
B ．x +2=1
C ．2x –2=3
D ．2x =x +3
25．下列方程中，是一元一次方程的是
A ．243x x -=
()B 326x +=．
C 21x y +=．
1
D 1x x
-=
． 26．关于x 的方程ax +3=1的解为x =2，则a 的值为
A ．1
B ．–1
C ．2
D ．–2
27．方程3x =–9的解是
A ．x =–6
B ．x =–2
C ．x =–3
D ．x =–27
28．下列方程中，解是x =5的方程是
A ．2x –1=x
B ．x –3=2
C ．3x =x –5
D ．x +3=–2
29．若关于x 的方程mx
m –2
–m +3=0是一元一次方程，则这个方程的解是 A ．x =0
B ．x =3
C ．x =–3
D ．x =2
30．已知下列方程：
①x –2=2x ；②12x +–1=33x -；③2
x =5x –1；④x 2
–4x =3；⑤x =6；⑥x +2y =0．其中一元一次方程的个数
是 A ．①③④ B ．②③⑤
C ．②③
D ．②⑥
31．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是
A ．如果a b =，那么a c b c +=-
B ．如果
a b
c c
=，那么a b = C ．如果a b =，那么a b c c
=
D ．如果23a a =，那么3a =
32．下列说法正确的是
A ．若
a b
c c
=，则a =b B ．若ac =bc ，则a =b C ．若a 2
=b 2
，则a =b
D ．若a =b ，则
a b c c
= 33．在下列方程的变形中，正确的是
A ．由213x x +=，得231x x +=
B ．由
2354x =，得35
42x =⨯ C ．由
2354x =，得3245
x =⨯
D ．由1
23
x +-=，得16x -+= 34．方程2x –3y =7，用含x 的代数式表示y 为
A ．y =
1
3(7–2x ) B ．y =
1
3(2x –7)
C ．x =1
2
(7+3y )
D ．x =1
2
(7–3y )
35．若a =b ，则在a –
13=b –13，2a =a +b ，–34a =–3
4
b ，3a –1=3b –1中，正确的有 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
36．下列①3x –y =2；②
()21503x +-=；③1
2x x
+-；④24230x x --=中，属于一元一次方程的是_____________（只填代号）.
37．若关于x 的方程2x –3=1与x +k =1的解相同，k =_____________．
38．已知2
3
-
x =5，可求得x =_____________，这是根据_____________． 39．如果33a b -=-，那么a =_____________，其根据是_____________． 40．方程6–2x =0的解是x =_____________. 41．方程17+15x =245，
5070
35
x x -+=，2（x +1.5x ）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x 2+3=4，x 2
+2x +1=0，x +y =5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次
方程？
42．从2a +3=2b +3能否得到a =b ，为什么？
43．利用等式的性质解下列方程.
（1）y +3=2；（2）–1
2
y –2=3；（3）9x =8x –6；（4）8m =4m +1．
44．（2017•杭州）设x ，y ，c 是实数，正确的是
A ．若x =y ，则x +c =y –c
B ．若x =y ，则xc =yc
C ．若x =y ，则
x c =y c
D ．若
2x c =3y c
，则2x =3y
45．（2016•广东）已知方程x–2y+3=8，则整式x–2y的值为
A．5 B．10 C．12 D．15 46．（2017•永州）x=1是关于x的方程2x–a=0的解，则a的值是A．–2 B．2 C．–1 D．1 47．（2016•梧州）一元一次方程3x–3=0的解是
A．x=1 B．x=–1 C．x=1
3
D．x=0
48．（2017•云南）已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为__________．
49．（2017•金华）若a
b
=
2
3
，则
a b
b
=__________．
5．【答案】A
6．【答案】A
【解析】A、符合一元一次方程的定义；
B、未知数的次数2，故不是一元一次方程；
C、含有两个未知数，故不是一元一次方程；
D、含有两个未知数，故不是一元一次方程．
故选A．
7．【答案】D
【解析】A、若–3x=5，则x=–5
3
，错误；
B、若
1
1
32
x x-
+=，则2x+3（x–1）=6，错误；
C、若5x–6=2x+8，则5x–2x=8+6，错误；
D、若3（x+1）–2x=1，则3x+3–2x=1，正确；
故选D．
8．【答案】D
【解析】当c=0时，ac=bc=0，但a不一定等于b，故D错误，故选D．9．【答案】C
【解析】A、若x=y，则m–x=m–y成立；
B、若x=y，则mx=my成立；
C、若mx=my，则x=y不一定成立，应说明m≠0；
D、若x y
n n
=，则mx=my成立；
故选C．
10．【答案】C
【解析】C．若c=0时，此时a不一定等于b，故选C．
11．【答案】C
12．【答案】1
【解析】移项，得2x+5x=1+6，
合并同类项，得7x=7，
系数化为1，得x=1，
故答案为1．
13．【答案】–1
【解析】将x=4代入ax+2x=4，
所以4a+8=4，
所以4a=–4，
所以a=–1，
故答案为：–1．
14．【答案】①②④
【解析】①由a=b，得5–2a=5–2b，正确；
②由a=b，得ac=bc，正确；
③由a =b （c ≠0），得a b
c c
=，不正确； ④由
23a b
c c
=，得3a =2b ，正确； ⑤由a 2=b 2
，得a =b 或a =–b ，不正确．
故答案为：①②④．
④符合一元一次方程的定义．故③④是一元一次方程． 故答案为：③④． 19．【答案】–1
【解析】由题意得|a |=1，且a –1≠0，解得a =–1，故答案为：–1． 20．【解析】（1）当x =2时，左边=
3
2
，右边=0， 因为左边≠右边， 所以x =2不是方程的解；
（2）当x =–1时，左边=–3，右边=–3， 因为左边=右边， 所以x =–1是方程的解． 21．【解析】他俩的说法正确，
当a +3=0时，x 为任意实数， 当a +3≠0时，x =4．
22．【解析】（1）因为3x=4.5，
所以x=1.5，
因为4.5–3=1.5，
所以3x=4.5是差解方程；
（2）因为关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，
所以m+1–5=
1 5
m
，
解得m=21 4
．
故m的值为21 4
．
23．【答案】A
24．【答案】D
【解析】将x=3代入各选项可得．
A、y–3=0，不含x项，故本选项错误；
B、左边=5，右边=1，左边≠右边，故本选项错误；
C、左边=4，右边=3，左边≠右边，故本选项错误；
D、左边=6，右边=6，左边=右边，故本选项正确；
故选D．
25．【答案】B
【解析】选项A，是一元二次方程；选项B，是一元一次方程；选项C，是二元一次方程；选项D，是分式方程，由此可得，只有选项B符合题意.故选B．
26．【答案】B
【解析】把x=2代入方程ax+3=1得，2a+3=1，解得a=–1，故选B．
27．【答案】C
【解析】3x =−9，两边同时除以3，得x =−3，故选C ． 28．【答案】B
29．【答案】A
【解析】因为关于x 的方程mx
m −2
−m +3=0是一元一次方程，
所以m ≠0，m −2=1，解得m =3， 即方程为3x −3+3=0，解得x =0， 故选A ． 30．【答案】B
【解析】①x −2=
2
x
不是1次，故不是一元一次方程； ②12x +–1=3
3x -是一元一次方程； ③2
x
=5x −1是一元一次方程； ④x 2
−4x =3不是1次，是2次，故不是一元一次方程； ⑤x =6是一元一次方程；
⑥x +2y =0不是1元，故不是一元一次方程； 故选B ． 31．【答案】B
【解析】A ．如果a b =，那么a c b c -=-，本选项不能选；
B ．如果
a b
c c
=，那么a b =，本选项正确； C ．如果a b =，那么a b
c c
=（c ≠0），本选项不能选；
D ．如果23a a =，那么3a =（c ≠0），本选项不能选. 故选B ．
32．【答案】A
【解析】A 选项：由等式的性质2可知A 正确； B 选项：当c =0时，不一定正确，故B 错误； C 选项：若a 2=b 2，则a =±b ，故C 错误； D 选项：需要注意c ≠0，故D 错误． 故选A ． 33．【答案】B
34．【答案】B
【解析】因为2x –3y =7，所以2x –7=3y ，所以y =1
3
(2x –7)，故选B ． 35．【答案】D
【解析】a –13=b –13，2a =a +b ，–34a =–3
4
b ，3a –1=3b –1都正确，共4个， 故选D ． 36．【答案】②
【解析】①3x –y =2，含有两个未知数，不是一元一次方程；
②
()2
1503x +-=，是一元一次方程； ③1
2x x
+-，不是等式，不是一元次方程；
④24230x x --=，最高为2次，不是一元一次方程， 所以是一元一次方程的只有②， 故答案为：②. 37．【答案】–1
【解析】解方程2x –3=1，可得x =2，
把x =2代入x +k =1，可得2+k =1， 解得k =–1， 故答案是：–1.
40．【答案】3
【解析】两边同时加2x ，得6=2x ， 两边同时除以2，得x =3， 故答案为：3．
41．【解析】方程22342105x x x x y +=++=+=，，不是一元一次方程；
234x +=和2210x x ++=是一元二次方程； 5x y +=是二元一次方程．
42．【解析】能．首先根据等式的性质1，等式的两边同时减去3，然后利用等式的性质2，等式的两边同
时除以2，所得结果就是a =b ．
43．【解析】（1）两边同时减去3，得y +3–3=2–3，y =–1；
（2）两边同时加2，得–1
2
y –2+2=3+2， –
1
2
y =5， 两边同时乘以–2，得y =–10；
（3）两边同时减去8x ，得9x –8x =8x –6–8x ，
x=–6；
（4）两边同时减去4m，得8m–4m=4m+1–4m，4m=1，
两边同时除以4，得m=1 4 .
45．【答案】A
【解析】由x–2y+3=8得x–2y=8–3=5，故选A．46．【答案】B
【解析】将x=1代入2x–a=0中，
所以2–a=0，
所以a=2，
故选B．
47．【答案】A
【解析】3x–3=0，3x=3，x=1，故选A．48．【答案】–7
【解析】把x=1代入方程得2+a+5=0，
解得a=–7，
故答案为：–7．
49．【答案】5 3
【解析】根据等式的性质：两边都加1，a
b
+1=
2
3
+1，
则a b
b
=
5
3
，故答案为：
5
3
．。