高考数学总复习 第五章 第2讲 一元二次不等式及其解法配套课件 文

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考点(kǎo diǎn) 3 一元二次不等式的应用 例 3：已知函数(hánshù) f(x)＝(ax2－1)·ex，a∈R.
(1)若函数 f(x)在 x＝1 时取得(qǔdé)极值，求 a 的值；
(解2)：当 (a1≤)0f′时(，x)求＝函(a数x2＋f(x2)a的x－单调1)区·ex间，.x∈R. 依题意，得 f′(1)＝(3a－1)·e＝0，解得 a＝13. 经检验，符合题意，∴a＝13.
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(2)f′(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex，设 g(x)＝ax2＋2ax－1. ①当 a＝0 时，f(x)＝－ex，f(x)在(－∞，＋∞)上为单调减 函数. ②当 a<0 时，方程 g(x)＝ax2＋2ax－1＝0 的判别式为 Δ＝ 4a2＋4a. 令 Δ＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝－1. ⅰ)当 a＝－1 时，g(x)＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2≤0， 即 f′(x)＝(ax2＋2ax－1)·ex≤0. 且 f′(x)在 x＝－1 的两侧同号，仅在 x＝－1 时等于 0， 则 f(x)在(－∞，＋∞)上为单调减函数.
－12<x<1 或 x＝1，故不等式的解集为－12<x≤1. 答案(dá àn)：A
【方法与技巧】解一元二次不等式的一般步骤(bùzhòu)是：①化为 标准形式；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等 式对应的一元二次方程的根，若Δ＜0，则对应的一元二次方程 无实根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若 一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出 不等式的解集.
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【互动(hù dònɡ)探究】
1.(2013 年江西)下列选项中，使不等式 x<1x<x2 成立的 x 的
取值范围(fànwéi)A是( )
A.(－∞，－1)
B.(－1,0) C.(0,1) D.(1，＋∞)
解析：利用特殊值排除选项，不妨令 x＝－12时，代入 x<1x<x2，
得到－12<－2<14，显然不成立，排除 B；
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②当 a＝1 时，解集为∅；
③当 a>1 时，1a<x<1.
综上所述，当 a<0 时，不等式解集为xx<1a或x>1
；当 a
＝0
时
，
不等
式
解集
为
x x>1
；当
0<a<1
时，不等式解集为
1
x1<x<a
；当 a＝1 时，不等式解集为∅；当 a>1 时，不等式
解集为x1a<x<1
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(2)要使当 a∈[－1,1]时，f(x)>4 恒成立.
即x2＋2xx＋a>4，x∈[1，＋∞)恒成立.
∴x2－2x＋a>0 对 a∈[－1,1]恒成立.
把 g(a)＝a＋(x2－2x)看成 a 的一次函数，
则使 g(a)>0 对 a∈[－1,1]恒成立的条件是
g1>0， g－1>0.
1，注意讨论二次项系数a，讨论根的判别式Δ，如果有两根，还要讨论
两根的大小.
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【互动(hù dònɡ)探究】
3.(2012 年江苏)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域 为[0，＋∞)，若关于(guānyú) x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m，m＋6)，则 实数 c 的值为______.
2.不等式(x－1) x＋2≥0 的解集是( B )
A.{x|x>1}
B.{x|x≥1 或 x＝－2}
C.{x|x≥1}
D.{x|x≥－2 且 x≠1}
3.下列(xiàliè)四个不等式中，解集为 R 的是( C )
A.－x2＋x＋1≥0 C.x2＋6x＋10＞0
B.x2－2 5x＋ 5＞0 D.2x2－3x＋4＜0
当 x＝12时，代入 x<1x<x2，得到12<2<14，显然不正确，排除 C；
当 x＝2 时，代入 x<1x<x2，得到 2<12<4，显然不正确，排除 D.
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考点 2 含参数(cānshù)不等式的解法
例 2：解关于 x 的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.
解(1：)当原不a等＝式0可时化，为(xa>x－1；1)(x－1)<0. (2)当 a<0 时，x<1a或 x>1； (3)当 a>0 时，上面不等式可化为x－1a(x－1)<0. ①当 0<a<1 时，1<x<1a；
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4.(2013 年山东(shān dōnɡ)德州一模)设集合 A＝{x|x2－5x－6＜0}，
{x|5≤x≤7}，则 A∩B＝(
B)
A.[5,7] C.[5,6]
B.[5,6)
D.(6,7]
5.(2011 年上海)不等式1x<1 的解为__x_<_0_或__x_>_1___.
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当 x> － 1 －
a2＋a a
时
，
g(x)<0
，
f′(x)<0
，
f(x)
在
－1－ a2a＋a，＋∞上为单调减函数.
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综上所述，当－1≤a≤0 时，函数 f(x)的单调递减区间为
( －∞ ， ＋ ∞) ； 当 a< － 1 时 ， 函 数 f(x) 的 单 调 递 减 区间 为
－∞，－1＋
a2＋a a.
作差，可知：－1－ a2a＋a>－1＋ a2a＋a，
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则当 x<－1＋ a2a＋a时，g(x)<0，f′(x)<0，
f(x)在－∞，－1＋ a2a＋a上为单调减函数；
当－1＋ a2a＋a<x<－1－ a2a＋a时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)
在－1＋ a2a＋a，－1－ a2a＋a上为单调增函数；
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(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综 上 所 述 ， 当 c>2 时 ， 不 等 式 ax2 － (ac ＋ b)x ＋ bc<0 的 解 集 为 {x|2<x<c}； 当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.
即xx22－ －22xx＋ －11>>00， .
解得 x<1－ 2或 x> 2＋1.
又 x≥1，∴x> 2＋1.
故所求 x 的取值范围是( 2＋1，＋∞).
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【方法与技巧】在含有多个变量的数学问题中，选准“主 元”往往(wǎngwǎng)是解题的关键.即需要确定合适的变量或参数，能使函 数关系更加清晰明朗.一般地，已知存在范围的量为变量，而待 求范围的量为参数.如(1)中 x 为变量(关于 x 的二次函数)，a 为 参数.(2)中 a 为变量(关于 a 的一次函数)，x 为参数.
∴
c－a2－－
c－a2＝2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c＝6，解得 c＝9.
答案(dá àn)：9
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思想(sīxiǎng)与方法
⊙利用转化与化归思想(sīxiǎng)求参数的范围
例题：(2011 届甘肃兰州联考)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，
x∈[1，＋∞).
(1)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立(chénglì)，求实数 a 的取
第2讲 一元(yī yuán)二次不等式及其解法
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考纲要求
考情风向标
从多年的高考试题来看，不等式的解法是
1.会从实际情境中抽象出 每年必考的内容，特别是一元二次不等式，它
一元二次不等式模型. 与一元二次方程、二次函数相联系，三者构成
2.通过函数图象了解一元 二次不等式与相应的二 次函数、一元二次方程的
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ⅱ)当－1<a<0 时，Δ<0，则 g(x)＝ax2＋2ax－1<0 恒成立，
即 f′(x)<0 恒成立，
则 f(x)在(－∞，＋∞)上为单调减函数.
ⅲ)当 a<－1 时，Δ＝4a2＋4a>0，令 g(x)＝0，
方程 ax2＋2ax－1＝0 有两个不相等的实数根
x1＝－1＋
a2a＋a，x2＝－1－
a2＋a a
，－1－
a2＋a，＋∞ a
，函数
f(x)的单调递
增区间为 －1＋
a2＋a，－1－ a
a2＋a a.
【方法与技巧】本题以函数的单调性与极值为载体，考查一元二次
不等式的解法及分类讨论思想的应用.f′(x)＝(ax2＋2ax－1)ex，由于
(yóuyú)ex>0恒成立，因此函数的单调性与极值取决于g(x)＝ax2＋2ax－
{_x__|x_1_<__x_<_x_2_}_
Δ＝0 __x__x_≠__－__2b_a__
_____∅_____
Δ<0
R
________
_____∅___
若 a＜0 时，可以(kěyǐ)先将二次项系数 a 化成正数，对照上表求
解.
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1.(2013 年广东(guǎng dōng))不等式 x2＋x－2<0 的解(集－为2,_1_)_______.
值范围；
(2)若对任意 a∈[－1,1]，f(x)>4 恒成立(chénglì)，求实数 x 的取值范
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解：(1)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立， 即x2＋2xx＋a>0，x∈[1，＋∞)恒成立. 亦即 x2＋2x＋a>0，x∈[1，＋∞)恒成立. 即 a>－x2－2x，x∈[1，＋∞)恒成立. 即 a>(－x2－2x)max，x∈[1，＋∞). 又∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1， 当 x＝1 时，(－x2－2x)max＝－3，x∈[1，＋∞)，∴a>－3. ∴对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立， 实数 a 的取值范围为{a|a>－3}.
统一的整体，贯穿高中数学的始终.解不等式， 有时单独出现在选择题或填空题中，有时会与 函数、三角函数、解析几何、向量等知识相交
联系. 3.会解一元二次不等式， 对给定的一元二次不等 式，会设计求解的程序框
图.
汇，作为解题工具出现在解答题中. 预计 2015 年高考以求函数定义域或考查
集合间的关系或直接求解不等式的形式出现； 也可与其他知识交汇进行考查，重点考查学生
的计算能力.
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一元二次不等式与相应(xiāngyīng)的二次函数及一元二次方程的
如下(rúxià)表：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的根
有两相异实根 x_1_,2_＝__－__b_±__2b_a2_－__4_ac
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解析：由值域为[0，＋∞)，当 x2＋ax＋b＝0 时，有 Δ＝a2 －4b＝0，即 b＝a42.∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋a42＝x＋a22.∴f(x)
＝x＋a22<c， 解得－ c<x＋a2< c，－ c－a2<x< c－a2.
∵不等式 f(x)<c 的解集为(m，m＋6)，
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【互动(hù dònɡ)探究】
2.已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}， ∴x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个(liǎnɡ ɡè)实数根，b>1且 a>0.由根与系数的关系，
.
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【方法与技巧】解含参数的有理(yǒulǐ)不等式时分以下几种情况
讨论(tǎolùn)：
①根据(gēnjù)二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)； ②根据(gēnjù)根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)； ③根据(gēnjù)根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1<x2).
考点(kǎo diǎn) 1 解一元二次、分式不等式
例 1：(2012 年重庆)不等式2xx－＋11≤0 的解集为(
)
A.－12，1 C.－∞.－12∪1，＋∞
B.－12，1 D.－∞，－12∪1，＋∞
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解析(jiě xī)：原不等式等价于(x－1)(2x＋1)<0 或 x－1＝0，即
有两相同实根 _x_1_,2_＝__－__2b_a_
_没__有__(_m_é_i yǒu)实根
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(续表)
判别式Δ＝b2－4ac
一元二 次不等 式的解
集
ax2＋bx＋ c>0(a>0)
ax2＋bx＋ c<0(a>0)
Δ>0
___{__x_|x_<__x_1_或______
___x_>__x_2_}_________