模块二类型4相近名词、公式类11个易错高频考点

类型4 相近名词、公式类11个易错高频考点
32
“函数在某区间上有意义”与“函数的定义域为某区间”若函数f （x ）的定义域为某区间，则该区间为函数有意义的最大范围；若函数（x ）在某区间上有意义，则该区间为函数定义域的子集．在解决此类问题时，要辨别清楚
33
函数的“恒成立”与“能成立”
若k ≤f （x ）能成立（有解），则k ≤f （x ）max ；若k ≤f （x ）恒成立，则k ≤f （x ）min “能成立”是存在性问题，“恒成立”是任意性同题34
函数的极值点与导函数的零点
函数在极值点处的导数值为0，但不能认为导函数的零点就是函数
的极值点，而要判断函数在该点两侧的单调性是否发生变化，即导函数的零点是否是一个变号零点，如果不是变号零点，那么就不是极值点
35
（a +b ）n 与（b +a ）n 的展开式
虽然二者本质相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中a 与b 的位置不能颠倒
36
截距和距离
截距可为一切实数，距离是一个非负数．如：直线与轴、轴分别
交于点（a ，0），（0，b ），其中a 叫直线在x 轴上的截距，b 叫直线在y 轴上的截距
37
同向向量与平行向量
两非零向量同向是两非零向量平行的充分不必要条件，两非零向
量平行，则两非零向量可能同向，也可能反向．如()()1.2,2,4,a b a b ==--r r r r
∥，但方向相反
38
12210x y x y -=与12120x x y y +=前者是两非零向量
()()1122,,a x y b x y ==r r ,共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件
39
“项的系数”与“二项式系数”
对于（a +b ）n 的二项展开式，项的系数与a ，有关，可正可负，二项式系数只与a 和第几项有关，恒为正
40
“二项分布”与“超
几何分布”二项分布需要很大的样本量（无限或可以看作无限）．且每次发生的概率相等：超几何分布的总体是有限的，以下列两个问题为例：问题1：从某校随机抽取16名学生检查视力，其中“好视力”4人，以这16人的样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校（可视为人数很多）任选3人，记X为抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列和数学期望．
问题2：从某校随机抽取16名学生检查视力，其中“好视力”4人．现从这16名学生（总体有限）中任取3名，记X为抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列和数学期望．
显然，问题1是二项分布，问题2是超几何分布
41轨迹与轨迹方程
二者既有区别又有联系，轨迹是图形，求“轨迹”时，一般要先求
出“轨迹方程”，然后说明轨迹形状
42概率的加法公式使用概率的加法公式()()()
P A B P A P B
=+
U前，一定要验证该公
式的使用条件，即事件A与事件B互斥
（2024·安徽安庆·三模）
1．在
6
2
1
3xy
y
æö
+
ç÷
èø
的展开式中，不含字母y的项为．
（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）
2．下列函数在定义域内是增函数的为（）
A．()1
f x
x
=-B．()2
f x x
=-
C．()3
log1
f x x
=+D．()2x
f x=
（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）
3．二项式
7
3
1
x
æö
ç÷
èø
的展开式中的常数项为.（用数字作答）
（2024·四川成都·三模）
4．若[)0,x Î+¥，21e x x ax ++£恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．e
B ．2
C ．1
e -D ．2
e -（22-23高三·湖南·阶段练习）
5．过点(2,1)且在x 轴上截距是在y 轴上截距的两倍的直线的方程为 ．（2024·河北秦皇岛·二模）
6．已知向量(),23a m m =+r ，()1,41b m =+r ，则“
3
4
m =-”是“a r 与b r 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
（2024·辽宁·模拟预测）
7．一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（ ）A ．
55
1024
B ．
55512
C ．
25256
D ．
25128
（23-24高三下·重庆·期中）
8．长为2的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则点A 关于点B 的对称点M 的轨迹方程为（ ）
A ．22
1
42
x y +=B ．22
1
42
y x +=C ．22
1
164x y +=D ．22
1
164
y x +=（2024高三·全国·专题练习）
9．给出下列命题，其中假命题为（ ）
A ．向量A
B uuu r
的长度与向量BA uuu r 的长度相等
B ．向量a r 与b r 平行，则a r 与b r
的方向相同或相反C ．a b a b +=-r r
r r ⇔a r 与b r 方向相反
D ．若非零向量a r 与非零向量b r
的方向相同或相反，则a b +r r 与a r ，b r 之一的方向相同
（23-24高三上·广东深圳·期末）
10．一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）A ．
715
B ．
815
C ．
15
D ．1
2
（2024·贵州毕节·三模）
11．某学生的QQ 密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ 时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）A ．
110
B ．
15
C ．
25
D ．1
2
（2023高三·江苏·专题练习）
12．设函数y =，若函数在(],1-¥上有意义，则实数a 的取值范围是 ．（22-23高三下·四川乐山·阶段练习）
13．已知0x $ÎR ，使得不等式00002x x
x e mx e m <+-能成立，则实数m 的取值范围为
.
（23-24高三上·湖北武汉·期中）14．已知函数223()ln 232
f x b x x ax a a =+++-在1x =处取得极小值27
2，则b a 的值
为 ．
参考答案：
1．2
135x 【分析】在6
213xy y æö
+ç÷è
ø的展开式的所有项中，若不含字母y ，则只能取2个23xy 与4个
1y 相乘，由此即可列式得解.
【详解】由条件可知不含字母y 的项为()
4
2
4
2
2
61C 3135xy x y æö=ç÷èø
．故答案为：2135x .2．D
【分析】由反比例函数、二次函数、指数函数单调性可判断ABD ，根据复合函数单调性可判断C
【详解】选项A ，函数()1
f x x
=-在(,0),(0,)-¥+¥分别单调递增，但在定义域(,0)(0,)
-¥+¥U 内不是增函数，故A 错误；
选项B ，函数()2
f x x =-在(,0)-¥单调递增，在(0,)+¥单调递减，故B 错误；
选项C ，令3log y t =，1t x =+，由复合函数单调性，3log y t =在(0,)+¥单调递增，1t x =+在(,1)-¥-单调递减，在(1,)-+¥单调递增，故函数()3log 1f x x =+在(,1)-¥-单调递减，在(1,)-+¥单调递增，故C 错误；
选项D ，由指数函数单调性，函数()2x
f x =在定义域R 上单调递增，故D 正确
故选：D 3．448
-【分析】先求展开式的通项，再令x 的次数为0进而求出常数项.
【详解】7
31x æ
öç÷è
ø展开式的通项为
7777217731C C 2(1),(0,17)k
k
k k k k k
k T x k x ---+æö=-=-=ç÷èø
L ，
令
7702
k
-=，解得1k =，此时161
27C 2(1)448T =-=-，即常数项为448-.
故答案为：448-.
4．D
【分析】先确定0x =时的情况，在0x >时，参变分离可得2e 1
x x a x --£，进而构造函数
2e 1
()x x f x x --=
，求得()f x 的最小值即可.【详解】当0x =，01e £，不等式成立，
当0x >时，2e 1x x a x
--£恒成立，即2min e 1
(x x a x --£，
令e 1()x x f x x --=，则222
(e 2)(e 1)1(1)(e 1)
()x x x x x x x x f x x x -------¢==g ，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x ¢=-，当0x >时，()e 10x g x ¢=-≥，所以()g x 在(0,)+¥上单调递增，所以()(0)0g x g >=，所以e 10x x -->，
所以当01x <<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以12min
e 11
()(1)=e 21
f x f --==-，所以e 2a £-.
所以实数a 的最大值为e 2-.故选：D.
5．20x y -=或240
x y +-=【分析】在x 轴上截距是y 轴上截距的2倍的直线方程可设为y kx =或者22x y a +=，将点(2,1)代入求得参数即可得所求直线的方程解.
【详解】设直线方程为y kx =或者22x y a +=，将点(2,1)代入，得1
2
k =，4a =，故求得直线方程是1
2
y x =
，24x y +=，即20x y -=或240x y +-=，故答案为：20x y -=或240x y +-=6．A
【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出m 的值，判断得解.
【详解】向量(),23a m m =+r
，()1,41b m =+r ，
若a r 与b r 共线，则()()41230m m m +-+=.解得3
4
m =-或1m =，
所以“3
4
m =-”是“a r 与b r 共线”的充分不必要条件，
故选：A.7．C
【分析】就质子水平方向移动次数分类讨论，再利用独立事件的概率公式可求概率.
【详解】因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率6
36
1C 4æö
ç÷èø
；
若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率6
226
4
1A C 4æö
ç÷èø
；
若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率6
224
6
1C A 4æö
ç÷èø
；
若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率6
36
1C 4æö
ç÷èø
；
故移动6次后仍然回到原点的概率为25
256
，故选：C 8．D
【分析】设出A 、B 、M 点坐标，由题意可得A 、B 两点坐标间的关系，用M 点的横纵坐标替换A 、B 点坐标代入计算即可得.【详解】设()1,0A x 、()20,B y ，(),M x y ，则有10x x +=，202y y +=，即1x x =-，22
y y =
，由题意可得221
2
4x y +=，即()2
2
42y x æ
ö-+=ç÷èø
，即221164y x +=.
故选：D.9．BCD
【分析】根据平面向量的定义与性质逐项判断即可.
【详解】对于A ，向量AB uuu r
与向量BA uuu r ，长度相等，方向相反，命题成立；
对于B ，当0a =r r
时，命题不成立；
对于C ，当a r ，b r
之一为零向量时，命题不成立；
对于D ，当0a b +=r r r 时，a b +r r 的方向是任意的，它可以与a r ，b r
的方向都不相同，命题不成立；故选：BCD.10．B
【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可.
【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是21128282
3
10C 5
C C 1C C 8+=.故选：B.11．C
【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案.【详解】设i A 为“第i 次按对密码”（1,2i =），
则事件A “不超过2次就按对”可表示为112()A A A A =U ，记“密码的最后一位数字是奇数”为事件B ，
由条件概率的性质可得1121412
(|)(|)(|)5545
P A B P A B P A A B ´=+=+=´..故选：C.
12．3,4éö-+¥÷
êëø
【分析】先根据x 的取值范围计算出2x 取值范围，设2x t =
，将原函数转化为
y =，根据t 的范围及210t at ++³将a 转化为用t 表示的关系式，进而求出a 的范围.
【详解】设2x t =，(],1,02x t Î-¥\<£Q ．
则原函数有意义等价于210t at ++³在(]0,2t Î上恒成立，
21t a t +\³-，设()2
2111124
t f t t t +æö=-=-++ç÷èø，02t <£Q ，所以11,2t éö
Î+¥÷êëø，()133,244f t f a æö\£=-\³-ç÷èø.
故答案为：3,4éö
-+¥÷
êëø13．1m <或3
24m e >.
【解析】由题意可得()()0
00121x m x e
x ->-，分别0
1x
=，01x >，01x <，运用参数分离和构
造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围.
【详解】不等式00002x x
x e mx e m <+-，即为()()000121x
m x e x ->-，
若01x =则不等式显然不成立；
当01x >时，可得()
000211
x e x m x ->-，
设(21)
()1
x e x f x x -=-，2(23)()(1)x xe x f x x -¢=
- ，则()f x 在31,2（）时递减，在3
,2+¥（）递增，即有()f x 在3
2
x =
处取得最小值324e ，由题意可得3
24m e >，
又当01x <时，可得()
000211
x e x m x -<-，
设(21)
()1x e x f x x -=
- ，则()f x 在(0,1)时递减，在(,0)-¥递增，即有()f x 在0x =处取得最大值1，由题意可得1m <，
综上可得m 的范围是1m <或3
24m e >，故答案为:1m <或3
24m e >.
【点睛】本题以不等式能成立为背景，考查应用导数求函数的最值，分类讨论分离参数是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.14．114
-【分析】将函数求导，依题可得27(1)2(1)0f f ì
=
ïíï=î¢，求得411a b =ìí=-î或33a b =-ìí=î，代入函数式，进行检
验，舍去3
3a b =-ìí=î
，即得结论.
【详解】由2
23()ln 232f x b x x ax a a =+
++-求导，()32b f x x a x
¢=++，依题意，27(1)2(1)0f f ì=ïíï=î¢，即2
32722230a a b a ì-+=
ïíï++=î，解得411a b =ìí=-î或33a b =-ìí
=î.当4a =，11b =-时，2
3()11ln 842
f x x x x =-+
++，0x >，2113811(1)(311)
()38x x x x f x x x x x
+--+¢=-++==
，当01x <<时，()0f x ¢<，()f x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 在()
1,+¥
单调递增，
即1x =时，函数()f x 取得极小值27
(1)2f =，符合题意，此时114
b a =-；当3a =-，3b =时，2
3()3ln 6182
f x x x x =+
-+，0x >，因22
33633(1)()360x x x f x x x x x
-+-¢=+-==³ ，
即函数()f x 在(0,)+¥上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.故答案为：11
4
-
.。