2015-2016学年山西省晋城市陵川一中等校联考高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年山西省晋城市陵川一中等校联考高二（下）期末
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，4}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）等于（）
A．{2，4}B．{1，2，4}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 3．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A．y＝x+e x B．C．D．
5．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2
6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于直线x＝1对称，若f（x）＝x（1﹣x）（x≥1），则f（﹣2）＝（）
A．0B．﹣2C．﹣6D．﹣12
7．（5分）函数f（x）＝﹣x3﹣3x+5的零点所在的大致区间是（）
A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
8．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}
9．（5分）已知函数f（x）＝是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0B．﹣3≤a≤﹣2C．a≤﹣2D．a＜0
10．（5分）已知函数f（x）＝，若k＞0，则函数y＝|f（x）|﹣1的零点个数是（）
A．1B．2C．3D．4
11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M＝{}；
②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；
③M＝{（x，y）|y＝log2x}；
④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为．14．（5分）若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝．
15．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）＝
，则f（）+f（）＝．
16．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或演算步骤
17．（10分）函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）＝2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B＝B，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知p：﹣2≤1﹣≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．（12分）某工厂生产A，B两种配套产品，其中每天生产x吨A产品，需生产x+2吨B 产品．已知生产A产品的成本与产量的平方成正比．经测算，生产1吨A产品需要4万元，而B产品的成本为每吨8万元．
（1）求生产A，B两种配套产品的平均成本的最小值；
（2）若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A产品的产量x在[0，]∪[2，8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A产品多少吨，才可使平均成本最低？
20．（12分）已知函数f（x）＝log2（4x+b•2x+4），g（x）＝x．
（1）当b＝﹣5时，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．
21．（12分）已知函数（a为常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a＝1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设g（x）＝f（x）+，求函数y＝g（x）的单调区间．
2015-2016学年山西省晋城市陵川一中等校联考高二（下）
期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑
1．【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，4}，集合B＝{1，5}，
所以∁U B＝{2，3，4}，
所以A∩（∁U B）＝{2，4}．
故选：A．
2．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，
故选：C．
3．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
4．【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，但是f（﹣x）＝﹣x+e﹣x≠±f（x），因此为非奇非偶函数；
B．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣f（x），因此为奇函数；C．定义域为x∈R，关于y轴对称，又f（﹣x）＝＝f（x），因此为偶函数；
D．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）＝＝f（x），因此为偶函数；
故选：A．
5．【解答】解：设log2f（2）＝n，则f（2）＝2n
∴f（x）＝x n
又∵由幂函数y＝f（x）的图象过点
∴，
故选：A．
6．【解答】解：由题意知函数f（x）关于直线x＝1对称，
∴f（﹣2）＝f（4），
∵f（x）＝x（1﹣x）（x≥1），
∴f（﹣2）＝f（4）＝4（1﹣4）＝﹣12
故选：D．
7．【解答】解：∵函数f（x）＝﹣x3﹣3x+5是单调递减函数，
又∵f（1）＝﹣13﹣3×1+5＝1＞0，f（2）＝﹣23﹣3×2+5＝﹣9＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（1，2）上，
故必存在零点的区间是（1，2），
故选：C．
8．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选：C．
9．【解答】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）＝﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）＝（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）＝﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）＝
在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选：B．
10．【解答】解：由y＝|f（x）|﹣1＝0得|f（x）|＝1，即f（x）＝1或f（x）＝﹣1．当x＞0时，由lnx＝1或lnx＝﹣1，解得x＝e或．
当x≤0时，由kx+2＝1或kx+2＝﹣1，解得或．
所以函数y＝|f（x）|﹣1的零点个数是4个，
故选：D．
11．【解答】解：当0≤x≤时，BP＝tan x，AP＝＝，
此时f（x）＝+tan x，0≤x≤，此时单调递增，
当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，
如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tan x＝﹣tan∠POQ＝﹣＝﹣，
∴OQ＝﹣，
∴PD＝AO﹣OQ＝1+，PC＝BO+OQ＝1﹣，
∴P A+PB＝，
当x＝时，P A+PB＝2，
当P在AD边上运动时，≤x≤π，P A+PB＝﹣tan x，
由对称性可知函数f（x）关于x＝对称，
且f（）＞f（），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
12．【解答】解：对于①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．
对于②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；
正确．
对于③M＝{（x，y）|y＝log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．
对于④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．
所以②④正确．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．【解答】解：“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，
可得tan x≤1，所以，m≥1，
实数m的最小值为：1．
故答案为：1．
14．【解答】解：∵f（x）＝xln（x+）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+）＝xln（x+），
∴﹣ln（﹣x+）＝ln（x+），
∴ln（﹣x+）+ln（x+）＝0，
∴ln（+x）（﹣x）＝0，
∴lna＝0，
∴a＝1．
故答案为：1．
15．【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）＝，
则f（）+f（）
＝f（8﹣）+f（8﹣）
＝f（﹣）+f（﹣）
＝﹣f（）﹣f（）
＝
＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），
若在x＜1时，h（x）＝2x﹣a与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2
故答案为：或a≥2．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或演算步骤
17．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}
＝{x|（x﹣3）（x+1）＞0}＝{x|x＜﹣1，或x＞3}，..…..…（3分）
B＝{y|y＝2x﹣a，x≤2}＝{y|﹣a＜y≤4﹣a}．…..…..（7分）
（Ⅱ）∵A∩B＝B，∴B⊆A，..…．（9分）
∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，…（11分）
∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．…．（13分）
18．【解答】解：由，
解得﹣2≤x≤10．
∴¬p：B＝{x|x＞10或x＜﹣2}，
对于q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），
∴|x﹣1|≤m．
∴1﹣m≤x≤m+1．
∴￢q：A＝{x|x＜1﹣m，或x＞m+1}．
∵¬p是¬q的必要不充分条件，
∴A⊊B⇔，
解得m≥9．
∴实数m的取值范围是m≥9．
19．【解答】解：（1）设生产A产品的成本为y1万元，生产B产品的成本为y2万元，由题意可得y1＝kx2，（k为比例系数），
生产1吨A产品需要4万元，可得k＝4．
即有生产A，B两种配套产品的总成本为4x2+8（x+2），
则生产A，B两种配套产品的平均成本为y＝
＝＝2（x+1+），
由x＞0，x+1＞0，可得x+1+≥2＝2，
当且仅当x+1＝，即x＝﹣1，取得等号．
即生产A，B两种配套产品的平均成本的最小值为4万元/吨；
（2）由x在[0，]∪[2，8]，可得
x+1∈[1，]∪[3，9]，
令t＝x+1，则y＝2（t+），t∈[1，]∪[3，9]，
由导数y′＝2（1﹣），
可得函数y在[1，]递减，在[3，9]递增，
当t＝时，y＝2×（+2）＝7；
当t＝3时，y＝2×（3+1）＝8．
可得该工厂应生产A产品吨，才可使平均成本最低．
20．【解答】解：（1）当b＝﹣5时，f（x）＝log2（4x﹣5•2x+4），
则4x﹣5•2x+4＞0，
故x＜0或x＞2；
∴f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）；
（2）∵f（x）＝log2（4x+b•2x+4），g（x）＝x，
∴由f（x）＞g（x）得4x+b•2x+4＞2x，
即b＞1﹣（2x+），
令h（x）＝1﹣（2x+），
则h（x）≤﹣3，
∴当b＞﹣3时，f（x）＞g（x）恒成立，
故b的取值范围是（﹣3，+∞）．
21．【解答】解：（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，当a＜0时，解得．
故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或}
当a＜0时，f（x）的定义域为{x|}．
（2）令，因为为减函数，
故要使f（x）在（2，4）上是减函数，
则在（2，4）上为增且为正．
故有．
故a∈[1，2）．
22．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x﹣﹣2lnx，（x＞0），
f′（x）＝1+﹣，
f（1）＝0，f′（1）＝1+1﹣2＝0，
∴切线斜率是0，过（1，0），
故切线是x轴；
（2）g（x）＝f（x）+＝ax﹣2lnx，（x＞0），
g′（x）＝a﹣＝，
a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，令g′（x）＞0，解得：x＞，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，
∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增．。