第九章对流传热
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x Re x
假定在平板前缘不同的 x 距离处，速度分布的 形状是相似的，即：
ux ～ u0
y
（9-15）
将（9-14）代入 （9-15）得：
ux ～ y u0
u0
x
（9-16）
令 x, y y u0
x
（9-17）
显然 u x 与 相似，将这种关系用如下得
u0
函数形式描述：
u x g
与许多因素有关，令
h k
（9-2）
f
则：该方程称qA为 h牛t顿f 冷ts 却定律（，9-3）
h 称为对流传热系数。
h与下列因素有关： ⑴ 流体物性 ⑵ 壁面的几何形状和粗糙度 ⑶ 流体与壁面间的温差 ⑷ 流体速度 ⑸ 层流内层厚度
由于h 实际上表示的是薄层内的传热系数， 故又称为膜系数。
局部膜系数与平均膜系数的关系为：
ux uy 0 x y
用符号“ ”表示数量级关系，则上
式可近似写成：u 0 u y 0 x
（9-12）
故uy的数量级近似为： u y
u 0 x
（9-13）
将其代入方程（9-10），可得如下数量级
的近似关系： u0
u0 x
u0u0 x
u02
由此得δ的数 量级为：
x u0
（9-14）
或写成： 1 （9-14a）
k1
1
hm0.66L4ReL2 Pr3 令
则有：
11
Num0.66R4 eL2Pr3
Num
hm L k
显然当x=L时，平均膜系数与局部膜系 数的关系为两倍的关系。
即： hm=2hx Num=2Nux
上述诸式适用范围是： 恒定壁温条件 光滑平板壁面 层油边界层的传热 且0.6<Pr<15 , ReL < 5 × 105 其中物性参数取膜平均温度tm下的值
湍流核心
缓冲层
层流内层
在层流状态下的流体，由于不存在流体的 旋涡的运动和混合，故在垂直于流体动方向上 的传热为导热。在固体壁面与流体之间的导热， 取决于流体内部的温度梯度，该梯度与流场密 切相关，流速大，温度梯度也大，故在一般情 况下常将固体壁面与流体之间的热量传递过程 统称为对流传热。
在无相变的对流传热中，最为常见的是强制 湍流传热，其原因是此种传热过程可获得较大 的传热速率。
tm 12(to ts)
速度边界层厚度 与温度边界层厚度
t 之间的关系可估算如下：
dT *
1
d 0.332Pr 3
0
由速度分布函数可得知：
d(uuox) df' f''(0)0.332
d 0
d0
无因次温度梯度和无因次速度梯度在边界 层内可近似地认为维持恒定，由此可推出：
dT* To*Ts*
ux
ux x
uy
ux y
1
dp 2ux dx y2
ux uy 0 x y
边界层内的能量方程可简化为：
ux
t xuy
yt x2t2
2t
y2
（9-8）
由于 y 0,x 01,所以y<<x
2t x2
2t y2
可得：
ux
t x
uy
t y
2t y2
（9-9）
边界层方程的精确解
根据平板边界层的特点，已经证明在 x 方向上的压力梯度为零，即 d p 0 ，
热边界层的形成与发展过程与流速边界
层相似。为方便，通常规定：流体与壁面
间的温度差（ t s t ）达到最大温差的t s 99t％0
时的 y 方向距离为热边界层的厚度 是 x 的函数。
t
。
t
平板上和圆管内的温度边界层如图所示：
y
ts
x
u 0 t0
t0
r t0
t
t
r
ts
流体以匀速u0和均匀温度t0流过温度为ts的平 板。由于流体与壁面之间发生热量传递，在y方 向上流体温度将发生变化。热边界层厚度δt在 x ＝0处也为零，然后随x的增加也逐渐增厚。
hx
k to ts
dt dy y0
用无因次温度T*表示，又可写成：
hx
kdT dy
k
y0
uo dT
x d 0
波尔·豪森（Pohlhausen）对于Pr=0.6～ 15范围内的物料进行了研究，针对层流传
热，以 T*～ Pr 1 3作图，得到了一条曲线，
该曲线在 Pr1 3 0 处的斜率为0.322
dx
故普兰德边边界层方程可简化为：
ux
ux x
uy
ux y
2ux
y2
（9-10）
连续性方程为：
根据流函数ψ的 定义
ux uy 0 x y
ux y
uy
ห้องสมุดไป่ตู้
x
可 将 方 程 （ 9-10） 变 为 ：
223
y xy x y2 y3
y0
边界条件为：
y
0
y
ux 0 uy 0 ux u0
c0,c1,c2……为待定系数，可根据上述边 界条件确定，为此先对
f求导数f', f'', f '''
f
'
c1
c2
c3 2
2!
c4 3
3!
……
f
''
c2
c3
c4
2!
2
c5 3
3!
……
f
'''
c3
c4
c5
2!
2
c6 3
3!
……
根据边界条件可得：
c0 c1 c3 c4 0
c5
c22 2
（9-7）
由此看来，要想求出h，关键是计算 壁面的温度梯度
其步骤是：
运动 方程
能量 方程
连续性 方程
速度分 布函数
温度分 布函数
膜 系数
很显然，只有层流状态下，才能 进行严格的求解，而对于湍流， 目前还只能依靠经验方程。
第二节 层流下的热量传递
严格地讲，层流状态下的传热，也会因 为非等温因素存在密度差，导致自然对流 传热，所以下面讨论的层流传热只能指理 想情况。
热流最后由缓冲层进入湍流核心，在这里， 流体剧烈湍动，涡流传热较分子传热剧烈的多， 导热可忽略不计。
有相变的传热过程——沸腾和冷凝传热的机 理与湍流有些不同。主要由于有相的变化，界 面不断骚动，故而传热速率大大加快，但其仍 然按对流传热的规律处理。
二、热边界层
定义：流体流过固体壁面时，其流体温 度与壁面不同，则壁面附近的流体受壁面 温度的影响将建立一个温度梯度。一般将 流体流动存在温度梯度的区域定义为热边 界层。
传热机理如下：
湍流流体流经固体壁面时，将形成湍流边 界层，若流体与壁面的温度不同则它们之间将 进行热交换。
设流体温度低于壁面温度，则热流会由壁 面流向流体中。在壁面附近为层流内层、壁面 处的热量首先通过静止的流体层进入层流内层， 此时传热方式为流体分子无规律运动所引起， 为导热。
热流体层流内层进入缓冲层，此层既有流体 微团的层流流动，也存在一些使流体微团在热 流方向上作旋涡运动的宏观运动，故在缓冲层 内兼有导热和涡流传热两种传热方式。
hm
1 L
L
0 hxdx
（9-4）
hx 为 x 处的膜系数
在实际中求解膜系数时，常将其与壁面附
近流体的温度梯度关联起来。根据傅立叶
定律有：
q kA dt dy y0
（9-5）
在该处热量必定以对流方式传递到主体中 去，故q又可表示为：
qhAts t0
（9-6）
由此可得：
h k dt t0 ts dy y0
圆管内热边界层的形成与发展也类似，热边
界层厚度由进口的零值逐渐增厚，经过一个x距 离后，在管中心汇合。
对流传热系数（膜系数）
根据湍流传热机理可知，湍流流体与固体 壁面之间有一层层流内层存在，层流的传 热依靠导热，而在湍流主体中主要是靠涡 流传热。
就热阻而论，层流内层将占总对流热阻的 大部分，该层流体虽然很薄，热阻却很大， 温度梯度也很大。湍流核心的温度则较均 匀，热阻很小，温度梯度也很小。
……
其它不为零得系数均可用c2表示，可得
f 的表达式为：
fc221c2 2511c2 38… …
2! 25! 48!
根据 时， f ' 1 条件确定
c20.33206… …
最后可得 f 表达式为：
f 0 . 1 6 6 0 3 2 4 . 5 9 4 3 5 1 0 4 2 . 4 9 7 2 8 1 0 6 … …
f
tf
由流体主体至壁面的 温度分布如图所示
tb
为了简化起见，可采用流体平均主体温度与 壁面间的温度差作为流体与壁面的温度差。
全部热阻均集中在壁面附近厚度为δf的流体 膜内，在此情况下，膜内的的热阻方式可视为 导热。
根据傅立叶定律，传热速率的表达式为：
q k
A f
t f ts
（9-1）
δf为导热膜厚度，该值不易测定，其大小
u0
（9-18）
事实上， 为无因次的位置变量，它可代替 x 和y
这两个自变量，这种交换自变量的方法称为变量
的相似变换。
g 为无因次的速度变量，有待求解。
由方程（9-18）得：
ux u0g （9-19）
将流函数定义式代入上式得：
u0g
(9 20)
u0gd (921)
根据方程（9-17）可求得
x 2x
ux y
u0
u 0 f ''
x
2ux
u
2 0
f '''
y2
(9 27) (9 28) (9 29)
将上述式子代入边界层方程（9-10）中，得 ：
ff '' f ''' 0 （9-30）
即：
f
d2df2d3df30
（9-30a）
这是一个仅为η的函数的三阶非线 性微分方程。对应的边界条件变为：
则上述方程写成
d2T*
d2
Pr 2
f
dT*
d
0（ f 为已知的函数）
无因次边界条件为：
yy 0时 时 ,,tt tts0, 0时 时 ,T,* T * 01
解方程 最后得
T* ts t
0expP2r
0
fdd
ts t0
0expP2r
0
fdd
作图
求出温度分布之后，平板稳态层流传热 的膜系数h可求算如下：
这与前面求出的近似解相吻合
1
x 4.64Rex2
曳力： Fd 0.664b Lu03
曳力系数：
1
CD 1.328ReL2
近似解为：
1
CD 1.292ReL2
第三节 边界层能量方程的精确解
现已得知 ux ,uy与x, y 的函数关系，将 其代入能量方程即可对边界层能量方程 求解
边界层能量 方程为：
方程（9-11）为三阶非线性偏微分方程，数 学上无法得到分析解。
布拉休斯采用物理直观性并结合数学方法求 解获得了相应的结果，称为布拉休斯解。
求解过程采用“相似变换”方法将方程（911）变为常微分方程，最后求出速度分布方 程。
首先作数量级分析，
令ux的数量级为u0，y的数量级为δ0，则 uy的数量级可根据连续性方程得出，
ux
t x
uy
t y
2t y2
边界条件为：
y y
0时 , t ts 时 ,t t0
x 0时 , t t0
首先对方程（9-9）作近似变换，式中t
采用无因次温度代替。
能量方程写成：
T * ts t ts t0
ux
T* x
uy
T* y
Ty2*
T * 可表示成 的函数，设 T*
这就是平板边界层方程（9-10）的精确解。
首先由布拉休斯于1908年提出。 应用该精确解即可求出边界层内的速度分 布、边界层厚度、摩擦曳力及摩擦曳力系 数等。
边界层厚度：根据厚度的定义：
ux 0.99时的y值即为
u0
f' 0 .9 9 时 ,求 出 值 为 5 .0 ,则 x 5 .0 R e x1 2
d0 os
1
1
uoxt 0.332Pr.3
d(ux ) uo
(ux uo
)o
(ux uo
)s
1
0.332
d
o s
uo
0
x
比较两式：
1
t
P3 r
显然对于Pr 数大于1的物系来说 t
而大多数液体物系的 Pr 数均大于1， 而对于大多数气体 Pr 1
一、平板壁面层流传热的精确解 与壁面温度不同的流体，在平板壁面 作稳态平行层流时，在壁面附近将同时建 立速度边界层和温度边界层。两种边界层 厚度一般不相等。
大多数情况下，速度边界层较温度边界 层厚，边界层以外无温度梯度和速度梯度。 最关键问题是边界层内的温度分布。
u0 t0
δ
前已推到出边界层内的普兰德边界层方程：
y0时 ,ux0, y0时 ,uy0,
0时 ,f' 0 0时 ,f 0
(由 925得 ) (由 926得 )
y 时 ,uxu0, 时 ,f' 1 (由 925得 )
可设为一无穷级数：
f c 0 c 1 c 2 2 !2 c 3 3 !3 c 4 4 !4 c 5 5 !5 … …
u0
xgd
u0
u0xgd
（9-23）
令：f g d
则有：
或：f
u0 x f
u0 x
(9 24)
f 为无因次的流函数，用它代替ψ。于是 可用 f 表示 u x , u y 分别为：
ux u0 f '
(925)
1
uy
2
u0 f ' f
x
(926)
u x u 0 f ''
即：
dT *
d(Pr1 3)
0
0.332
则有： dT* d
0.332Pr
1 3
0
所以
hx0.332
uo xP r13
k1
1
0.332xR ex2P r3
令
N ux
hx x k
则有：
11
Nux0.33R2 ex2Pr3
平均膜系数hm为：
hmL 1L 00.3x3k2(uox)1 2
(cpu)1 3dx k
假定在平板前缘不同的 x 距离处，速度分布的 形状是相似的，即：
ux ～ u0
y
（9-15）
将（9-14）代入 （9-15）得：
ux ～ y u0
u0
x
（9-16）
令 x, y y u0
x
（9-17）
显然 u x 与 相似，将这种关系用如下得
u0
函数形式描述：
u x g
与许多因素有关，令
h k
（9-2）
f
则：该方程称qA为 h牛t顿f 冷ts 却定律（，9-3）
h 称为对流传热系数。
h与下列因素有关： ⑴ 流体物性 ⑵ 壁面的几何形状和粗糙度 ⑶ 流体与壁面间的温差 ⑷ 流体速度 ⑸ 层流内层厚度
由于h 实际上表示的是薄层内的传热系数， 故又称为膜系数。
局部膜系数与平均膜系数的关系为：
ux uy 0 x y
用符号“ ”表示数量级关系，则上
式可近似写成：u 0 u y 0 x
（9-12）
故uy的数量级近似为： u y
u 0 x
（9-13）
将其代入方程（9-10），可得如下数量级
的近似关系： u0
u0 x
u0u0 x
u02
由此得δ的数 量级为：
x u0
（9-14）
或写成： 1 （9-14a）
k1
1
hm0.66L4ReL2 Pr3 令
则有：
11
Num0.66R4 eL2Pr3
Num
hm L k
显然当x=L时，平均膜系数与局部膜系 数的关系为两倍的关系。
即： hm=2hx Num=2Nux
上述诸式适用范围是： 恒定壁温条件 光滑平板壁面 层油边界层的传热 且0.6<Pr<15 , ReL < 5 × 105 其中物性参数取膜平均温度tm下的值
湍流核心
缓冲层
层流内层
在层流状态下的流体，由于不存在流体的 旋涡的运动和混合，故在垂直于流体动方向上 的传热为导热。在固体壁面与流体之间的导热， 取决于流体内部的温度梯度，该梯度与流场密 切相关，流速大，温度梯度也大，故在一般情 况下常将固体壁面与流体之间的热量传递过程 统称为对流传热。
在无相变的对流传热中，最为常见的是强制 湍流传热，其原因是此种传热过程可获得较大 的传热速率。
tm 12(to ts)
速度边界层厚度 与温度边界层厚度
t 之间的关系可估算如下：
dT *
1
d 0.332Pr 3
0
由速度分布函数可得知：
d(uuox) df' f''(0)0.332
d 0
d0
无因次温度梯度和无因次速度梯度在边界 层内可近似地认为维持恒定，由此可推出：
dT* To*Ts*
ux
ux x
uy
ux y
1
dp 2ux dx y2
ux uy 0 x y
边界层内的能量方程可简化为：
ux
t xuy
yt x2t2
2t
y2
（9-8）
由于 y 0,x 01,所以y<<x
2t x2
2t y2
可得：
ux
t x
uy
t y
2t y2
（9-9）
边界层方程的精确解
根据平板边界层的特点，已经证明在 x 方向上的压力梯度为零，即 d p 0 ，
热边界层的形成与发展过程与流速边界
层相似。为方便，通常规定：流体与壁面
间的温度差（ t s t ）达到最大温差的t s 99t％0
时的 y 方向距离为热边界层的厚度 是 x 的函数。
t
。
t
平板上和圆管内的温度边界层如图所示：
y
ts
x
u 0 t0
t0
r t0
t
t
r
ts
流体以匀速u0和均匀温度t0流过温度为ts的平 板。由于流体与壁面之间发生热量传递，在y方 向上流体温度将发生变化。热边界层厚度δt在 x ＝0处也为零，然后随x的增加也逐渐增厚。
hx
k to ts
dt dy y0
用无因次温度T*表示，又可写成：
hx
kdT dy
k
y0
uo dT
x d 0
波尔·豪森（Pohlhausen）对于Pr=0.6～ 15范围内的物料进行了研究，针对层流传
热，以 T*～ Pr 1 3作图，得到了一条曲线，
该曲线在 Pr1 3 0 处的斜率为0.322
dx
故普兰德边边界层方程可简化为：
ux
ux x
uy
ux y
2ux
y2
（9-10）
连续性方程为：
根据流函数ψ的 定义
ux uy 0 x y
ux y
uy
ห้องสมุดไป่ตู้
x
可 将 方 程 （ 9-10） 变 为 ：
223
y xy x y2 y3
y0
边界条件为：
y
0
y
ux 0 uy 0 ux u0
c0,c1,c2……为待定系数，可根据上述边 界条件确定，为此先对
f求导数f', f'', f '''
f
'
c1
c2
c3 2
2!
c4 3
3!
……
f
''
c2
c3
c4
2!
2
c5 3
3!
……
f
'''
c3
c4
c5
2!
2
c6 3
3!
……
根据边界条件可得：
c0 c1 c3 c4 0
c5
c22 2
（9-7）
由此看来，要想求出h，关键是计算 壁面的温度梯度
其步骤是：
运动 方程
能量 方程
连续性 方程
速度分 布函数
温度分 布函数
膜 系数
很显然，只有层流状态下，才能 进行严格的求解，而对于湍流， 目前还只能依靠经验方程。
第二节 层流下的热量传递
严格地讲，层流状态下的传热，也会因 为非等温因素存在密度差，导致自然对流 传热，所以下面讨论的层流传热只能指理 想情况。
热流最后由缓冲层进入湍流核心，在这里， 流体剧烈湍动，涡流传热较分子传热剧烈的多， 导热可忽略不计。
有相变的传热过程——沸腾和冷凝传热的机 理与湍流有些不同。主要由于有相的变化，界 面不断骚动，故而传热速率大大加快，但其仍 然按对流传热的规律处理。
二、热边界层
定义：流体流过固体壁面时，其流体温 度与壁面不同，则壁面附近的流体受壁面 温度的影响将建立一个温度梯度。一般将 流体流动存在温度梯度的区域定义为热边 界层。
传热机理如下：
湍流流体流经固体壁面时，将形成湍流边 界层，若流体与壁面的温度不同则它们之间将 进行热交换。
设流体温度低于壁面温度，则热流会由壁 面流向流体中。在壁面附近为层流内层、壁面 处的热量首先通过静止的流体层进入层流内层， 此时传热方式为流体分子无规律运动所引起， 为导热。
热流体层流内层进入缓冲层，此层既有流体 微团的层流流动，也存在一些使流体微团在热 流方向上作旋涡运动的宏观运动，故在缓冲层 内兼有导热和涡流传热两种传热方式。
hm
1 L
L
0 hxdx
（9-4）
hx 为 x 处的膜系数
在实际中求解膜系数时，常将其与壁面附
近流体的温度梯度关联起来。根据傅立叶
定律有：
q kA dt dy y0
（9-5）
在该处热量必定以对流方式传递到主体中 去，故q又可表示为：
qhAts t0
（9-6）
由此可得：
h k dt t0 ts dy y0
圆管内热边界层的形成与发展也类似，热边
界层厚度由进口的零值逐渐增厚，经过一个x距 离后，在管中心汇合。
对流传热系数（膜系数）
根据湍流传热机理可知，湍流流体与固体 壁面之间有一层层流内层存在，层流的传 热依靠导热，而在湍流主体中主要是靠涡 流传热。
就热阻而论，层流内层将占总对流热阻的 大部分，该层流体虽然很薄，热阻却很大， 温度梯度也很大。湍流核心的温度则较均 匀，热阻很小，温度梯度也很小。
……
其它不为零得系数均可用c2表示，可得
f 的表达式为：
fc221c2 2511c2 38… …
2! 25! 48!
根据 时， f ' 1 条件确定
c20.33206… …
最后可得 f 表达式为：
f 0 . 1 6 6 0 3 2 4 . 5 9 4 3 5 1 0 4 2 . 4 9 7 2 8 1 0 6 … …
f
tf
由流体主体至壁面的 温度分布如图所示
tb
为了简化起见，可采用流体平均主体温度与 壁面间的温度差作为流体与壁面的温度差。
全部热阻均集中在壁面附近厚度为δf的流体 膜内，在此情况下，膜内的的热阻方式可视为 导热。
根据傅立叶定律，传热速率的表达式为：
q k
A f
t f ts
（9-1）
δf为导热膜厚度，该值不易测定，其大小
u0
（9-18）
事实上， 为无因次的位置变量，它可代替 x 和y
这两个自变量，这种交换自变量的方法称为变量
的相似变换。
g 为无因次的速度变量，有待求解。
由方程（9-18）得：
ux u0g （9-19）
将流函数定义式代入上式得：
u0g
(9 20)
u0gd (921)
根据方程（9-17）可求得
x 2x
ux y
u0
u 0 f ''
x
2ux
u
2 0
f '''
y2
(9 27) (9 28) (9 29)
将上述式子代入边界层方程（9-10）中，得 ：
ff '' f ''' 0 （9-30）
即：
f
d2df2d3df30
（9-30a）
这是一个仅为η的函数的三阶非线 性微分方程。对应的边界条件变为：
则上述方程写成
d2T*
d2
Pr 2
f
dT*
d
0（ f 为已知的函数）
无因次边界条件为：
yy 0时 时 ,,tt tts0, 0时 时 ,T,* T * 01
解方程 最后得
T* ts t
0expP2r
0
fdd
ts t0
0expP2r
0
fdd
作图
求出温度分布之后，平板稳态层流传热 的膜系数h可求算如下：
这与前面求出的近似解相吻合
1
x 4.64Rex2
曳力： Fd 0.664b Lu03
曳力系数：
1
CD 1.328ReL2
近似解为：
1
CD 1.292ReL2
第三节 边界层能量方程的精确解
现已得知 ux ,uy与x, y 的函数关系，将 其代入能量方程即可对边界层能量方程 求解
边界层能量 方程为：
方程（9-11）为三阶非线性偏微分方程，数 学上无法得到分析解。
布拉休斯采用物理直观性并结合数学方法求 解获得了相应的结果，称为布拉休斯解。
求解过程采用“相似变换”方法将方程（911）变为常微分方程，最后求出速度分布方 程。
首先作数量级分析，
令ux的数量级为u0，y的数量级为δ0，则 uy的数量级可根据连续性方程得出，
ux
t x
uy
t y
2t y2
边界条件为：
y y
0时 , t ts 时 ,t t0
x 0时 , t t0
首先对方程（9-9）作近似变换，式中t
采用无因次温度代替。
能量方程写成：
T * ts t ts t0
ux
T* x
uy
T* y
Ty2*
T * 可表示成 的函数，设 T*
这就是平板边界层方程（9-10）的精确解。
首先由布拉休斯于1908年提出。 应用该精确解即可求出边界层内的速度分 布、边界层厚度、摩擦曳力及摩擦曳力系 数等。
边界层厚度：根据厚度的定义：
ux 0.99时的y值即为
u0
f' 0 .9 9 时 ,求 出 值 为 5 .0 ,则 x 5 .0 R e x1 2
d0 os
1
1
uoxt 0.332Pr.3
d(ux ) uo
(ux uo
)o
(ux uo
)s
1
0.332
d
o s
uo
0
x
比较两式：
1
t
P3 r
显然对于Pr 数大于1的物系来说 t
而大多数液体物系的 Pr 数均大于1， 而对于大多数气体 Pr 1
一、平板壁面层流传热的精确解 与壁面温度不同的流体，在平板壁面 作稳态平行层流时，在壁面附近将同时建 立速度边界层和温度边界层。两种边界层 厚度一般不相等。
大多数情况下，速度边界层较温度边界 层厚，边界层以外无温度梯度和速度梯度。 最关键问题是边界层内的温度分布。
u0 t0
δ
前已推到出边界层内的普兰德边界层方程：
y0时 ,ux0, y0时 ,uy0,
0时 ,f' 0 0时 ,f 0
(由 925得 ) (由 926得 )
y 时 ,uxu0, 时 ,f' 1 (由 925得 )
可设为一无穷级数：
f c 0 c 1 c 2 2 !2 c 3 3 !3 c 4 4 !4 c 5 5 !5 … …
u0
xgd
u0
u0xgd
（9-23）
令：f g d
则有：
或：f
u0 x f
u0 x
(9 24)
f 为无因次的流函数，用它代替ψ。于是 可用 f 表示 u x , u y 分别为：
ux u0 f '
(925)
1
uy
2
u0 f ' f
x
(926)
u x u 0 f ''
即：
dT *
d(Pr1 3)
0
0.332
则有： dT* d
0.332Pr
1 3
0
所以
hx0.332
uo xP r13
k1
1
0.332xR ex2P r3
令
N ux
hx x k
则有：
11
Nux0.33R2 ex2Pr3
平均膜系数hm为：
hmL 1L 00.3x3k2(uox)1 2
(cpu)1 3dx k