2021年高三上学期周练(8.7)数学试题 含解析

2021年高三上学期周练（8.7）数学试题含解析
一、选择题（共12小题，共60
分）
1．已知函数是定义在上的奇函数，若，则关于的方程的所有跟之和为（）A． B． C． D．
2．已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（）
A． B．3 C． D．
3．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线C1：的离心率为，一条渐近线为，抛物线
C2： y2＝4x的焦点为F，点P为直线与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若函数的图象如图所示，则（）
A．1:6:5：（-8） B．1:6:5:8
C．1：（-6）：5:8 D．1：（-6）：5：（-8）
7．已知集合，则集合B不可能是（）
A．
B．
C．
D．
8．设是数列的前项和，时点在直线上，且的首项是二次函数的最小值，则的值为（）A． B． C． D．
9．已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（）
A.或 B．2或
C．2或 D．或
10．已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）
A．或 B．或
C．或 D．或
12．如图所示，直线y=x-2与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则=（）
A．13 B．14 C．15 D．16
第II卷（非选择题）
二、填空题（4小题，共20分）
13．设x，y满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为____________.
14．已知椭圆，、是椭圆的左右顶点，是椭圆上不与、重合的一点，、的倾斜角分别为、，则______．15．在极坐标系中，点，为曲线的对称中心，则三角形面积等于________.
16．已知，，则_____.
三、解答题（8小题，共70分）
17．设函数.
（1）若，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，证明：；
（3）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.
18．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文
科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.
19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；
（2）曲线与曲线交于、，曲线与曲线交于、，求．
20．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为：为参数，其中，椭圆的参数方程为为参数)，圆的标准方程为.
（1）写出椭圆的普通方程；
（2）若直线为圆的切线，且交椭圆于两点，求弦的长.
21．选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形中，于，交于，且.
（1）求证：、、、四点共圆；
（2）若，求四边形的面积.
22．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）不等式的解集中的整数有且仅有，求实数的取值范围.
23．如图，是边长为3的正方形，，且.
（1）试在线段上确定一点的位置，使得；
（2）求二面角的余弦值．
24．设方程（为参数）表示曲线
（Ⅰ）写出曲线的普通方程，并说明它的轨迹；
（Ⅱ）求曲线上的动点到坐标原点距离的最小值。

参考答案
1．C
【解析】
试题分析：因,故当，的解集为空集,当,时, 函数的最小值为,则方程的解集为且.当且时,由可得；当时,函数的对称轴为,因此方程的解集为且,故该方程的这四个根的和为,所以所有根的和为,应选C.
-1
1
y=-a
1-2a x
4
x3
x2
x1
-4-3-2
-14
3
2
1
O
y
x
考点：分段函数的图象和性质．
【易错点晴】本题考查的是函数的零点问题和函数的性质的综合运用问题.解答本题的关键是搞清楚函数的解析式,进而再求其零点,最后求出其和.求解时充分借助函数的奇偶性,先求出当时的函数解析式为,在此基础上画出函数的图象,借助函数的图象求出满足题设条件的所有根,并求出其和为.
2．B
【解析】
试题分析：因
2018
,
2016
,
,6
,4
,2
2018
2017
2016
2015
6
5
4
3
2
1
-
=
+
=
+
⋅⋅⋅
-
=
+
=
+
-
=
+a
a
a
a
a
a
a
a
a
a,故，则b
b
S
S
a-
-
=
-
-
-
=
-
=3023
2016
1007
2016
2017
2017
，进而可得,所以由基本不等式可得,应选B.
考点：数列的知识和基本不等式的综合运用．
3．C
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，由图可知，故选C.
考点：函数图象与性质.
【思路点晴】本题是年全国卷第题.主要的解题思路就是数形结合.有关函数的问题，往往可以先画出函数的图象，然后利用图象与性质来解决.本题分段函数中第一段是对数函数外面加绝对值，我们先画出绝对值里面的函数，然后把轴下方的图象向上翻折，就可以得到的图象；第二段是一次函数，图象为直线.
4．C
【解析】
试题分析：由于“函数的图象关于点对称”，故图象关于原点对称，为奇函数，不妨设.根据，
得223430,343y x x y x x -+--==---，作图象如下图所示，故最大值为.当时，过，由图象可知还不是最小值，不合题意，故选C.
考点：1.函数奇偶性与单调性；2.最值问题.
【思路点晴】本题考查函数图象与性质，导数与图象等知识.第一个问题就是处理这两个函数图象的关系，图象向右移个单位得到图象，向左移个单位得到图象.由此可以确定函数是一个奇函数，由于为增函数，而且为抽象函数，不妨设，这样可以简化题目的化简过程. 5．D 【解析】 试题分析：，则，从而,选D.
考点：抛物线定义，双曲线渐近线 【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．
2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2
＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋p 2；若过焦点的弦
AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长为|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 6．D 【解析】
试题分析：由图象可知∴分母上必定可分解为，∵在时，有，∴，∴，故答案为D ． 考点：函数的图象. 7．D 【解析】 试题分析：，，故选D. 考点：（1）函数的定义域及值域；（2）集合的运算. 8．C 【解析】
试题分析：由已知，，即，可知数列为等差数列，且公差为，又函数的最小值为，即，故． 考点：等差数列． 9．B 【解析】
试题分析：由题意，或，∴或. 考点：圆锥曲线的性质． 10．D
【解析】
试题分析：2
2()()232
x x a g x f x x x x x a
-+>⎧=-=⎨
++≤⎩，而方程的解为，方程的解为或，所以，
解得，所以的取值范围是,故选D. 考点：函数的零点．
【易错点睛】本题主要考查函数零点的判断.函数零点个数的判断：函数零点的个数即为方程根的个数，可转化为函数的图象与轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数．利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数在区间上的图象是否连续不断，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点． 11．C 【解析】
试题分析：画出函数的图象如图，由，可得，有图象知当时，由于，所以有四个根，的方程有且仅有个不同实数根，所以有两个根，由图象知，当或时，有两个根，因此实数的取值范围是或，故选C.
考点：1、函数的图象与性质；2、方程的根与函数图象交点的关系.
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、方程的根与函数图象交点的关系，属于难题.判断方程根的个数常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题就利用了方法③. 12．B 【解析】
试题分析：因为圆可化为，所以圆半径为，又因为抛物线的焦点为，所以直线过抛物线的焦点和圆心，，联立与得，，则，设，由抛物线定义知，，故选B.
考点：1、抛物线的定义；2、直线和抛物线的位置关系及韦达定理. 13．-4 【解析】
试题分析：作出可行域，令 得 .结合图象可知目标函数在处取得最大值，代入可得.故本题答案应填.
考点：线性规划. 14． 【解析】
试题分析：设，∴22
2sin 2sin 4sin tan ,tan tan tan 4cos 1cos 1cos 1θθθ
αβαβθθθ==⇒==-+--，
()()cos 1tan tan 143
cos 1tan tan 145
αβαβαβαβ-+-===-
+-+．
考点：椭圆性质 15． 【解析】
试题分析：将点化为直角坐标为,极坐标方程化为直角坐标为,所以圆心为,所以的面积为. 考点：极坐标方程及运用． 16． 【解析】
试题分析：因,而,故,所以. 考点：集合的交集运算． 17．（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 试题分析：（1）运用导数及二次函数的判别式等知识求解；（2）借助题设条件构造函数运用导数知识推证；（3）依据题设条件运用导数的有关知识分类分析推证求解. 试题解析：
（1）由已知，时，，的定义域为，求导得，
∵有两个极值点，有两个不同的正根，故的判别式，即，且，，所以的取值范围为. （2）由（1）得且，得，∴， 令，则， 当时，，在上市增函数，∴， ∴.
（3）令，由于，所以为关于的递减的一次函数 根据题意，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，则 上有解，令，则只需存在使得即可，由于，令，，， ∴在上单调递增，∴， ①当，即时，，∴在上是增函数，∴，不符合题意； ②当，即时，，
（i ）若，即时，在上恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，∴存在使得，∴，符合题意；
（ii ）若，即时，在上存在实数，使得，
∴在上，恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，∴存在使得符合题意. 综上所述，当时，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立. 考点：导数及有关知识的综合运用．
【易错点晴】函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时，一定要先求导，再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方），其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号，以便确定其单调性，这是解答这类问题容易忽视的.本题第一问的求解过程则是借助导函数有零点运用二次函数的判别式进行求解的.第二问的推证则是借助构造函数运用导数来完成的.第三问则是先构造函数，再借助函数的单调性运用分析转化的思维方式进行推证，最后求出的取值范围. 18．（1）；（2）分布列见解析，. 【解析】 试题分析：（1）借助题设建立方程求解；（2）借助题设条件和余弦定理求解. 试题解析:
（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则
所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为
（2）的可能取值为0，10，20，30，则
()2
1
2213111310+=3343436P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
()2
2
12
2231214
20+=34
3349P X C C ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
所以的分布列为
所以，的数学期望
考点：条件概率和随机变量的概率分布及数学期望等有关知识的运用． 19．（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）借助题设先将参数方程变为直角坐标方程再化为极坐标方程；（2）借助题设条件运用极坐标方程求出极径，再求. 试题解析:
（1）曲线的普通方程为即 由，得
所以曲线的极坐标方程为
（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，
则1212cos
sin
cos
6
6
6
2π
π
π
ρρ===+=
+
所以
考点：极坐标方程、参数方程及有关知识的运用．
【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.关于参数方程问题求解时，要学会消参、用参、设置参数等几个方面的运用.本题在解答时充分利用题设条件，运用参数方程与直角坐标、极坐标之间的相互转化，从而使问题巧妙获解. 20．（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）对两边平方后相加，得； （2）由于直线为圆的切线，利用圆心到直线的距离等于半径可求得，所以直线的参数方程为：，代入椭圆方程，化简得，利用根与系数关系、直线参数方程的几何意义有. 试题解析：
（1）椭圆的普通方程为. （2）将直线的参数方程得， 由直线为圆的切线可知 即 解得，
所以直线的参数方程为：， 将其代入椭圆的普通方程得， 设对应的参数分别为，
所以12121248
,,77
7
t t t t AB t t +=-
=-=-==
. 考点：坐标系与参数方程. 21．（1）证明见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）要证明四点共圆，实际上就是要证明同弦所对的圆周角相等.本题即是证明即可.有已知条件易证，所以，而，所以有得证；（2）由（1）知，且，由于，所以. 试题解析：
（1）证明：在中，， 又， .
又,,AB AD ABD ADB ABD ACP A =∴∠=∠∴∠=∠∴、、、四点共圆.
（2）由、、、四点共圆， ，而正三角形中易知 为正三角形且，且， 四边形的面积 .
考点：几何证明选讲. 22．（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1），，解得；（2）等价于，即，解得或或，且.根据的取值分成类来讨论解集，从
而求得. 试题解析：
（1）由题知：的解集为.
（2）由题意知，代入得解得或或，又. ①当时，，所以恒成立， 解集为空集，不合题意； ②当时，由(1) 可知解集为，符合题意； ③当时，，所以恒成立， 解集为空集，不合题意； 综上所述，当时，不等式的解集中的整数有且仅有. 考点：不等式选讲. 23．（1）为的一个三等分点（靠近点）；（2） 【解析】 试题分析：（1）要，则由线面平行性质定理知过AM 的平面与的交线必平行,由于，所以只需取的三等分点（靠近点），使得,再在上进行平移得取的三等分点（靠近点），即得，且，所以四边形为平行四边形，（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先建立空间直角坐标系，设立点坐标，利用方程组解面的法向量，利用向量数量积解向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系得结果 试题解析：（1）
取的三等分点（靠近点），则有，过作交于，由平面，，可知平面，∴，∴，且，所以四边形为平行四边形，可知，∵， ∴为的一个三等分点（靠近点）； （2）如图建立空间直角坐标系：
则
()()()()
3,0,0,3,3,0,0,0,6,0,3,0A B E C ， ()()()
3,3,6,0,3,0,3,3,0EB AB BC =-==-，
设平面的法向量为， 由，可得．
平面的法向量为， 由可得，
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因为二面角为钝二面角，可得
，
所以二面角的余弦值为．
考点：线面平行性质定理及判定定理，利用空间向量求二面角
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
24．（Ⅰ），表示以为圆心，1为半径的圆；（Ⅱ）1.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）借助于三角函数中同角关系式中平方关系，消去参数得到普通方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；（Ⅱ）设圆上的动点，则得，根据的范围，得时，.
试题解析：
解：（Ⅰ）∵，
∴，两式平方相加，得，
∴曲线的普遍方程是
它表示以为圆心，1为半径的圆 .
（Ⅱ）设圆上的动点，
则
∴当时，
考点：参数方程与普通方程的互化运用；两点间的距离公式.TUK^H39330 99A2 馢28252 6E5C 湜P23787 5CEB 峫37098 90EA 郪WG29145 71D9 燙28168 6E08 済
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