(中考数学二轮强化专题)第07讲 相似三角形综合复习

常见的相似三角形的基本图形：
学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：
(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；
(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；
(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．
知识梳理
第七讲相似三角形综合复习
温馨提示：
从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．
题型一、相似三角形 1. 已知：如图，∠ABC =∠CDB =90°，AC =a ，BC =b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.
【举一反三】
【变式】如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O.
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2
）求线段OM 的长度
.
经典例题剖析
2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已
知MN∥AB，MC ＝6，NC ＝MABN 的面积是（ ）
A ．
B ．
．
D ．
题型二、相似三角形的综合应用
3. 如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD 、
BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP BE （点P 、E 在直线AB 的同侧），如果，求△PBC 的面积与△ABC 面积之比.
23//AB BD 4
1
P
G F E D
C
B
A
N
M D A C
B
4.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H.
(1)求证；
(2)若过A 的直线与弦CD(不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：
；
(3)若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断是否成立.
【总结升华】本题考查了圆有关的性质和相似三角形知识的综合运用，并且渗透了转化思想，即将等积式转化为比例式．
【举一反三】
【变式】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME＝∠A＝∠B＝α ，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝
AF ＝
3，求FG 的长．
5. 如图，已知四边形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：AB=CD．
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x 的函数关系式．
【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.
【举一反三】
【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点
D运动的时间为x秒，AE的长为y．
(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?
题型三、相似三角形与函数
6、如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
【举一反三】
如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△
ABC
相似吗？请说明理由．
题型四、圆与相似
7、如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F。

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长。

【举一反三】
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3,求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S ．
A
C
课后作业
1.如图⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC的延长线于点E，且AC 平分∠EAB。

（1）求证:DE是⊙O的切线；
(2) 若AB=6, AE=4, 求BC和BD的长
2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。

（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB＝6，AD＝5，求AF的长。

3. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B,C重合），EF⊥AB,EG⊥AC，垂足分别为F,G．
（1）求证：；
（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．
4.矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线y＝－
4
3x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2－
4
9x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．
EG CG AD CD
F A
G
C E
D
B。