2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高二
下学期期中考试数学（文）试题
一、单选题
1．复数123,1z i z i =-+=-，则复数12z z z =-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】利用复数的加减运算可直接求得12z z z =-.进而可得解 【详解】
因1242z z z i =-=-+,故在第二象限，所以应选B ． 【点睛】
本题考查复数的几何意义及减法运算，是基础题． 2．复数(31)i i -的共轭复数．．．．是（ ） A ．3i - B ．3i +
C ．3i --
D ．3i -+
【答案】D
【解析】先将复数()31i i -利用复数的乘法将复数表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出答案. 【详解】
()23133i i i i i -=-=--Q ，因此，复数()31i i -的共轭复数为3i -+，故选：D.
【点睛】
本题考查共轭复数的概念，解决复数问题，通常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，进而求解，考查计算能力，属于基础题. 3．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为（ ） A ．()2
224x y ++= B ．()2
224x y +-= C ．()2
224x y -+= D ．()2
224x y ++=
【答案】B
【解析】利用直角坐标与极坐标的互化公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
，即可得到答案。

【详解】
由曲线的极坐标方程4sin ρθ=，两边同乘ρ，可得2
4sin ρρθ=，
再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
，可得：22224(2)4x y y x y +=⇔+-=，
所以曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为()2
224x y +-= 故答案选B 【点睛】
本题考查把极坐标转化为直角坐标方程的方法，熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式
222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
是解题的关键，属于基础题。

4．设1z i =+，则3z -=（ ） A
．B ．5
C
D ．2
【答案】A
【解析】得出复数z 的共轭复数，并求出复数3z -，然后利用复数求模公式得出3z -. 【详解】
1z i =+Q ，3132z i i ∴-=--=--，因此，
3z -=
=A. 【点睛】
本题考查复数求模，考查共轭复数的概念，解题的关键就是将问题涉及的复数利用四则运算表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 5．直线21y x =+的参数方程是（ ）。

A ．22
{21
x t y t ==+（t 为参数） B ．21
{
41
x t y t =-=+（t 为参数）
C ．1{21
x t y t =-=-（t 为参数）
D ．sin {
2sin 1
x y θθ==+（t 为参数）
【答案】C
【解析】试题分析：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t ，则y+1=2t ，可得1
{21
x t y t =-=-(t
为参数)，即为直线y=2x+1的参数方程．故选C ． 【考点】直线的参数方程。

点评：简单题，将直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程。

6．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是 （ ）
A ．6
B ．21
C ．156
D ．231
【答案】B
【解析】依据题中的计算程序列出算式：由于
()()133162
2
x x +⨯+=
=，
∵6<100，∴应该按照计算程序继续计算
()661212
⨯+=，
∵21<100，∴应该按照计算程序继续计算()
212112312
⨯+=，
∴输出结果为231. 本题选择D 选项.
点睛：题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．
7．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{|4}x x ≤ B ．{|5}x x <
C ．{|48}x x <≤
D ．{|45}x x <<
【答案】B
【解析】分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】
当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时
45x <<；
当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}
5x x <，故选：B. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
8．已知a,b,c 是正实数,且a+b+c=1,则111
a b c
++的最小值为( ) A ．3 B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C
【解析】利用a +b +c ＝1求得111a b c ++=（111a b c
++）（a +b +c ），展开后利用均值不等式求得最小值． 【详解】
解：∵a +b +c ＝1， ∴
111a b c ++=（111a b c ++）（a +b +c ）＝3a b a c b c
b a
c a c b
++++++≥3+2+2+2＝9 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了均值不等式在最值问题中的应用．考查了学生对均值不等式的灵活运用．
9．z 为纯虚数，且11z i -=-+,则z =( ) A ．i B ．i -
C ．i ±
D ．2i ±
【答案】C
【解析】设()z ai a R =∈，利用复数求模公式得出a 的值，于此可计算出复数z 的值. 【详解】
设()z ai a R =∈，1i -+=
=Q
11z ai -=-+=
==，解得1a =±，因此，z ai i ==±，
故选：C.
【点睛】
本题考查复数求模公式的应用，解题时要根据复数的特点设取相应的形式，并将对象复数表示为一般形式，结合求模公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.
10．在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是（）
A．4 B．2 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：设内接矩形的长和宽为x和y，根据圆内接矩形的性质可知矩形的对角线为圆的直径，利用勾股定理求得x2+y2的值，进而利用基本不等式求得xy的范围及矩形面积的范围求得答案．
解：设内接矩形的长和宽为x和y，根据圆内接矩形的性质可知矩形的对角线为圆的直径
故x2+y2=16，
∴x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时等号成立）
∴xy≤8
即矩形的面积的最大值为8
故选D
点评：本题主要考查了圆内接多边形的性质和判定．考查了基础知识的灵活运用．11．已知数列的前项和为，且，可归纳猜想出的表达式为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
所以a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，
所以a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝1，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想S n＝.
故答案为：A。

12．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：
2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )
A ．34
k <-
B ．34
k ≥-
C ．k R ∈
D ．k R ∈但0k ≠
【答案】A
【解析】分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．
详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：2
2cos ρρθ=，
化成直角坐标方程为：22
20x y x +-=， 即2
2
(1)1x y -+=．
则圆心到直线的距离d =
由题意得：1d <
，即1d =<，
解之得：34
k <-． 故选：A ．
点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利
用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222
x y ρ=+，进行代换即得．
二、填空题
13．i 是虚数单位，计算复数131i
i
--= ___________。

【答案】2i -
【解析】利用复数的除法法则可得出复数131i
i
--. 【详解】
由复数的除法法则得
()()()()
21311312342211122i i i i i i
i i i i -+----====---+，故答案为：2i -.
【点睛】
本题考查复数的除法法则，灵活利用复数的除法法则进行计算是解题的关键，考查计算
能力，属于基础题.
14．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：11315
,,,,228432
--它的第8个数可以是 。

【答案】
【解析】试题分析：将这一组数：11315,,,,
228432--，化为11345
,,,,2481632
--，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为正，偶数项符号为负，通项公式可为a n =（1）n+1•
2n n ，它的第8个数可以是a n
=8
8
2-=132-. 【考点】归纳推理.
15．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为__________。

【答案】
2
【解析】sin ρθ=，
，
圆心:(0,
).
cos ρθ=，
，圆心：（,0）.
圆心距=
16．不等式222x ax a -+≥当[)1,x ∈-+∞时恒成立，a 的范围是_____________。

【答案】31a -≤≤
【解析】构造函数()2
22f x x ax =-+，将问题转化为()min f x a ≥来求解，然后就函
数()y f x =的对称轴x a =与区间[)1,-+∞的位置关系进行分类讨论，求出函数
()y f x =的最小值，解出不等式即可.
【详解】
构造函数()2
22f x x ax =-+，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线x a =.
①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间[)1,-+∞上单调递增，
()()min 123f x f a a =-=+≥，
解得3a ≥-，此时31a -≤≤-；
②当1a >-时，函数()y f x =在区间[]1,a -上单调递减，在区间[),a +∞上单调递增，
所以，()()2
min 2f x f a a a ==-≥，即220a a +-≤，解得21a -≤≤，此时
11a -<≤.
综上所述，实数a 的取值范围是31a -≤≤，故答案为：31a -≤≤. 【点睛】
本题考查二次不等式在区间上恒成立，常用办法就是讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，将问题转化为函数的最值来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
三、解答题
17．实数m 取什么数值时，复数221(2)z m m m i =-+--分别是： （1） 纯虚数
（2）表示复数z 的点在复平面的第四象限？ 【答案】（1）1m =（2）12m <<
【解析】（1）由题意得出221020m m m ⎧-=⎨--≠⎩，即可求出实数m 的值；
（2）由题意得出2210
20
m m m ⎧->⎨--<⎩，解出该不等式可得出实数m 的取值范围.
【详解】
（1）由题意可得210m -=，且220m m --≠时，即1m =时，复数z 是纯虚数； （2）当220m m --<且210m ->，即12m <<时，复数z 表示的点位于第四象限. 【点睛】
本题考查复数的基本概念，对于复数的相关问题，要将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，针对实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题. 18．证明题：
（1>
（2）若0a >，0b >，求证:1
1()()4a b a b
++≥ 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1>得出所证不等式成立；
（2）将不等式左边展开，然后利用基本不等式可证出所证不等式，但要注意等号成立的条件.
【详解】
（1
>
22
>，
即1515
+>+，
>
>
（2）
左式1124
b a
a b
=+++≥+==右式，当且仅当a b
=时等号成立，即得证.
【点睛】
本题第（1）问考查比较大小，带有根式，可利用分析法将两边平方的方式逐步寻找不等式成立的条件，第（2）问考查利用基本不等式来证明所证不等式，要注意基本不等式所适用的代数式类型，都属于基础题.
19．
求直线1
1
:{()
5
x t
l t
y
=+
=-
为参数
和直线
2
:0
l x y
--=的交点P的坐标，及点P与(1,5)
Q-的距离。

【答案】（1
）t=；（2
）PQ==.
【解析】本试题主要考查了直线与直线的交点坐标的运用。

解：将
1
{
5
x t
y
=+
=-
代入0
x y
--=
得t=…………………………6分
得(1
P+，而(1,5)
Q-，
得PQ==……………………12分20．据不完全统计，某厂的生产原料耗费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）如下：
变量x、y为线性相关关系.
（1）求线性回归方程必过的点；
（2）求线性回归方程；
（3）若实际销售额要求不少于54百万元，则原材料耗费至少要多少百万元。

1
1
2
2
2
1
1
()()()
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =- 【答案】（1）必过的点为()5,47.5；（2）回归方程为 6.515y x =+；（3）至少要6百万元.
【解析】（1）求出x 、y ，即可得出线性回归方程必过的点的坐标()
,x y ；
（2）将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出回归系数b 与a ，可得出回归直线方程；
（3）令54y ≥，由回归方程解出x 的取值范围，即可解答该问题. 【详解】
（1）由题意可得246854x +++=
=，30405070
47.54
y +++==，
因此，线性回归方程必过点()5,47.5；
（2）由题意得1
22222
2
21
4
4
4601603005604547.5
6.52468454i i
i i i x y x y
b x x
==-+++-⨯⨯==
=+++-⨯-∑∑$
，
47.5 6.5515a y bx =-=-⨯=$$，
因此，回归直线方程为 6.515y x =+；
（3）由题意，令54y ≥，即6.51554x +≥，解得6x ≥，
因此，要实际销售额要求不少于54百万元，则原材料耗费至少要6百万元. 【点睛】
本题考查回归直线的必过点的坐标，考查利用最小二乘法求回归直线方程，以及回归直线方程的应用，解题时要充分理解回归直线方程的性质，并理解最小二乘法公式，考查计算能力，属于中等题.
21．学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：
()1求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与
学习雷锋精神是否有关？
()2请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神
有关？()n a b c d =+++参考公式：()()()()
2
2
()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
【答案】（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是25%和15%．初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
（2）有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关． 【解析】【详解】
分析：()1学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是
50100%200⨯，30
100%.200
⨯由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
()2根据对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作的列联表，
求出2K 的观测值k 的值为7.486 6.635>，再根据临界值表，可进行判断详解：()1学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是
50100%25%200⨯=，30
100%15%200
⨯=． 由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
()3根据表格：
假设0H ：损毁餐椅数量与学习雷锋精神无关，则2K 应该很小．
根据题中的列联表得2
2
400(5017030150) 6.25 5.02480320200200
K ⨯⨯-⨯==>
⨯⨯⨯，
有97.5%的把
握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
点睛：本题主要考查读图表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题．
22．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6
π
α=．
（1）写出直线l 的参数方程；
（2）设l 与圆2
2
4x y += 相交于两点A ，B
，求点P 到A ，B 两点的距离之积．
【答案】（1）1,{(11;
2
x t y t =+
=+是参数）（2）2 【解析】【详解】
（1）直线的参数方程为1cos
6
{1sin 6x t
y t π
π=+=+，即1{
1
12
x y t
=+
=+(t 为参数)
（2）把直线1{
112
x y t
=+
=+代入
得2221
(1)(1)4,1)202
t t t +
++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2。