无锡市名校2019-2020学年高考数学预测试题

2019-2020
学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2
943,0
2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩
，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,0-
C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,5
2．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，
216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）
A ．6i >，7
S
S =
B ．6i 7
S S =
C ．6i >，7S S =
D ．6i ，7S S =
3．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[]5,3-
B ．[]2,3
C ．[)2,+∞
D ．(],3-∞
4．已知x ，y 满足不等式00224
x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范
围（ ） A ．[2，4]
B ．[4，6]
C ．[5，8]
D ．[6，7]
5．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22
x y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
81
13
D ．10
6．若点
位于由曲线
与
围成的封闭区域内（包括边界），则
的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12
B ．21
C ．24
D ．36
8．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫
=+
≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
9．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3
B ．13
-
C ．12
-
D ．1-
10．已知函数()3
sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2
B ．2-
C ．1a +
D ．1a -
11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） 235 2.236≈≈≈） A ．22个
B ．24个
C ．26个
D ．28个
12．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12
π
个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区
间[,]63
ππ上单调递增，在区间[
,]32
ππ
上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74
B ．
32
C ．2
D ．5
4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知4sin 25πα⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
，那么tan sin αα⋅=______.
14．函数()3)0,
2f x x π
ωϕϕϕπ⎛
⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.
15．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()
3
,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：
①22
3a =；②313
a =；③
4
1
65
27
i
i a
==
∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______. 16．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知倾斜角为4
π的直线经过抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点，且||8AB =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设P 为抛物线C 上任意一点（异于顶点），过P 做倾斜角互补的两条直线1l 、2l ，交抛物线C 于另两点C 、D ，记抛物线C 在点P 的切线l 的倾斜角为α，直线CD 的倾斜角为β，求证：α与β互补. 18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，α为实数）．以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 交于
,A B ，两点，线段AB 的中点为M ．
（1）求线段AB 长的最小值； （2）求点M 的轨迹方程．
19．（6分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，满足13a =，11b =，
2210b S +=，5232a b a -=.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令2
,,n n n
n S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T .
20．（6分）已知()sin(1)ln f x a x x =-+，其中a R ∈．
（1）当0a =时，设函数2
()()g x f x x =-，求函数()g x 的极值．
（2）若函数()f x 在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围；
（3）证明：
2
1
1
sin ln 3ln 2(2)
n
k k =<-+∑．
21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为122x a t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数，a R ∈）.在以
坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
2223cos 24sin 3ρθρθ+=.
（1）若点()2,0A 在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；
（2）已知0a >，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且||PQ
a 的值. 22．（8分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），与x 轴负半轴交于(2,0)A -，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，已知
1234
1111
y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标. 23．（8分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：
（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； （3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，
入户登记顺利的对象数记为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望值．
附：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f
f x =，根
据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x
f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数
()()y f f x =的零点所在区间.
【详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2
932log 92log 9x
x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零
点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0f
f x =，得()32
log 93x
f x x =+-=，因为()303f =<，
3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫
=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
，
所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化
归与转化的数学思想方法，属于中档题.
2．A
【解析】
【分析】
依题意问题是()()()
222
127
1
202020
7
S x x x
⎡⎤
=-+-+⋯+-
⎣⎦，然后按直到型验证即可.
【详解】
根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()
222
127
1
202020
7
S x x x
⎡⎤
=-+-+⋯+-
⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6
i>，
7
S
S=，
故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.
【详解】
由题知x，y满足
24
1
22
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，可行域如下图所示，
可知目标函数在点()
2,0
A处取得最小值，
故目标函数的最小值为2z x y =+=， 故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解. 【详解】
画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+=⎩
所表示的可行域如图△AOB
当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x+6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意
t ＞2时可知目标函数Z ＝9x+6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩
的交点（824
33t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6 故选：B ． 【点睛】
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法. 5．D
【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】
解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的平面区域，如图示：
如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数2
2x
y +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到
原点的距离最大，故(
)
()x
2
22
2ma 0311x y ++-==.
故选：D
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 6．D 【解析】 【分析】 画出曲线
与
围成的封闭区域，
表示封闭区域内的点
和定点
连线的斜
率，然后结合图形求解可得所求范围． 【详解】
画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，
设，结合图形可得或，
由题意得点A,B 的坐标分别为，
∴
，
∴或，
∴
的取值范围为
．
故选D ． 【点睛】
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把
看作两点间连线的斜率；二是要正
确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，
所以73
173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()
212
a a S +=
= 故选：B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题. 8．A 【解析】 【分析】 由50,
12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域. 【详解】
50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛
⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 故选：A. 【点睛】
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】
利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案. 【详解】
由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得1
3
a =-. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 10．B 【解析】 【分析】
由函数的奇偶性可得，(1)(1)2f f =--=-
【详解】
∵3()sin f x x a x =+
其中3
()g x x =为奇函数，()sin t x a x =也为奇函数
∴()()()f x g x t x =+也为奇函数
∴(1)(1)2f f =--=-
故选：B
【点睛】
函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数
11．C
【解析】
【分析】
计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()
101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】
由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，
易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，
若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈，
所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球．
故选：C
【点睛】
本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
12．C
【解析】
由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
12π个单位得到[]1212g x sin x sin x πωπωω=-=-（）（）（），函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，可得3x π
=时，()g x 取得最大值，即23122k π
ωπ
π
ωπ⨯-=+（），k Z ∈，0ω>，当0
k =时，解得2ω=，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，
上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减可得3x π
=时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．920
- 【解析】
【分析】
由已知利用诱导公式可求cos α，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】 ∵4sin 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
， ∴4cos 5α=-，22169sin 1cos 12525
αα=-=-=， ∴29sin 925tan sin 4cos 20
5
αααα⋅===--. 故答案为：920
-. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
14．8
【解析】
【分析】
根据图象利用(0)f ，先求出ϕ的值，结合()10f =求出ω，然后利用周期公式进行求解即可． 【详解】
解：由(0)f ϕ=
，得sin 2
ϕ=，
2ϕπ<<π，34
πϕ∴=，
则3())4
f x x πω+，
(
)3
10
4
f
π
ω
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
，
3
4
π
ωπ
∴+=，即
4
π
ω=，
则函数的最小正周期
22
8
4
T
ππ
π
ω
===
，
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．
15．①③④
【解析】
【分析】
先利用导数求得曲线3
y x
=在点()3,n n
a a处的切线方程，由此求得
1
n
a
+
与n a的递推关系式，进而证得数列
{}
n
a是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.
【详解】
∵2
'3
y x
=，∴曲线3
y x
=在点()3,n n
a a处的切线方程为()
32
3
n n n
y a a x a
-=-，
则()
32
1
3
n n n n
a a a a
+
-=-.
∵0
n
a≠，∴
1
2
3
n n
a a
+
=，
则{}n a是首项为1，公比为
2
3
的等比数列，
从而
2
2
3
a=，
3
4
9
a=，
4
4
1
2
1
65
3
227
1
3
i
i
a
=
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
==
-
∑.
故所有正确结论的编号是①③④.
故答案为：①③④
【点睛】
本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n项和公式，属于基础题.
16．1
【解析】
【分析】
按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可．
【详解】
9元的支付有两种情况，522++或者5211+++，
①当9元采用522++方式支付时，
200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，
10元的支付只能用1张10元，
此时共有1313⨯⨯=种支付方式；
②当9元采用5211+++方式支付时：
200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，
10元的支付只能用1张10元，
此时共有1313⨯⨯=种支付方式；
所以总的支付方式共有336+=种．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）24x y =（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设直线方程为2
p y x =+，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论； （2）根据题意，设1l 的方程为()2004
x y k x x -=-，联立方程得04C x x k +=，同理可得04D x x k +=-，进而得到02C D x x x +=-，再利用点差法得直线CD 的斜率，利用切线与导数的关系得直线l 的斜率，进而可得α与β互补.
【详解】
（1）由题意设直线AB 的方程为2
p y x =+，令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 联立222p y x x py
⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2
2304p y py -+= 123y y p ∴+=， 根据抛物线的定义得124AB y y p p =++=， 又8AB =，48,2p p ∴==
故所求抛物线方程为2
4x y =.
（2）依题意，设200(,)4x P x ，2(,)4C C x C x ，2(,)4
D D x D x 设1l 的方程为200()4x y k x x -=-，与24x y =联立消去y 得2200440x kx kx x -+-=， 04C x x k ∴+=，同理04D x x k +=-
02C D x x x ∴+=-，直线CD 的斜率2221214()CD
x x k x x -=-=1()4C D x x +012x =- 切线l 的斜率0012l x x k y x ==
'=， 由0l CD k k +=，即α与β互补.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
18．（1）2）()()22
13 2.x y -+-=
【解析】
【分析】
（1）将曲线2C 的方程化成直角坐标方程为228x y y +=，当2PC AB ⊥时，线段AB 取得最小值，利用几何法求弦长即可.
（2）当点M 与点P 不重合时，设(),M x y ，由2 C M PM ⊥，利用向量的数量积等于0可求解，最后验证当点M 与点P 重合时也满足.
【详解】
解()1曲线2C 的方程化成直角坐标方程为22
8x y y += 即()2
2416,x y +-=
圆心()20,4C ，半径4r =，曲线1C 为过定点()2,2P 的直线，
易知()2,2P 在圆2C 内，
当2PC AB ⊥时，
线段AB 长最小为==()2当点M 与点P 不重合时，
设()2,, M x y C M PM ⊥，
()()()22420C M PM x x y y ∴=-+--=，
化简得()()223:12x y -+-=，
当点M 与点P 重合时，也满足上式，
故点M 的轨迹方程为()()2213 2.x y -+-=
【点睛】
本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题. 19．（1）21n a n =+，12n n
b -=；（2）222(41)213
n n n T n -=++． 【解析】
【分析】
（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由基本量法列式求出,d q 后可得通项公式；
（2）奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和．
【详解】
（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由2210b S +=，5232a b a -=.得： 61034232q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩，解得22
d q =⎧⎨=⎩， ∴32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=；
（2）由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，
n 为奇数时，2112n n c S n n =
=-+，n 为偶数时，12n n c -=， ∴21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++
32111111[(1)()()](222)
3352121n n n -=-+-++-++++-+12(14)22(41)12114213
n n n n n --=-+=++-+． 【点睛】
本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前n 项和公式，求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前n 项和公式得出相应结论．数列求和问题，对不是等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，
分组（并项）求和法，倒序相加法等等．
20．（1）极大值1ln
22
-，无极小值；（2）1a ≤．（3）见解析 【解析】
【分析】
（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；
（2）先求导，再函数()f x 在区间(0,1)上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决； （3）取1a =得到1sin(1)ln (01)x x x
-<<<，取211(2)x k -=+，可得 2
221(1)(3)(2)sin sin 1ln (2)(2)(1)(3)k k k k k k k ⎡⎤+++=-<⎢⎥++++⎣⎦
，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明. 【详解】
解：（1）当0a =时，设函数22
()()ln ,0g x f x x x x x =-=->，则
2'
112(1)(1)()2x g x x x x x -+=-==
令'()0g x =，解得2
x =
当02x <<时，'()0g x >，当2
x >时，'()0g x <
所以()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减
所以当x =时，函数取得极大值，即极大值为11ln 222g =--，无极小值； （2）因为()sin(1)ln f x a x x =-+， 所以'1()cos(1)f x a x x
=--+， 因为()f x 在区间(0,1)上递增， 所以'1()cos(1)0f x a x x =--+
≥在(0,1)上恒成立， 所以1cos(1)
a x x ≤-在区间(0,1)上恒成立． 当0a ≤时，1cos(1)a x x ≤
-在区间(0,1)上恒成立，
当0a >时，1cos(1)x x a
≥-， 设()cos(1)t x x x =-，则()cos(1)sin(1)0t x x x x '=-+->在区间(0,1)上恒成立．
所以()cos(1)t x x x =-在(0,1)单调递增，则0()1t x <<， 所以11a
≥，即01a <≤ 综上所述1a ≤．
（3）由（2）可知当1a =时，函数()sin(1)ln G x x x =-+在区间(0,1)上递增，
所以sin(1)ln (1)0x x G -+<=，即1sin(1)ln (01)x x x
-<<<， 取2
11(2)x k -=+，则 2
221(1)(3)(2)sin sin 1ln (2)(2)(1)(3)k k k k k k k ⎡⎤+++=-<⎢⎥++++⎣⎦
． 所以
22222211134(2)323sin sin sin ln[]ln()ln ln 3ln 234(2)2435(1)(3)232
k k k k k k ++++⋅⋅⋅+<⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⋅<=-+⨯⨯+++所以211sin
ln 3ln 2(2)
n k k =<-+∑ 【点睛】
此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题. 21．（1
cos sin 0θρθ+-=
（2
）a =
【解析】
【分析】
（1）利用消参法以及点()2,0A 求解出l 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线l 的极坐标方程；
（2）将Q
的坐标设为()
cos αα，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性，求解出||PQ 取最小值时对应a 的值.
【详解】
（1）消去参数t 得l
0y +-=，
将()2,0A 代入，可得1a =
0y +-=
所以l
cos sin 0θρθ+-=
（2）C 的直角坐标方程为2
2
13y x += 直线l
0(0)y a +-=>
设Q
的直角坐标为()
cos αα
∵P 在直线上，∴||PQ 的最小值为Q 到直线l 的距离()d α的最小值
()d α=∵0a >，∴当4πα=，sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时||PQ
取得最小值2
=，
∴a =【点睛】
本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数，难度一般.（1）直角坐标和极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==；（2）求解曲线上一点到直线的距离的最值，可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式，然后再去求解.
22．（1）22
143
x y += （2）证明见解析；定点坐标为(1,0) 【解析】
【分析】
（1）由条件直接算出即可
（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
2223484120k x kmx m +++-=，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，由AM AE k k =可得13162y y x =
+，同理24262y y x =+，然后由1234
1111y y y y +=+推出m k =-即可 【详解】 （1）由题有2a =，12
c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22143
x y +=.
（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
2223484120k x kmx m +++-= ()()22222264434412043k m k m m k ∆=-+->⇒<+
122834km x x k -+=+，212241234m x x k
-=+.又AM AE k k = ∴3113110062422
y y y y x x --=⇒=+++， 同理24262
y y x =+ 又1234
1111y y y y +=+ ∴1212122112121212
222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+= ∴1212214()y y x y x y +=+
∴1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m +++=+++
∴1212(4)()280k m x x kx x m -+-+= ∴22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k
--+--+=⇒=+++ ∴m k =-，此时满足2243m k <+
∴(1)y kx m k x =+=-
∴直线MN 恒过定点(1,0)
【点睛】
涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 23．（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析，()2E X =
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法.
（2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果.
（3）由已知条件计算出X 的分布列，进而求出X 的数学期望.
【详解】
（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）． （2）将列联表中的数据代入公式计算得
222
()200(405010010) 3.175 2.706()()()()1406050150
n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯
所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． （3）以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为2
3
．X 可取0，1，2，3，计算可得X 的分布列为：
()323
E X =⨯
= 【点睛】
本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算2k 以及数据的分布列和数学期望，需要正确运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）
A．
7
4
B．
56
27
C．2D．
164
81
2．在ABC中，3
AB=，2
AC=，60
BAC
∠=︒，点D，E分别在线段AB，CD上，且2
BD AD
=，2
CE ED
=，则BE AB
⋅=（）．
A．3-B．6-C．4 D．9
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）
A．
3
5
B．
7
10
C．
4
5
D．
9
10
4．已知三棱锥,2,1,
P ABC AC BC AC BC
-==⊥且2,
PA PB PB
=⊥平面ABC，其外接球体积为（）
A．
4
3
π
B．4πC．
32
3
π
D．3π
5．已知函数()2
9
43,0
2log9,0
x
x
x
f x
x x
⎧+≤
=⎨
+->
⎩
，则函数()
()
y f f x
=的零点所在区间为（）
A．
7
3,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．()
1,0
-C．
7
,4
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．()
4,5
6．若关于x的不等式11
27
k
x
x
⎛⎫
≤
⎪
⎝⎭
有正整数解，则实数k的最小值为（）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
7．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<
8．若复数5
2z i
=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +
B ．2i -
C ．12i +
D ．12i -
9．已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
4
3
B ．
53
C ．
54
D ．
32
10．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．
正确的是（ ）
A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B ．天津的往返机票平均价格变化最大
C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 11．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．i
B ．i -
C ．1i +
D ．1i -
12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．
6π或
56
π
B ．
4
π
C ．
3
π D ．
6π或3
π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若31a =，且522S S =+，则公比q 的值为_____.
14．若双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离为2b ，23a ________.
15．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题：
①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于
2
3
且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22
:(1)1C x y +-=，圆22:(6C x y '++=．直线:3l y kx =+与
圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________ 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1020A b -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
.若曲线1C ：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程. 18．已知函数2()ln 1()f x x a x a R =--∈
（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；
（2）若函数2
()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
19．（6分）在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，且ABC ∆满足1
tan tan 2
A B = （1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2）过(F ，0)作直线MN 交轨迹E 于M ，N 两点，若MAB ∆的面积是NAB ∆面积的2倍，求直线MN 的方程．
20．（6分）已知函数sin ()x
f x x
=，0πx <<. （1）求函数()f x 在2
x π=
处的切线方程；
（2）当0m π<<时，证明：()ln f x m x x
π
<+
对任意(0,)x π∈恒成立.
21．（6分）设函数()22f x x x a =-+-． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）当()2f x x a =-+时，求实数x 的取值范围． 22．（8分）设函数()121f x x x a =++-+． （1）当1a =时，解不等式()6f x ≤； （2）设1
2
a <-
，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．
23．（8分）已知圆M ：
(2
2
64x y
++=及定点()
N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，
点G 在MA 上，且满足2NA NB =，0GB NA ⋅=，点G 的轨迹为曲线C. （1）求曲线C 的方程；
（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线1
2y x =和12
y x =-分别交于P 、Q 两点.当1
2
k >
时，求OPQ ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】
34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；
3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，
输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 2．B 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由
()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.
【详解】
根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒
则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-
则DC =则CD AB ⊥
则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目. 3．D 【解析】 【分析】
利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有
,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时
期专著的概率为9
10
m P n ==．故选D ． 【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 4．A 【解析】 【分析】
由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解.
【详解】 由题,因为2,1,AC BC AC BC =
=⊥,所以223AB AC BC =+=,
设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,
则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,
所以外接球的体积34433
V R ππ==. 故选:A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力. 5．A 【解析】 【分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f
f x =，根
据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x
f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数
()()y f f x =的零点所在区间.
【详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2
932log 92log 9x
x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零
点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0f
f x =，得()32
log 93x
f x x =+-=，因为()303f =<，
337782log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫
=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
，
所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】
根据题意可将1127
k
x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x
f x x
=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值． 【详解】
因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127
k x
x ⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
转化为
ln 3ln 3k x
x
≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以
ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3
x x k
≥． 令()ln x f x x =，则()2
1ln x
f x x -'=，
∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以 当*x ∈N 时，()(){}
max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 3
3k
≥，解得9k ≥．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 7．C 【解析】 【分析】
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c
1
2
比较即可. 【详解】
由0.50.50.820.8a =>。