辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编 专题10 四边形

某某某某某某3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形 一、选择题
1. （某某某某4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图
中的等腰三角形有
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个 【答案】B 。

【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定。

【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD ，从而得出图中等腰三角形中的个数：∵矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA=OB=OC=OD，∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC 四个。

故选B 。

2.（某某某某3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE，EF⊥AE，
则CF 等于
A ．23
B ．1
C ．32
D ．2
【答案】C 。

【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，程，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，根据三角形的角平分线的性质得到DF=EF ，由全等三角形的判定和性质求出AE==AD=5，由勾股定理求出BE=2222AE AB 54-=- =3，CE=2，从而由△ABE∽△ECF，得出AB BE 433,,CF CE CF 2CF 2
==∴= 即。

故选C 。

3.（某某某某3分）如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于
点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值
A 、2
B 、4
C 、22
D 、42【答案】C 。

【考点】轴对称的性质，正方形的的性质，勾股定理，垂直线段的性质，三角
形的性质。

【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由
角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，A D′=AD=4。

而根据垂直线
段最短的性质和三角形两边之和大于第三边的性质，可知D′P′即为DQ+PQ的
最小值。

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′。

∴在
Rt△AP′D′中，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=22，即DQ+PQ
的最小值为22。

故选C。

4.（某某某某3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，
点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D。

【考点】矩形的性质，轴对称的性质，三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程。

【分析】从题意可知，由于在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，
故AE长度固定，要△AEF的周长最小只要AF＋EF最小即可。

作点E关于CD
的对称点E′，连接A E′交CD于点F，则由轴对称的性质AE′＝AF＋EF。

根
据三角形两边之和大于第三边的性质，知对CD上任意点F′，总有A F′＋
E′F′＞AE′，即点F是使AF＋EF最小的点。

设DF＝x，则CF＝6－x。

由轴对称的性质可得△ADF∽△ACFE，
有AD DF
EC CF
=，即
8x
36x
=
-
，解得x＝4。

故选D。

5.（某某某某3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是．
（A)53（B）52（C）5 (D)10
【答案】A。

【考点】矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO= 1
2
AC=
1
2
BD=BO，又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=5，∴BD=2AO=10，∴AD2=BD2－AB2=102－52=75，∴AD=53。

故选A。

6.（某某龙东五市3分）如图，在平行四边形ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF∥AB，GH∥AD， 与各边交点分别为E 、F 、G 、H ，则图中面积相等的平行四边形的对数为
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
【答案】D 。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的全等三角形，即ABD CDB GBP FPB EPD HDP S S ,S S ,S S ∆∆∆∆∆∆=== 。

则AGPE ABD GBP EPD CDB FPB HDP PFCH S S S S S S S S
∆∆∆∆∆∆=--=--=， ABFE AGPE GBFP PFCH GBFP GBCH AGHD AGPE EPHD PFCH EPHD EFCD S S S S S S ,S S S S S S =+=+==+=+= 。

因此图
中面积相等的平行四边形的对数有三对：AGPE PFCH 和，ABFE GBCH,AGHD EFCD 和和。

故 选D 。

7.（某某某某3分）如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON
分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF=900
,BO 、EF 交于点P ．则下列结论中： (1)
图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积
的4倍；(3)BE+BF=20A ；(4)AE 2+CF 2=20P •OB ，正确的结论有． A ．1 8．2 C ．3 D ．4
【答案】C 。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对．故选项错误；（2）△OBE 的面积和△OFC 的面积相等，故正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍，故选项正确；（3）BE+BF 等于边长， 从而BE+BF=
2OA ，故选项正确；（4）因为AE=BF ，CF=BE ，从而AE 2+CF 2=2OP•OB，故选项正确。

故选C 。

二、填空题
1. （某某某某4分）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE∥DF，
若∠EBF=45°，则∠EDF 的度数是 ▲ 度．
【答案】45。

【考点】平行四边形的判定和性质。

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四
边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF＝∠EBF＝45°。

2.（某某某某4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA．下
列结论：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE＋DF=EF；⑤S△ABE＋S△ADF=S△CEF，
其中正确的是▲ （只填写序号）．
【答案】①②③⑤。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可证△ABE≌△ADF，利用全等的性质判
断①②③正确。

在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，由正方形，等边三角形的性质
可知∠DAF=15°，从而得∠DGF=30°，设DF=1，则AG=GF=2，DG= 3，分别表示AD，
CF，EF的长，判断④⑤的正确性：AD=CD=2+ 3，CF=CE=CD-DF=1+ 3，∴EF= 2CF= 2+ 6，而
BE+DF=2，∴④错误。

⑤∵S△ABE+S△ADF=2×1
2
AD×DF=2+ 3，
S△CEF= 1
2
CE×CF=
()2
13
2
+
=2+ 3，∴⑤正确。

3.（某某某某3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，
过点A作AE⊥BC于点E，若BC=2AD=8，则tan∠ABE=▲ 。

【答案】3。

【考点】等腰梯形的的性质，平行的性质，锐角三角函数，勾股定理。

【分析】过D点作DF∥AC交BC的延长线与点F，构造等腰直角三角形后求得AE的长和BE的长，利用锐角三角函数的定义求解即可：
∵在梯形ABCD中，BC＝2AD＝8，∴AE＝2。

∵AC⊥BD于点O，∴BD⊥FD。

∵AD∥BC，∴AD＝CF。

∴BF＝BC＋CF＝8＋4＝12。

∵AC＝BD ，∴BD＝DF 。

∴AC＝BD ＝12÷2＝6 2。

∴()222AE 62=，A E ＝6。

∴tan∠ABE＝AE 63BE 2
== 。

4．（某某某某3分）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相
似的三角形有 ▲ 对．
【答案】3。

【考点】平行四边形的的性质，相似三角形的判定。

【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得出DF∥BC，AB∥CD，则△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，从而得出△ABF∽△CEB。

共3对。

5.（某某省2分）在
ABCD 中，A ＝1200 ，则∠1＝____ ▲_____度. 【答案】60。

【考点】平行四边形的性质，邻补角的性质。

【分析】根据平行四边形对角相等的性质，得∠BCD＝∠A＝1200 ，再根据邻补角的性质，得到
∠1＝1800－∠BCD＝1800－1200＝600。

6.（某某某某3分）已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP=1，则tan∠ BPC 的值是 ▲
【答案】2或23。

【考点】正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，考虑两种情况：
（1） 点P 在CD 上（即图中P 1点），∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴PC=1，∴tan∠BPC= BC 2PC 1
= =2； （2）点P 在CD 延长线上（即图中P 2点），
（2） ∵BC=2，DP=1，∠C=90°，∴PC=3，∴tan∠BPC= BC 2PC 3
=。

7.（某某龙东五市3分）如图所示，正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在
12001
A
B D C
DC 上，请添加一个条件： ▲ ，使△ABE≌△BCF（只添一个条件即可）。

【答案】BE=CF （答案不唯一）。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据已知条件正方形ABCD 可知AB=BC ，∠ABC=∠C=90°，要使△ABE≌△BCF，加上条件BE=CF ，可以用SAS 证明其全等；或加上条件AE=BF ，可以用HL 证明其全等；或……
8.（某某龙东五市3分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为 A 1、B 1、C 1、D 1，顺次连接得到四边形A 1B 1C 1D 1，再取各边中点A 2、B 2、C 2、D 2，顺次连接得到四边形 A 2B 2C 2D 2，……，依此类推，这样得到四边形A n B n D n ,则四边形A n B n D n 的面积为 ▲ 。

【答案】41
2n -。

【考点】分类归纳，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，菱形和
矩形的判定和性质。

【分析】根据三角形的中位线定理，得A 1B 1∥AC ，A 1B 1= 12
AC ，则△BA 1B 1∽△BAC ，得△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即11BA B BAC 1
S S 4
∆∆=，同理111111DD C DAC AA D ABD CB C CBD 111S S ,S S ,S S 444
∆∆∆∆∆∆=== ， 因此四边形A 1B 1C 1D 1的面积是四边形ABCD 的面积的12。

推而广之，四边形A 2B 2C 2D 2的面积是四边形A 1B 1C 1D 1面积的12，即四边形A 2B 2C 2D 2的面积是四边形ABCD 面积的212
；四边形A 3B 3C 3D 3的面积是四边形ABCD 面积的312；……四边形A n B n D n 的面积是四边形ABCD 面积的12
n 。

而根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD 的面积是16，所以四边形A n B n D n 的面积为4111622
n n -⨯=。

9.（某某省某某、某某、某某、大兴安岭、鸡西3分）如图，△ABC 是边长为1
的等边三角形．取BC 边中点E ，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF ，它的面
积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB，E 1F 1∥EF，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积
记作S 2．照此规律作下去，则S 2011= ▲ ．
【答案】
3
8
·
2010
1
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭。

【考点】分类归纳，三角形中位线定理，等边三角形的性质，解直角三角形，相似多边形的性质。

【分析】先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，从而可得出S2的值，找出规律即可得出S2011的值：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高＝AB•sin∠A＝1×
3
2
＝
3
2
，
∵DF、EF是△ABC的中位线，∴AF＝1
2
，四边形EDAF的高＝
1
2
×
3
2
＝
3
4。

∴S1＝1
2
×
3
4
=
3
8。

根据相似多边形的性质可得，S2＝1
4
·S1＝
3
8
·
1
4
；S3＝
3
8
·
2
1
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；…S n＝
3
8
·
1
1
4
n-
⎛⎫
⎪
⎝⎭。

∴S2011＝
3
8
·
2010
1
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭。

三、解答题
1.（某某某某9分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是BC的中点，
求证：∠DAM＝∠ADM．
【答案】证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠B=∠C，AB=DC。

∵M是BC的中点，∴BM=CM。

∴△ABM≌△DCM（SAS）。

∴AM=DM，∴∠DAM=∠ADM。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

【分析】根据等腰梯形的性质得出∠B=∠C，AB=DC，由SAS证出△ABM≌△DCM，得到AM=DM即可。

2.（某某某某12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=BD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
【答案】解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α。

证明如下：
在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=1
2
AC，OB=OD=
1
2
BD，∴OA=OC=OB=OD。

又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′。

又∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′。

∴△BOD′≌△AOC′（SAS）。

∴BD′=AC′。

∴∠OBD′=∠OAC′。

设BD′与OA相交于点N，
∴∠BNO=∠ANM。

∴180°－∠OAC′－∠ANM=180°－∠OBD′－∠BN O。

即∠AMB=∠AOB=∠COD=α。

综上所述，BD′=AC′，∠AMB=α。

（2）AC′=kBD′，∠AMB=α。

证明如下：
在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB：OA=OD′：OC′。

又∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC。

∴∠BOD′=∠AOC′。

∴△BOD′∽△AOC′。

∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC。

∵AC=kBD，∴AC′=kBD′。

∵△BOD′∽△AOC′，设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO=∠ANM。

∴180°－∠OAC′－∠ANM=180°－∠OBD′－∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α。

综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α。

（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立。

【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰梯形的性质，旋转的性质，平角的定义。

【分析】（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论。

（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案。

（3）根据题意并结合图示即可得出结论。

3．（某某某某12分）己知：正方形ABCD ．
（1）如图l ，点E 、点F 分别在边AB 和AD 上。

且AE=AF ．此时，线段BE 、DF 的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当00
090α<<时，连接BE 、DF ，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立．请说明理由．
（3）如图3．等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺顿时针旋转∠α，当090α=时，连接BE 、DF ，猜想；AE 与AD 满足什么数量关系时，直线DF 垂直平分BE ．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当0090180α<<时，连接BD 、DE 、EF 、FB 得到四边形BDEF ，则顺次连接四边形BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．
【答案】解：（1）BE＝DF且BE⊥DF。

（2）成立。

证明如下：在△DFA和△BEA中，
∵∠DAF＝90°－∠FAB，∠BAE＝90°－∠FAB，∴∠DAF＝∠BAE。

又∵AB＝AD，AE＝AF，∴△DFA≌△BEA（SAS）。

90。

∴BE⊥DF。

∴BE＝DF，∠ADF＝∠ABE＝0
（3）AE＝（2－1）AD。

（4）正方形。

【考点】旋转的性质，等量代换，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正方形的判定和性质。

【分析】（1）根据正方形的性质，AB＝AD，由AE＝AF，可得BE＝DF且BE⊥DF。

（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立。

（3）连接BD，由直线DF垂直平分BE，根据线段垂直平分线上的点到线
段两端的距离相等，可得AD＋AE＝BD，BD＝2AD，解答出即可。

（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状。

4.（某某某某12分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，
连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P 在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【答案】解：（1）PE＝PD，PE⊥PD。

（2）成立。

证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。

又∵AP＝AP，∴△BAP≌△△DAP（SAS）。

∴PB＝PD。

又∵PE＝PB，∴PE＝PD。

∵△BAP≌△△DAP，∴∠DPA＝∠APB。

又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，∴∠DPA＝135°－∠ABP。

又∵PE＝PB，∴∠BPE＝2∠PBE
∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）－2∠PBE
＝270°－2（∠ABP＋∠PBE）＝270°－2∠ABE＝270°－2×90°＝90°。

∴PE⊥PD。

（3）
（1）中的猜想成立。

PE＝PD，PE⊥PD。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，周角的定义，等量代换，垂直的判定，尺规作图，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）与（2）的证明类同可得到结果。

（2）要证PE＝PD，只要证它们是全等三角形的对应边即可，这一点易由已知和正方形的性质用SAS证得。

要证PE⊥PD，只要证∠DPE＝90°即可，这一点可由三角形内角和等于180°的定理，等腰三角形等边对等角的性质和周角的定义用等量代换证得。

（3）作法：①在AC的延长线上任取一点P；
②以点P为圆心，PB长为半径画弧，交BC的延长线于E；
③连接PB 、PD 、PE 。

即为所作。

猜想的证明：PE ＝PD 同（2）。

PE⊥PD 的证明，只要设PD 与BE 相交于点F ，易证△PEF 与 直角△CDF 相似，从而得对应角相等即可。

5.（某某省5分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线
上，且BE ＝AD ，点F 在AD 上，AF=AB,，求证：∆AEF≌∆DFC 。

【答案】证明：∵BE＝AD ，AF ＝AB ， ∴AE＝DF 。

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。

∴AF=CD, ∠EAF=∠D。

∴△AEF≌△DFC（ASA ）。

【考点】等量代换，平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由等量代换和平行四边形对边相等，对角相等的性质可由ASA 证得△AEF≌△DFC。

6.（某某某某6分）在正方形网格图①、图②中各画一
个等腰三角形．每个等腰三角形的一个顶点为格点A ，其
余顶点从格点B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 中选取，并且所
画的两个三角形不全等．
【答案】解：
【考点】应用与设计作图。

【分析】可以以正方形的对边的顶点为等腰三角形的两个底边的顶点，以这两点连线的中垂线经过的点为顶角顶点，即可作出等腰三角形。

还可画出四个符合条件的等腰三角形，但其中④⑤⑥三个全等：
E B C D
A F
7.（某某某某7分）探究：如图①，在ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，
∠FAB=∠EAD=90°，连接AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL．若ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为．
【答案】探究：△FAE≌△CDA，证明如下：
在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠BAD+∠ADC=180°。

等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中，AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠FAE+∠BAD=180°。

∴∠FAE=∠ADC。

∴△FAE≌△CDA（SAS）
应用：10。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质。

【分析】首先由SAS可证明△FAE≌△CDA，则阴影部分四个三角形的面积和是ABCD的面积的2倍，据此即可求解：四个三角形的面积和为2×5=10。

8.（某某某某3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，
垂足为E，DF⊥AC ，垂足为F
求证DF=BE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD。

∴∠BCA=∠DAC
∵BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠CEB=∠AFD=90°。

∴△CEB≌△AFD（AAS ）。

∴BE=DF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定与性质。

【分析】根据平行四边形的对边相等得出BC=AD ，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可由AAS 证出△CEB≌△AFD，利用全等三角形的性质即可得出结论。

9.（某某某某7分）如图，ABCD 是一X 边AB 长为2、边AD 长为1的矩形纸片，沿过点B 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在边CD 上的点A 1处，折痕交边AD 于点E ．
(1)求∠DA 1E 的大小；
(2)求△A 1BE 的面积．
【答案】解：（1）由翻折得Rt△ABE≌Rt△A 1BE ，
则在Rt△A 1BE 中，A 1B=2，BC=1。

∴由11sin BA C 2
∠=得01BA C 30∠=。

又01BA E 90∠=，∴01DA E 60∠=。

（2）设AE x =，则1ED 1 , A E x x =-=
在Rt△A 1DE 中，11ED sin DA E A E ∠=，即132
x x -= 得423x =-。

在Rt△A 1BE 中，11A E 423,A B AB 2=-== ，
∴1A BE S ∆12(423)4232
=⨯⨯-=-。

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，锐角三角函数，矩形的性质。

【分析】（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E 的度数；
（2）设AE x =，则1ED 1 , A E x x =-=，在Rt△A′DE 中，利用11ED sin DA E A E
∠=
可求出x 的值，在根据Rt△A′BE 中，A 1B=AB ，利用三角形的面积公式即可求解。

9.（某某龙东五市8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为
直线EC 上的一点，且PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BD 于点R 。

（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ=5
12（不需证明）。

（2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想。

【答案】解：(2) 图2中结论PR ＋PQ ＝125
仍成立。

证明如下： 连接BP, 过C 点作CK⊥BD 于点K 。

∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD＝90°。

又∵CD=AB=3，BC=4
∴BD＝2222CD BC 345+=+=。

∵S △BCD ＝
12BC·CD＝12
BD·CK，∴3×4＝5CK 。

∴CK=125。

∵S △BCE ＝12BE·CK，S △BEP ＝12PR·BE，S △BCP ＝12
PQ·BC，且 S △BCE ＝ S △BEP ＋S △BCP ， ∴12BE·CK＝12PR·BE＋12
PQ·BC 。

又∵BE＝BC ，∴12CK ＝12PR ＋12
PQ 。

∴CK＝PR ＋PQ 。

又∵CK＝125，∴PR＋PQ ＝125。

(3) 图3中的结论是PR －PQ=125 【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，等量代换。

【分析】（2）连接BP ，过C 点作CK⊥BD 于点K 。

根据矩形的性质及勾股定理
求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。

（3）图3中的结论是PR－PQ= 12
5。

如图，同（2）有CK=
12
5。

∵S△BCE＝1
2
BE·CK，S△BEP＝
1
2
PR·BE，S△BCP＝
1
2
PQ·BC，
且 S△BCE＝ S△BEP－S△BCP，
∴1
2
BE·CK＝
1
2
PR·BE－
1
2
P Q·BC 。

又∵BE＝BC，∴1
2
CK＝
1
2
PR－
1
2
PQ。

∴CK＝PR－PQ。

又∵CK＝12
5
，∴PR－PQ＝
12
5。

10.（某某省某某、某某、某某、大兴安岭、鸡西8分）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB 交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】解：（1） EG=CG，EG⊥CG。

（2）EG=CG，EG⊥CG。

证明如下：
延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形。

∴BE=CM，∠EMC=90°。

又∵BE=EF，∴EF=CM。

∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG= 1
2
FD=FG。

∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD。

∵EF=CM，∴FM=DM。

∴∠F=45°。

又∵FG=DG，∠CMG= 1
2
∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC。

又∵FG=MG，∴△GFE≌△GMC（SAS）。

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC。

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD。

∴∠FGE+∠EGM=90°。

∴∠MGC+∠EGM=90°。

即∠EGC=90°。

∴EG⊥CG。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。

【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明。

11.（某某某某6分）在△ABC中， AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△A BD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
【答案】解：∵AC=4，BC=2，AB=25，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=900．
分三种情况
情况一，如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，
∵∠ABC=1800－∠ABD－∠DBE=900－∠DBE=∠BDE ，AB=BD，∠ACB=∠AED，
∴△ACB≌△BED（AAS）。

∴在RtCDE中，DE=BC=2，CE=BC＋BE=BC+AC=6，==。

情况二，如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．同上可证△ACB≌△DEA，
∴CD=
情况三，如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点，
同上可证△AFD≌△DEB，∴CD=
【考点】勾股定理和逆定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解。