江苏省高中数学 36《函数模型及其应用》学案 苏教版必修1

第36课时 函数模型及其应用（二）
【学习目标】
1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题； 2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力． 【课前导学】
1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ． 答案：(1)x y p r =+
2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ． 答案：(1)y p prx p rx =+=+
3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式 表示． 答案：()1x
y N p =+
【课堂活动】 一．建构数学：
总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 二．应用数学：
例1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间t 后的温度是T ,则
1
()()2
t
h a o a T T T T -=-⋅,
其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.
现有一杯用88c 热水冲的速容咖啡,放在24c 的房间中,如果咖啡降到40c
需要
20min ,那么降温到35c
时,需要多长时间?
解：由题意知()20140248824()2h -=-⋅,即20
11
()42h =,解之,得10h =,故
10
124(8824)()2
t T -=-⋅ ,
当35T =时,代入上式, 得10
13524(8824)()2
t -=-⋅ ,
即 10111
()264
t = ， 两边取对数,用计算器求得25.4t ≈
因此,约需要25.4min ,可降温到35c ．
【解后反思】本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.
例2 现有某种细胞100个，其中有占总数
1
2
的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.
分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数．
解：1小时后，细胞总数为113
1001002100222⨯+⨯⨯=⨯；
2小时后，细胞总数为13139
100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；
3小时后，细胞总数为191927
100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；
4小时后，细胞总数为12712781
1001002100282816
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯;
可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002x
y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，x N *
∈
由103100102x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，
∴8lg3lg 2
x >-，∵
88
45.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.
答：经过46小时，细胞总数超过10
10个.
【解后反思】本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y 与时间x 之间的函数关系式；解类似
x a b >这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．
这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．
例3某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：
51.09 1.5386=， 461.09 1.4116,1.09 1.6771==
分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是 100(110%5)150⨯+⨯=万元，
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是
5100(19%)153.86⨯+=万元，
因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．
【解后反思】我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．
例4 容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度． 解：（1－b a
）10
·m ％
例5 在经济学中,函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()Mf x =(1)()f x f x +-.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台(x N *∈)的收入函数2()300020R x x x =-(单位:元),其成本函数为()5004000C x x =+(单位:元),利润是收入 与成本之差. （1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ;
（2）利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值? 解：由题意知,[]1,100x ∈,且x N *
∈.
(1)()P x = ()()R x C x -
2300020(5004000)x x x =--+22025004000x x =-+-，
()MP x ()()1P x P x =+-
22
20(1)2500(1)40002025004000x x x x ⎡⎤=-+++---+-⎣⎦
248040x =-；
(2) ()P x 2
2025004000x x =-+-
2
12520()741252
x =--
+ 当62x =或63x =时, ()P x 的最大值为74120 (元).
因为()248040MP x x =-是减函数,所以当1x =时, ()MP x 的最大值为2440 (元). 因此,利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值.
例6
合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.
y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①
y = bx②
把x = 1，y = 0.65代入①式，得
0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，
解得a = 0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x – 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.
设下月投资A种商品x万元，
则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润
y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)
= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，
当
0.95
2(0.15)
x
-
=
⨯-
≈3.2时，
2
max 4(0.15) 2.60.95
4(0.15)
y
⨯-⨯-
=
⨯-
≈4.1.
故下月分别投资A．B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.
【解后反思】信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
【注意点】
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．
3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数．二次函数．分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．
三．理解数学：
1．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为 14 ．（参考数据l g2＝0.3010，l g3＝0.4771）
2．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的
地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩
形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2
（围墙厚度不计）． 解：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，
则矩形面积为
S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），
∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2
．
3．一家人（父亲．母亲．孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的2
3 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，
试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？
解：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲．乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），
则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32
a （x ∈N*），
g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a
3
（x ∈N*），
g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a
3
，∴x ≥1．
因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 4．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠
商品的标价
．试问：
（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于1
3
的优惠率？ 答案：（1）优惠率为33％；
（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于1
3
的优惠率．
5．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝1
4 t ＋22
（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－1
2 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种
商品的日销售额的最大值．
解：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2
＋3880948
；
当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2
－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售
额的最大值为808.5． 【课后提升】
1.一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价 11.1% ． 2．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，求这
两年的平均增长率 ．
解：设该产品第一年的年产量为a ，两年的平均增长率为x ，则
()()()2
1121%144%a x a +=++
解得 1.32132%x =-=
3．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和．
解：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计
算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6
万元．
4．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600时， 未租出的车辆数为
36003000
1250
-=，
∴租出了88辆车．
（2）设每辆车的月租金为x (3000)x >元，则租赁公司月收益为
30003000
(100)(150)505050x x y x --=-
--⨯整理后得 2
1622100050x y x =-+-
()2
140503075050
x =--+
∴当4050x =时，y 的最大值为30750，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的
月收益最大为30750元． 点评：月收益=每辆车的租金⨯租出车辆数-车辆维护费．最值问题一定要考察取最值的条件，
因此，求定义域是必不可少的环节．
5．为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝
CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．
解：设PO ＝x ，
则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902
，0＜x ＜200，
即x ＝190时，最大面积为24067m 2
．。