教学设计：等差数列及其前n项和教学设计 (4)

教学设计：等差数列及其前n项和
一、学习目标
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及相关性质；
3.能在具体的问题中灵活选用等差数列的公式及性质求解问题；
4.体会等差数列与一次函数的关系.
重点：等差数列的通项公式与前n项和公式及相关性质的应用；
难点：等差数列的证明.
二、考情分析
等差数列及其前n项和是近几年高考中的高频考点，在近5年的高考中多数以解答题的形式出现，例如：2016年第17题考查等差、等比数列的综合；2018年第17题考查等差数列的通项与求和；2019年第19题考查等差、等比数列的综合；2020年第15题考查等差数列的通项与求和.
p主干知识并完成以下思考三、自主学习：[梳理优化探究
92
题]
1.如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列是不是等差数列？
2.从函数的角度来看，等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=与一次函数有何关系？等差数列的前n 项和公式
d n n na S n 2
)1(1-+=与二次函数有何关系？ 3.若数列{}n a 是常数列，则其前n 项和是什么？
四、知识讲授
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)，或a n－a n －1
＝d(n≥2，d为常数)．
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为
a n＝.
通项公式的推广：a n＝a m＋(m，n∈N*)．
(2)等差数列的前n项和公式
S n＝n(a1＋a n)
2＝(其中n∈N*，a1为首项，d
为公差，a n为第n项)．
3．等差数列的有关性质
已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和．
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则有a m＋a n＝a p＋a q.
(2)等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是数列；
当d＜0时，{a n}是数列；当d＝0时，{a n}是．(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是数列．
考点一 等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用 例1.(2020·高考全国卷II)记为S n 等差数列{a n }的前n 项和.若21-=a ，262=+a a 则=10S .
考点二 等差数列有关性质的应用
例2．
(1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8 ＝ ________，a 5＝________.
(2)(2019·高考全国卷III)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若362a a =， 则=511S S .
考点三 等差数列的证明
例3．(2020·山东模拟)已知数列{a n }的前n 项和为122+-=n n n a S
(1)证明数列{n n a 2
}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式.
方法总结：在解答题中，等差数列的判定与证明的方法：（1）定义法：
（2）等差中项法：
五、巩固训练
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.
2．在等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为________．
3.(2020·四川省泸州市一诊)(数学文化题)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺4．(2020·河南联考)等差数列{a n}中，若a4＋a10＋a16＝30，则a18－2a14的值是()
A．20 B．- 20 C．10 D．- 10
5.(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. ①求{a n}的通项公式；②求S n，并求S n的最小值．
6．(2020·辽宁模拟)数列{a n}满足a1＝2，a2＝1并且
1
a n－1＝
2
a n－
1
a n＋1
(n≥2)，则数列{a n}的第100项为()
A.
1
100 B.
1
50 C.
1
2100 D.
1
250
六、教师点评：针对巩固训练情况进行点评.
七、课堂小结
1.等差数列的概念、通项公式、前n项和公式、相关性质；
2.等差数列通项公式与一次函数的关系及其前n项和公式与二次函数的关系.
八、课后作业：必做：课时作业：A组；选做：课时作业：B组的
4、6、7题.。