选择性必修第一册第二章 2.2.1 直线的点斜式方程

§2.2 直线的方程 2．2.1 直线的点斜式方程
学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．
知识点 直线的点斜式方程和斜截式方程
类别 点斜式
斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件
点P (x 0，y 0)和斜率k
斜率k 和在y 轴上的截距b
图示
方程 y －y 0＝k (x －x 0)
y ＝kx ＋b
截距
直线l 与y 轴交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截
距
思考1 经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？ 答案 不能用点斜式表示，过点P 0且斜率不存在的直线为x ＝x 0. 思考2 直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2平行、垂直的条件？ 答案 (1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2， (2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.
思考3 直线在y 轴上的截距是距离吗？
答案 不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值．
1．直线的点斜式方程也可写成y －y 0
x －x 0＝k ( × )
2．y 轴所在直线方程为x ＝0.( √ )
3．直线y －3＝k (x ＋1)恒过定点(－1,3)．( √ ) 4．直线y ＝2x －3在y 轴上的截距为3.( × )
一、求直线的点斜式方程
例1 已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求： (1)AB 边所在直线的方程； (2)AC 边与BC 边所在直线的方程． 解 (1)如图所示，
因为A (1,1)，B (5,1)，所以AB ∥x 轴， 所以AB 边所在直线的方程为y ＝1. (2)因为∠A ＝60°， 所以k AC ＝tan 60°＝3，
所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)． 因为∠B ＝45°，
所以k BC ＝tan 135°＝－1，
所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)． 反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． (2)点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外． 跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P (4，－2)，倾斜角为150°； (2)过两点A (1,3)，B (2,5)．
解 (1)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33
， ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－3
3
(x －4)． (2)∵k ＝5－32－1
＝2，
∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1)． 二、直线的斜截式方程
例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y
轴上的截距相同，求直线l 的方程．
解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.
由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2. 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 延伸探究
本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程． 解 ∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为1
2.
∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2， ∴l 在y 轴上的截距为2. ∴直线l 的方程为y ＝1
2
x ＋2.
反思感悟 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；
(3)倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的1
4，且在y 轴上的截距是－5.
解 (1)y ＝2x ＋5.
(2)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－
33，∴y ＝－3
3
x －2. (3)∵y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°， ∴所求直线的倾斜角为α＝120°×1
4＝30°，
∴k ＝tan 30°＝
33，∴y ＝3
3
x －5.
点斜式方程和斜截式方程的应用
典例 (1) 求证：不论a 为何值，直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )恒过定点；
(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ (1)证明 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)． (2)解 由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝3
8
.
故当a ＝3
8
时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．
[素养提升] (1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明． (2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直观想象和数学运算的核心素养．
1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A ．x ＝3 B ．y ＝－5 C ．2y ＝x D ．x ＝4y －1
答案 B
2．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线
C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线
D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 3．已知直线l 的方程为y ＋
274＝9
4
(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C.274 D ．－27
4
答案 B
解析 由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝9
4x －9，
∴l 在y 轴上的截距为－9.
4．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－3x －2
D ．y ＝3x －2
解析∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝3，
∴直线l的方程为y＝3x－2.
5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案 B
解析∵直线经过第一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
1．知识清单：
(1)直线的点斜式方程．
(2)直线的斜截式方程．
2．方法归纳：
待定系数法、数形结合思想．
3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案 C
解析由y＋2＝－x－1，得y＋2＝－(x＋1)，所以直线的斜率为－1，过点(－1，－2)．2．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()
A．60°，2 B．120°，2－ 3
C．60°，2－ 3 D．120°，2
解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3， ∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.
3．与直线y ＝3
2x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )
A ．y －3＝－3
2(x ＋4)
B ．y ＋3＝3
2(x －4)
C ．y －3＝3
2(x ＋4)
D ．y ＋3＝－3
2
(x －4)
答案 C
4．过点(－1,3)且平行于直线y ＝1
2(x ＋3)的直线方程为( )
A ．y ＋3＝1
2(x ＋1)
B ．y ＋3＝1
2(x －1)
C ．y －3＝1
2(x ＋1)
D ．y －3＝1
2(x －1)
答案 C
解析 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率为1
2，
其方程为y －3＝1
2
(x ＋1)，故选C.
5．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝1
2x ＋4
B ．y ＝2x ＋4
C ．y ＝－2x ＋4
D ．y ＝－1
2x ＋4
答案 D
解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－1
2，
∴所求直线方程为y ＝－1
2
x ＋4.
6．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6. 7．不管k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________．
解析 化为点斜式y －3＝k (x －2)．
8．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 答案 4
解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4. 9．求满足下列条件的m 的值．
(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直． 解 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12，∴m ＝34
.
10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，直线l 与x 轴交点坐标为(a ，0)，且a 比直线在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 解 由题意知，直线l 的斜率为3
2，
故设直线l 的方程为y ＝3
2
x ＋b ，
由32x ＋b ＝0得a ＝－2
3b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35
，
所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35
.
11．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13
B ．y ＝－1
3x ＋1
C ．y ＝3x －3
D ．y ＝1
3
x ＋1
答案 A
解析 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－1
3x ，再向右平移1个单位长
度，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋1
3
.
12．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
答案 D
解析 对于A ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B ，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D ，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D.
13．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]
解析 当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限； 当k >0时，直线过第三象限； 当k <0时，直线不过第三象限．
14．将直线y ＝x ＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________． 答案 y －3＝3(x －1)
解析 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为 3. 又∵直线过点(1，3)，
∴由直线的点斜式方程可得y －3＝3(x －1)．
15．(多选)若AC ＜0，BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案 ABD
解析 将Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式为y ＝－A B x －C B ，
∵AC ＜0，BC ＜0，∴AB ＞0，∴k ＜0，b ＞0. 故直线通过第一、二、四象限．
16．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2. 令y ＝0得，x ＝2k －2
k
，
由三角形的面积为2，得1
2×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2.
解得k ＝1
2
.
可得直线l 的方程为y －2＝1
2
(x －2)，
综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝1
2
(x －2)．。