2019年安徽省六安一中高考数学模拟试卷(文科)(三)(3月份)

2019年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（文科）（三）（3月份）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）设复数（i为虚数单位），z则的虚部为（）
A．i B．﹣i C．﹣1D．1
2．（5分）函数y＝ln（2﹣|x|）的大致图象为（）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）已知α，β为不重合的两个平面，直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）圆心在曲线上，与直线x+y+1＝0相切，且面积最小的圆的方程为（）
2
A．x+（y﹣1）22
＝2B．x
+（y+1）
2
＝2
22
＝2D．（x+1）C．（x﹣1）+y 22
＝2 +y
5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）
A．1+++
B．1+++
C．1++++
D．1++++
6．（5分）已知实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A．（﹣1，﹣2]B．[]C．[，∞）D．[，]
7．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n＝2a n﹣3n，则a2018＝（）
20182018
﹣1B．3﹣6
A．2
20182018
﹣D．（）
C．（）﹣
8．（5分）在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，
B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|＝2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3B．2C．D．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为（）
A．4B．2C．2D．
11．（5分）在平行四边形ABCD中，?＝0，||＝1，||＝，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（）
A．16πB．8πC．4πD．2π
12．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，
x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B﹣ACD，则其侧视图的面积为．
22
＝C（ABC≠0）上一点M（x0，y0）的切线方14．（5分）一般情况下，过二次曲线Ax+By
程为Ax0x+By0y＝C，．若过双曲线﹣＝1（α＞0，b＞0）上一点M（x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线1，已知直线1过点N（0，），且斜率的取值范围是[，]，则该双曲线离心率的取值范围是．
15．（5分）已知x1，x2是函数f（x）＝2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin （x1+x2）＝．
2
＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x﹣2）16．（5分）如图，点F是抛物线y 22 +y
＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知正数数列{a n}的前n项和为S n，满足，a1＝1．
（2）设，若{b n}是递增数列，求实数a的取值范围．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
19．（12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x?46%＝230人，回答问题统计结果如图表所示．
组号分组回答正确回答正确的人数
的人数占本组的概率
第1组[15，25）50.5
第2组[25，35）a0.9
第3组[35，45）27x
第4组[45，55）b0.36
第5组[55，65）3y
（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
22
20．（12分）已知圆A：x+y+2x﹣15＝0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点
R，使当k变化时，总有∠ORP＝∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明
理由．
21．（12分）已知f（x）＝+nlnx（m，n为常数），在x＝1处的切线方程为x+y﹣2＝0．（Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域；
32
2at+2成立，求实数a的
t﹣
（Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t﹣
取值范围；
2
a x﹣
（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e．（Ⅲ）若g（x）＝f（x）﹣
按
所
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则
4-4：坐标系与参数方程]
分10分）[选修
做的第一个题目计分．（本小题满
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲
22
x＝1交于A、B两点．
2）﹣
线C：（y﹣
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段A B中点M的距离．
[选修4-5：不等式]
23．（Ⅰ）已知c＞0，关于x的不等式：x+|x﹣2c|≥2的解集为R．
求实数c的取值范围；
222
p
（Ⅱ）若c的最小值为m，又p、q、r是正实数，且满足p+q+r＝3m，求证：
+q+r ≥3．
2019年安徽省六安一中高考数学模拟试卷（文科）（三）
（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）设复数（i为虚数单位），z则的虚部为（）
A．i B．﹣i C．﹣1D．1
【考点】A5：复数的运算．
【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵＝，
∴z的虚部为1．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）函数y＝ln（2﹣|x|）的大致图象为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可．
【解答】解：函数y＝ln（2﹣|x|）是偶函数，排除选项D，
当x＝时，函数y＝ln（2﹣）＞0，排除选项C，
当x＝时，函数y＝ln＜0，排除选项B，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图
象的常用方法．
3．（5分）已知α，β为不重合的两个平面，直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】12：应用题；31：数形结合；44：数形结合法；5L：简易逻辑．
【分析】利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；
利用各种条件的定义得到选项．
【解答】解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面
垂直
∴直线m?α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立
反之，直线m?α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立
所以直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
故选：A．
【点评】本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个
命题是另一个命题的什么条件．
4．（5分）圆心在曲线上，与直线x+y+1＝0相切，且面积最小的圆的方程为（）
2
A．x+（y﹣1）22
＝2B．x
+（y+1）
2
＝2
22
＝2D．（x+1）C．（x﹣1）+y 22
＝2 +y
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；J9：直线与圆的位置关系；KE：曲线与方程．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用；5B：直线与圆．
【分析】设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为：x+y+m＝0，切点为P（x0，y0），x0＞﹣1，解得x0．可得切点P即圆心，利用点到直线的距离公式可
得半径r．求解即可．
【解答】解：设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为：x+y+m ＝0，
切点为P（x0，y0）．x0＞0．
y′＝﹣，∴＝﹣1，x0＞﹣1，解得x0＝0．
可得切点P（0，1）．两条平行线之间的距离为：面积最小的圆的半径；
∴半径r＝＝．
∴圆心在曲线上，且与直线x+y+1＝0相切的面积最小的圆的方程为：22
＝2．x+（y﹣1）
故选：A．
【点评】本题考查了导数的几何意义、切线方程的求法，考查圆的方程、点到直线的距
离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝（）A．1+++
B．1+++
C．1++++
D．1++++
【考点】EF：程序框图．
【专题】27：图表型．
【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，
用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S 值，由此即可得到本题答案．
【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行
第一次：S＝1，
第二次：S＝1+，
第三次：S＝1++，
第四次：S＝1+++．
此时k＝5时，符合k＞N＝4，输出S的值．
∴S＝1+++
故选：B．
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到
型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题．
6．（5分）已知实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A．（﹣1，﹣2]B．[]C．[，∞）D．[，]
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义即可得到结论．
【解答】解：设k＝，则k的几何意义为区域内的点（x，y）到定点D（﹣2，﹣1）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图，
由图象可知AD的斜率最大，
∵O，B，D，三点共线，
∴OD的斜率最小，即最小值为k＝，
由，解得，即A（，），
则A D的斜率k＝＝，
故≤k≤，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线斜率的几
何意
义是解决本题的关键．
7．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n＝2a n﹣3n，则a2018＝（）20182018
﹣1B．3﹣6
A．2
20182018
﹣D．（）
C．（）
﹣
【考点】8H：数列递推式．
【专题】11：计算题；
35：转化思想；
4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】推导出a1＝S1＝（2a1﹣
3），从而a1＝﹣3，由S n＝（2a n﹣
3n），得当n≥2
时，S n
﹣1＝（2a n
﹣1
﹣
3n+3），从而推导出{a n+1}是以﹣2为首项，以﹣2为公比的等比
数列，由此能求出a2018的值．
【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，3S n＝2a n﹣3n，
32页）第14页（共
S n ＝ （2a n ﹣3n ），① ，
当 n ≥ 2 时， S n ﹣1＝ （ 2a n ﹣1﹣3n+3），② ， ①﹣② ，得 a n ＝﹣﹣
1， ∴a n ＝﹣2a n ﹣1﹣
3，∴ ＝﹣2，
∵a 1+1＝﹣2，
∴{a n +1} 是以﹣2 为首项，以﹣2 为公比的等比数列， ∴ ，∴
，
∴a 2018＝（﹣2） 2018
2018 ﹣1＝2﹣1．
故选： A ．
【点评】 本题考查数列的第
2018 项的求法，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运
用 放缩法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
8．（5 分）在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等 边三角形的边长概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】 CF ：几何概型． 【专题】 5I ：概率与统计．
【分析】 由题意可得：如图，要使弦长大于 CD 的长，就必须使圆心O 到弦的距离小于
|OF |，即可得出结论、
【解答】 解：如图所示，△B CD 是圆内接等边三角形， 过直径 BE 上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为 2，则等边三角形
BCD 的内切
圆的半径为 1，
显然当弦为 CD 时就是△B CD 的边长，
要使弦长大于 CD 的长，就必须使圆心O 到弦的距离小于 |OF |， 记事件 A ＝{ 弦长超过圆内接等边三角形的边长
} ＝{弦中点在内切圆内 } ，
由几何概型概率公式得 P （A ）＝ ，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．
9．（5分）已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，
B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|＝2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3B．2C．D．
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】31：数形结合；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|＝2|ON|的关系建立方程进行求解即可．
【解答】解：∵PF⊥x轴，
∴设M（﹣c，t），则A（﹣a，0），B（a，0），
AE的斜率k＝，则AE的方程为y＝（x+a），
令x＝0，则y＝，即E（0，），
BN的斜率k＝﹣，则BN的方程为y＝﹣（x﹣a），
令x＝0，则y＝，即N（0，），
∵|OE|＝2|ON|，
∴2||＝||，
即＝，
a）＝a+c，
则2（c﹣
即c＝3a，
则离心率e＝＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为（）
A．4B．2C．2D．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．
【专题】34：方程思想；49：综合法；58：解三角形；59：不等式的解法及应用．
【分析】由已知式子和正弦定理可得B＝，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．
【解答】解：∵在△ABC中＝，
∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，
∴（2sinA﹣s inC）cosB＝sin BcosC，
∴2sinA c osB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，
约掉s inA可得cosB＝，即B＝，
2222
a c，
a c≥2ac﹣
由余弦定理可得16＝a﹣
2accosB＝a﹣
+c+c
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝ac≤4
故选：A．
【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属
中档题．
11．（5分）在平行四边形ABCD中，?＝0，||＝1，||＝，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积为（）
A．16πB．8πC．4πD．2π
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；LG：球的体积和表面积．
【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5Q：立体几何．
【分析】折叠之后呢得出三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同，利用对角线求解即可，再利用面积公式求解即可．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，||＝1，
||＝，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，
∴三棱锥A﹣BDC镶嵌在长方体中，
即得出：三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同，
∴2R＝＝2，R＝1，
2
∴外接球的表面积为4π×1＝4π，
故选：C．
【点评】本题考察了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，镶嵌几何体的求解方法，转为常见的几何体求解，属于中档题．
12．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，
x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）
【考点】5B：分段函数的应用．
【专题】31：数形结合；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x＝﹣1对称，x3x4＝1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作函数f（x）的图象如右，
∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
∴x1，x2关于x＝﹣1对称，即x1+x2＝﹣2，
0＜x3＜1＜x4，
则|log2x3|＝|log2x4|，
即﹣log2x3＝log2x4，
则log2x3+log2x4＝0
即log2x3x4＝0
则x3x4＝1；
当|log2x|＝1得x＝2或，
则1＜x4≤2；≤x3＜1；
故＝﹣2x3+，≤x3＜1；
则函数y＝﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，
则故x3＝取得最大值，为y＝1，
当x3＝1时，函数值为﹣1．
即函数取值范围是（﹣1，1]．
故选：B．
32页）
第19页（共
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思
想方法是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B﹣ACD，则其侧视图的面积为．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出三视图的侧视图的图形，利用三视图的数据，转化求解侧视图的面积即可．【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为4，3，一个侧面是直角三角形与底面垂直，AB＝4，BC＝3，B到AC的距离为：
侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为：．
所以侧视图的面积为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系，侧视图的面积的求法，是基本知识的考查．
第20页（共32页）
22
＝C（ABC≠0）上一点M（x0，y0）的切线方14．（5分）一般情况下，过二次曲线Ax+By
程为Ax0x+By0y＝C，．若过双曲线﹣＝1（α＞0，b＞0）上一点M（x0，y0）（x0
＜0）作双曲线的切线1，已知直线1过点N（0，），且斜率的取值范围是[，]，则该双曲线离心率的取值范围是[，]．
．
【考点】KC：双曲线的性质
与方程．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；
5D：圆锥曲线的定义、性质
【分析】求得切线方程，将N代入切线方程，即可求得M点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案．
【解答】解：由双曲线的在M（x0，y0）切线方程：，将N代入切线方程，解得：y0＝﹣
2b，
a，
代入双曲线方程解得：x0＝﹣
则切线方程：，即y＝x+，
由斜率的取值范围是[，]，即≤≤，1≤≤2，
由双曲线的离心率e＝＝，1≤≤4，
∴双曲线离心率的取值范围[，]，
故答案为：[，]．
【点评】本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式，考查转化思想，属于中档题．15．（5分）已知x1，x2是函数f（x）＝2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin （x1+x2）＝．
【考点】52：函数零点的判定定理．
56：三角函数的求值．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；
【分析】由题意可得m＝2sin2x1+cos2x1＝2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．
m在[0，]内的两个零点，【解答】解：x1，x2是函数f（x）＝2sin2x+cos2x﹣
第21页（共32页）
可得m＝2sin2x1+cos2x1＝2sin2x2+cos2x2，
即为2（sin2x1﹣
s in2x2）＝﹣
c os2x1+cos2x2，
即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）＝﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），
由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，
可得sin（x2+x1）＝2cos（x1+x2），
22
由sin
（x2+x1）+cos（x1+x2）＝1，
可得sin（x2+x1）＝±，
由x1+x2∈[0，π]，
即有sin（x2+x1）＝．
另解：由对称性可知＝2sin（x2+x1）+cos（x1+x2），
22
由sin（x2+x1）+cos（x1+x2）＝1，
由x1+x2∈[0，π]，
即有sin（x2+x1）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数方程的转化思想，函数零点问题的解法，考查三角函数的恒
等
变换，同角基本关系式的运用，属于中档题．
2
＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x﹣
2）16．（5分）如图，点F是抛物线y 22 +y
＝16的实线部分上运动
，且
A B总是平行于x轴，则
△F AB的周长的取值范
围
是（8，
12）．
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质
与方程．
【分析】抛物线的准线l：x＝﹣
2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，可得
第22页（共32页）
2△FAB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+（x B﹣x A）+4＝6+x B，由抛物线y＝8x及圆（x﹣2）22
＝16，解出交点坐标即可得出． +y
【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣
2，焦点F（2，0），
由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，
∴△FAB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+（x B﹣x A）+4＝6+x B，
222
2）＝16，
由抛物线y＝8x及圆（x﹣
+y
得交点的横坐标为2，
∴x B∈（2，6）
∴6+x B∈（8，12）
∴三角形ABF的周长的取值范围是（8，12）．
能力【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、焦点弦长公式，考查了推理
与计算能力，属于中档题．
）
骤
70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
三、解答题：（本大题共5小题，共
17．（12分）已知正数数列{a n}的前n项和为S n，满足，a1＝1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
，若{b n}是递增数列，求实数a的取值范围．
（2）设
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
+S n﹣2，（n≥3）．相减可得：【分析】（1），＝S n
﹣1
＝a n+a n﹣1，根据a n＞0，a n﹣1＞0，可得a n﹣a n﹣1＝1，（n≥3）．n＝2时，＝a1+a2+a1，解得a2．验证上式是否成立．进而得出a n．
第23页（共32页）
（2）＝（n﹣1）2+a（n﹣1），由{b
n}是递增数列，可得b n+1﹣b n＞0恒成立．即可实数a的取值范围．
+S n﹣2，（n≥3）．【解答】解：（1），＝S n
﹣1
相减可得：＝a n+a n﹣1，
∵a n＞0，a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1＝1，（n≥3）．
n＝2时，＝a1+a2+a1，∴＝2+a2，a2＞0，∴a2＝2．
因此n＝2时，a n﹣a n
＝1成立．
﹣1
∴数列{a n}是等差数列，公差为1．
∴a n＝1+n﹣1＝n．
2
（2）＝（n﹣1）
+a（n﹣1），
22
∵{b n}是递增数列，∴b n+1﹣b n＝n
+a n﹣（n﹣1）
﹣a（n﹣1）＝2n+a﹣1＞0，即a＞1﹣2n恒成立，
∴a＞﹣1．
∴实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．
，考查【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式单调性、不等式的解法
了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
．
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比
【考点】L2：棱柱的结构特征；L F：棱柱、棱锥、棱台的体积；
L Y：平面与平面垂直．
第24页（共32页）
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC＝1，易求V1＝××1×1＝，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝1，于是可得（V﹣V1）：V1＝1：1，从而可得答案．
【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC＝C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得V1＝××1×1＝，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝1，
∴（V﹣V1）：V1＝1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
19．（12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x?46%＝230人，回答问题统计结果如图表所示．
组号分组回答正确回答正确的人数
的人数占本组的概率
第1组[15，25）50.5
第2组[25，35）a0.9
第3组[35，45）27x
第4组[45，55）b0.36
第5组[55，65）3y
第25页（共32页）
（Ⅰ）分别求出
a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
C C：列
；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；
【考点】B8：频率分布直方图
举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由回答对的人数：每组的人数＝回答正确的概率，分别可求得要求的值；
（Ⅱ）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；
b1，b2，b3，第4组的记
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为
为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．
【解答】解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5＝10，所以n＝10÷0.1＝100，⋯（1分）
第2组人数100×0.2＝20，所以a＝20×0.9＝18，⋯（2分）
第3组人数100×0.3＝30，所以x＝27÷30＝0.9，⋯（3分）
第4组人数100×0.25＝25，所以b＝25×0.36＝9⋯（4分）
第5组人数100×0.15＝15，所以y＝3÷15＝0.2．⋯（5分）
（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9＝2：3：1，
抽取2人，3人，1人．⋯（8分）
所以第2，3，4组每组应各依次
b1，b2，b3，第4组的记
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为
为c，
则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，
32页）
第26页（共
它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），
（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），
（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．⋯（10分）
其中第2组至少有1人的情况有9种，
它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），
（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．⋯（12分）
故所求概率为．⋯（13分）
的特【点评】本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层
抽样点，属基础题．
22
20．（12分）已知圆A：x+y+2x﹣15＝0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP＝∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明
理由．
【考点】KI：圆锥曲线的综合；KJ：圆与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
1，0），通过|NM|＝|NB|，推出点N的轨迹是以A，B为焦【分析】（Ⅰ）求出圆心
A（﹣
点的椭圆，设其标准方程，求出a，c，即可求解椭圆方程．
1）与椭圆方程消
立直线y＝k（x﹣
（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联
2222
8k
﹣
12）＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理， y得（4k+3）x x+（4k ﹣
通过直线RP与直线RQ的斜率之和为零，得到x1y2+x2y1﹣（t y1+y2）＝0，即2kx1x2﹣（1+t）k（x1+x2）+2tk＝0，推出t＝4存在定点R（4，0）满足题设．
【解答】解：（Ⅰ）圆A：（x+1）22＝16，圆心
1，0），由已知得|NM|＝|NB|，又
A（﹣
+y
|NM|+|NB|＝4，所以|NA|+|NB|＝4＞|AB|＝2，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B 为焦点的椭圆，设其标准方程C：，则
2a＝4，2c＝2，
第27页（共32页）
22
所以a＝4，b＝3，所以曲线C：．
立直线y＝k（x﹣1）与椭圆方程消（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联
y得
2222
（4k﹣8k﹣12）＝0，
+3）x x+（4k
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由韦达定理得①，②，
由题设知OR平分∠PRQ?直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，
即，即x1y2+x2y1﹣t（y1+y2）＝0，
即2kx1x2﹣（1+t）k（x1+x2）+2tk＝0③，
把①、②代入③并化简得，即（t﹣4）k＝0④，
所以当k变化时
④成立，只要t＝4即可，
所以存在定点R（4，0）满足题设．
问题【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应
用，考查存在性
．
的处理方法，考查分析问题解决问题的能力
21．（12分）已知f（x）＝+nlnx（m，n为常数），在x＝1处的切线方程为x+y﹣2＝0．（Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域；
32
（Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t﹣t﹣2at+2成立，求实数a的取值范围；
2（Ⅲ）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e
．
性
；6E：利用导数研【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调
究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数
定义域；
32页）第28页（共
32
t﹣
2at+2≤1，即
（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）＝1，只需t﹣
对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论；
x1＞x2＞0，得到g（x1）＝g（x2）＝0，根据相加和相减得到（Ⅲ）不妨设
，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最
小值，问题得以证明
．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝+nlnx可得，
由条件可得，把x＝﹣1代入x+y＝2可得，y＝1，
∴，
∴m＝2，，
∴，x∈（0，+∞），
减，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递
∴f（x）在上的最小值为f（1）＝1，
32
2at+2≤1，即对任意的上恒成立，
t﹣
故只需t﹣
，
增
令m（t）＝，易求得m（t）在单调递
减，[1，2]上单调递
而，，
∴2a≥m（t）max＝g（2），
∴，
为
围
即a的取值范
x1＞x2＞0，
（Ⅲ）∵，不妨设
∴g（x1）＝g（x2）＝0，
∴，，相加可得，相减可得，
由两式易得：；
要证，
即证明lnx1+l nx2＞2，
即证：，
需证明成立，
令，则t＞1，
于是要证明，
构造函数，
∴，
故?（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴?（t）＞?（1）＝0，
∴，
故原不等式成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价
转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所
做的第一个题目计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲22
线C：（y﹣2）﹣x＝1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．
【考点】IT：点到直线的距离公式；QB：柱坐标刻画点的位置；QJ：直线的参数方程．
方程．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与
2
5＝0，求
12t﹣
得7t﹣
【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简
出t1+t2 和t1?t2，根据|AB |
t2|＝5 ，运算求得结果．＝? |t1﹣
＝．由t 的几何（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为
意义可得点P 到M 的距离为
|PM |＝?| |，运算求得结果．
2
得7t﹣
12t﹣5＝0，【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简
t1+t2＝，t1?t2 ＝﹣．
设A，B 对应的参数分别为t1 和t2，则
t2|＝5 ＝．所以|AB |＝? |t1﹣
2，2），
（Ⅱ）易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为（﹣
根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为＝．
所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为|PM |＝?| |＝．
【点评】本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．
[选修4-5：不等式]
23．（Ⅰ）已知c＞0，关于x 的不等式：x +|x﹣2c |≥ 2 的解集为R．
求实数 c 的取值范围；
2 2 2
m，又p、q、r 是正实数，且满
足p+q+r＝3m，求证：p （Ⅱ）若 c 的最小值为
+q +r ≥3．
【考点】R6：不等式的证明．
【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；5M ：推理和证明．
2c |的最小【分析】（I）由题意可得函数y＝x+|x﹣
2c|在R上恒大于或等于2，求得x+|x﹣值，解不等式即可得到 c 的范围；
2 2 2 2 2 2
（Ⅱ）由（1）知p+q+r＝3，运用柯西不等式，可得（p ）（1 ）≥（p×1+q
+q +r +1 +1
32页）第31页（共
【解答】解：（I）不等式x+|x﹣
2c|≥2的解集为
R
?函数y＝x+|x﹣2c|在R上恒大于或等于2，
∵x+|x﹣2c|＝，
∴函数y＝x+|x﹣2c|，在R上的最小值为2c，
∴2c≥2?c≥1．
所以实数c的取值范
围为
[1，+∞）；
（Ⅱ）证明：由（1）知p+q+r＝3，又p，q，r是正实数，
222222
所以（p）（1）≥（p×1+q×1+r×1）+q+r+1+122
＝（p+q+r）＝9，
22即p
+q+r 2
≥3．当且仅当p＝q＝r＝1等号成立．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的最值的求法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．。