换元法求函数值域

换元法求函数值域
某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

形如y ax b cx d =++(a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，可以令cx d + ≥0),
那么有2
t cx d =+ ∴2t d x c -= ∴2t d y a b t c -=⋅+± ； 从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t 的取值范围。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。

例1、求函数313y x x =- 分析：函数313y x x =-y ax b cx d =++ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，因此，可以考虑用换元法。

解：令13(0)t x t -≥，那么213t x =- ∴2
13
t x -= ∴原函数可化为2133
t y t -=⋅+=21t t -++=215()24t --+ ∴ 其函数图像如图1所示 ∴当12t =时，即14
x =时 y 取得最大值max y =54,无最小值。

∴函数313y x x =-- ∞，54
]。

例2、求函数4123y x x =--
解：[换元法] 令23t x =- (0)t ≥，那么232
t x += ∴原函数可化为222313941252()248
t y t t t t +=⋅-+=++=++
∵0t ≥
∴当0t =时，即32
x =时，y 取得最小值min y =5，无最大值。

∴函数4123y x x =--[5 ，+∞〕。

例3、求函数21y x x =-[4]
分析：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1] ，我们注意到1sin 1t -≤≤ ()22t π
π
-≤≤,因此,对于定义域为[-1，1]的函数,我们可以考虑用sin ()22x t t π
π=-≤≤进展三角换元。

解：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1]， 设sin ()22x t t π
π
=-≤≤， 那么原函数21y x x =-sin cos y t t =+=
2)4t π+ ∵22t π
π
-≤≤ ∴3444
t π
π
π-≤+≤ 看图像〔图2〕可知2sin()124
t π-≤+≤ ∴12)24
t π-≤+≤12y -≤≤即原函数的值域为[-12。

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