高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(二十五) 空间直角坐标系的建立

课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立
空间直角坐标系中点的坐标
层级一学业水平达标
1．已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是()
A．(4,8,2)B．(4,2,8)
C．(4,2,1) D．(2,4,1)
解析：选D由题意，得AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．
2．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．
其中正确的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C②③④正确．
3．已知P(1,3，－1)关于xOz面对称点为P′，P′关于y轴对称的点为P″，则P″的坐标为()
A．(1，－3，－1) B．(－1，－3,1)
C．(1，－3,1) D．(－1,3,1)
解析：选B由题意，得P′(1，－3，－1)，P″(－1，－3,1)．
4．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)
解析：选A过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.
5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C ．λ＝2，μ＝10，v ＝8
D ．λ＝2，μ＝10，v ＝7
解析：选D 两个点关于x 轴对称，那么这两个点的x 坐标不变，y 坐标与z 坐标均互
为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v )，∴λ＝2，μ＝10，v ＝7.
6．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则CC 1中点N 的坐标为________．
解析：由题意C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，∴N (0,2,1)． 答案：(0,2,1)
7．点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________. 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射影为(0,0,4)．
答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)
8．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．
解析：点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)． 答案：(2,0,3)
9．如图，棱长为a 的正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试
写出点Q 的坐标．
解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，1
2a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为
⎝⎛⎭
⎫12a ，12a ，12a .
10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．
解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，
如图所示．
设|AB |＝1，则|AD |＝2，|AA 1|＝4， 所以|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝1
2，
所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝3
2
.
所以点E 的坐标为⎝⎛⎭
⎫1，3
2，0，点F 的坐标为(1,2,1)． 层级二 应试能力达标
1．已知点A (x,5,6)关于原点的对称点为(－2，y ，z )，则P (x ，y )在平面直角坐标系的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D 由题可知，x ＝2，y ＝－5，z ＝－6，故(x ，y )＝(2，－5)，在第四象限． 2．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( ) A ．z 轴
B ．与平面xOy 平行的一直线
C ．平面xOy
D ．与平面xOy 垂直的一直线
解析：选D (2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线． 3．正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝1
3|BD ′|，
建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫13，13，13
B.⎝⎛⎭⎫
23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13
D.⎝⎛⎭⎫23，23，13
解析：选D 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E
分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，
由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝2
3，
|DG |＝23|DC |＝2
3
，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13，故选D. 4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB ＝3，AD ＝2，
AA 1＝1，则DD 1C 1C 所在平面上点的坐标形式是( )
A ．(0，－2，－1)
B ．(x ，－2，z )
C ．(－3，－2，－1)
D ．(－3，y ，z )
解析：选B DD 1C 1C 所在的平面平行于xOz 面，且与xOz 面的距离为2，上面任意一点的y 坐标都是－2，而x ，z 坐标可取任意实数．
5．以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA
1B 1B 对角线交点的坐标为________．
解析：如图所示，A (0,0,0)，B 1(1,0,1)．
平面AA 1B 1B 对角线交点是线段AB 1的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12
，0，1
2. 答案：⎝⎛⎭⎫12
，0，12 6．如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在BD ′上，BP ＝13
BD ′，则P 点坐标为________．
上，∵BP ＝
1
3解析：点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD BD ′，所以P x ＝P y ＝2
3
，
P z ＝1
3∴P ⎝⎛⎭⎫23，23，13. 答案：⎝⎛⎭⎫
23，23，13
7．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝1
4CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，
G ，H 的坐标．
解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直
角坐标系．
∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点， 故点E 坐标为⎝
⎛⎭⎫0，0，12.
过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，则|FM |＝|FN |＝1
2，
故点F 坐标为⎝⎛⎭⎫
12，12，0.
因为点G 在y 轴上，
又|GD |＝3
4
，故点G 坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点， 故|HK |＝12，|CK |＝1
8
.
∴|DK |＝7
8
.故点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12.
8．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，求顶点D 的坐标．
解：设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，得x 1＝7
2
，y 1＝4，z 1＝－1，
又2＋x 22＝72，－5＋y 22＝4，1＋z 22＝－1，
∴x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3. ∴顶点D 的坐标为(5,13，－3)．。