高一数学期末测试(必修三必修四)

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高一数学期末测试
一、选择题
1．若A 是ABC ∆的内角，当
7cos 25A =，则cos 2
A
=
(A)35± (B)35 (C)45± (D)
45
2．（2009·辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 （ ）
（A ）4π
（B ）14π
-
（C ）8π
（D ）18
π
-
3．向量()1,tan ,cos ,13a b αα⎛⎫
== ⎪⎝⎭，且a ∥b ，则锐角α的余弦值为（ ） A. 13 B. 23 C. 23 D. 22
3
4．某学院有四个饲养房，分别养有18，54，24，48只白鼠供实验用，某项实验需要抽取24只白鼠，你认为最合适的抽样方法是（ ） A ．在每个饲养房各抽取6只
B ．把所以白鼠都编上号，用随机抽样法确定24只
C ．在四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只
D ．先确定这四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只样品，再由各饲养房将白鼠编号，用简单随机抽样确定各自要抽取的对象
5.已知向量()(),1,2,2,1=-=b a 则与a b -2同方向的单位向量是( ) (A) 34(,)55 (B) 34(,)55- (C) 34(,)55- (D) 34(,)55
--
6．若12,e e 是夹角为60的两个单位向量，则12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为 A ．30 B ．60 C ．120 D ．150 7．一人在打靶时，连续射击两次，事件“至少中靶一次”的对立事件是 A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶 8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ） A ．向左平移
5π
12个长度单位
B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
9. 设α角属于第二象限，且2
cos
2
cos
α
α
-=，则
2
α
角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10. 设tan 3α=，则
sin()cos()sin()cos()
22
ααππ
αα-π+π-=-++
A.3
B.2
C.1
D.1- 11．已知81cos sin =
αα，且)2
,4(π
πα∈，则ααsin cos -的值是（ ） A.
23 B ．43 C ．23- D ．2
3
±
12．函数cos tan y x x =（0x π≤≤且2
x π
≠
）的图象为 （ ）
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[]15,30内的人数为 ．
14．如图，该程序运行后输出的结果S 为（ ）
（15题图）
15．如图，在中，2DE EC =，AE 交BD 于点P ，
设AB a =，AD b =，用,a b 表示CP =______
16．函数π()3sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象为C ，则
①图象C 关于直线11π12x =
对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，内是增函数；
④由3sin 2y x =的图象向右平移π3个长度单位可以得到图象C ．
以上结论中正确的序号是
三、解答题
17．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6 名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。

把这6名学生的得分看成一个总体。

（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。

求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

18．已知关于x 的方程的两根为sinθ和cosθ：
（1）求
的值；
（2）求m 的值．
19． 设有关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从0123，
，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根
的概率．
20．函数2
()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈．
（1）求函数)(x f 的最小正周期；
（2）当02
x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，时，求函数)(x f 的取值范围．
21．A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.
(1)若A 点的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，求αααα2
2sin 1cos sin cos 3++-的值； (2)求2
BC 的取值范围．
22．已知)2
cos 2,cos 1(),2sin 2,cos 1(x
x b x x a +=-=→→
,
设2
1()2sin ||4
f x x a b →→=+--.
(Ⅰ)求)(x f 的表达式；
(Ⅱ)若函数)(x g 和函数)(x f 的图象关于原点对称， （ⅰ）求函数)(x g 的解析式；
（ⅱ）若函数1)()()(+-=x f x g x h λ在区间]2
,2[π
π-
上是增函数，求实数λ的取值范围.
A=1，S=1
S=S+9
A=A+1 A ≤2
输出S
结束
开始
是 否
(14题图)
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参考答案
1．D 【解析】
试题分析：根据题意，由于A 是ABC ∆的内角，当22716cos 2cos 1cos 252225
A A A ==-∴=，则因为A (0,)(0,)22
A ππ∈∴∈ ，则可知cos 2A =4
5，故答案为D.
2．C 【解析】
试题分析：因为sin , 0<2
cos tan =-sin , <2
x x y x x x x πππ⎧
≤⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，所以其函数图像为选项C 。

考点：三角函数的图像；函数图像的变换。

点评：此题的关键是通过分类讨论去掉绝对值符号。

把函数=()y f x 的图像关于x 轴对称得y=-()f x 的图像；把函数=()y f x 的图像关于y 轴对称得=(-)y f x 的图像；把函数=()y f x 的图像关于原点对称得=-(-)y f x 的图像。

3．D 【解析】
试题分析：因为，向量()1,tan ,cos ,13a b αα⎛⎫
== ⎪⎝⎭，且a ∥b ， 所以，11tan cos 0,sin ,
3
3ααα-== cos α
=3，故选D 。

4．A
【解析】
试题分析：22(2,1)(1,2)(3,4)b a -=--=，令其同方向的单位向量为(,)a b ，则
,01340a b b a >⎧=-=⎪⎩，解得354
5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以所求的向量为34(,)55。

故选A 。

5．C 【解析】
试题分析：∵12,e e 是夹角为60的两个单位向量，∴12121
1,2
e e e e ==⋅=
，∴12121212
(2)(32)1cos ,27232e e e e a b e e e e +-+<>==
=-+-+，∴12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为120，故选C
6．D 【解析】
试题分析：四个饲养房情况各不相同，故采用分层抽样法分别抽取后，再由各饲养房将白鼠编号，用简单随机抽样确定各自要抽取的对象，较好。

故选D 。

7．D ； 【解析】
试题分析：回归直线方程ˆy
=a ＋bx 必定过点（x ，y ）(样本中心点)，故选D 。

8．C
【解析】 试题分析：至少中靶一次包含“恰好中靶1次和中靶2次”，因此其对立事件为“两次都不中靶”，故选C 。

9．A 【解析】
试题分析：πcos 23y x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
)322sin(ππ++=x )652sin(π+=x )]125(2sin[π+=x .所以将函数sin 2y x =的图像向左平移
5π12个长度单位可以得到πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭. 考点：函数y= A sin （ωx+φ）的图象变换．
10．D 【解析】
试题分析：3sin 300sin(36060)sin(60)sin 602
︒=-=-=-=-. 11．C 【解析】
试题分析：由于设α角属于第二象限，∴2α是第一或三象限角，且2
cos 2cos α
α-=，则可知
cos
2α
<0，那么可知故答案C. 12．B 【解析】
试题分析：∵tan 3α=，
∴sin()cos()
sin cos sin cos tan 1
2cos sin sin cos tan 1sin()cos()22αααααααππααααααα-π+π---++====----++，故选B.
13．【解析】
试题分析：因为，
81cos sin =
αα，且)2
,4(π
πα∈，
所以，cos sin ,cos sin αααα<-===23
-，故选C 。

14．C
【解析】
试题分析：根据题意，由于函数)2
2
,0)(sin(3)(π
ϕπ
ωϕω<
<-
>+=x x f 的图像关于直线
3
2π
=
x 对称,可知
232w+k ππϕπ=+
它的周期是π,可知w=2，45326+k k πππϕπϕπ=+∴=-,那么可知6
πϕ=，那么可知解析式，当x=0代入可知函数值不是为
12 A 错误,对于B ，由于将2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
代入解析式判定函数不具有单调性，故错误。

对于D ，由于将)(x f 的图象向右平移||ϕ个单位得到函数3cos 2y x =的图象,g 故错误，因此选C. 15．31
44
a b -
- 【解析】
试题分析：根据题意，由于1
()()3
PE AE PE AD DE b a λλλ=∴=+=+
，设()()PD BD PD AD AB b a μλλ=∴=-=-,因为1
3
DE PE PD a =-=,那么可知联立方程
组得到1
4
λμ== ，故可知
212131()343444CP CE EP CD EA AB ED DA a b =+=+=++=--，故答案为31
44
a b --
16．（4）
【解析】
试题分析：对于（1）若→
a //→
b ，→
b //→
c ，则→
a //→
c ，当→
b 为零向量不满足，错误。

对于（2）若0a ≠， a b a
c ⋅=⋅，则b c =；不能约分，错误。

对于（3）对任意向量,,a b c 都有()
()
a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；向量的数量积不满足结合律，错误
对于（4）若存在R ∈λ使得→
→=b a λ，则向量→
a //→
b ；成立。

对于（5）若→
a //→
b ，则存在R ∈λ使得→→=b a λ；当→
b 为零向量不满足，错误。

对于（6）已知),(),,(2211y x b y x a →→，若→a //→
b ，则21
21y y x x =
，那么当
→b 为零向量不满足，错误。

故正确的为（4） 17．-
17
【解析】
试题分析：根据题意，由于已知向量(,),(,)a b =-=-3210，且向量a b λ+与a b -2垂直，那
么可知
1
-3-12-==-7
λλλ∴（，）（1，2）0，故答案为-17 18．①②③ 19．甲 【解析】
试题分析：根据所给的茎叶图，看出甲和乙的两组数据，做出两组数据的平均数，把两个平均数进行比较，得到甲的命中率比较高．解：根据茎叶图所给的数据，做出两个组的平均命中球数，,甲的平均命中球数：(8+12+13+20+22+24+25+26+27+37)10÷ =21.4,乙的平均命中球数：(9+11+13+14+18+19+20+21+21+23+37) 10÷=20.5,∴甲的平均命中球数大于乙的平均命中球数，,即命中率较高的是甲,故答案为：甲
20．14
试题分析：正方形的面积介于36与81之间,所以边长介于6与9之间，即[]6,9AM ∈，长度
3 / 6
为3，所以概率为31124
p == 21．100 【解析】
试题分析：所抽取的20人中在[]15,30内的人数10人，
故可得200名教师中使用多媒体进行教学次数在[]15,30内的人数为10
20020
⨯=100人。

22．（1）π．（2）221⎡⎤--⎣⎦
，．
【解析】
试题分析：（1）因为 ()sin 2cos 21f x x x =--2sin(2)14
x π
=--． 所以 22
T π
==π． 5分 （2）()2sin(2)14
f x x π
=--
当 0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
时，32444x πππ-≤-≤， 所以 当242x ππ-=，max ()21f x =-， 当244
x ππ
-
=-，min ()2f x =-． 所以)(x f 的取值范围是221⎡⎤--⎣
⎦
，．
考点：本题考查了三角函数的变换及三角函数的性质
点评：处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为
sin()(0,0)y A x k A ωϕω=++>>的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于图
象.
23．(1) 78
=41
原式
(2) |BC |2
的取值范围是(2,2＋3).
【解析】
试题分析：(1)∵A 点的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴tan α＝
4
3
， 78=
41
原式 (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形， ∴B 点的坐标为(cos(α＋
3π)，sin(α＋3
π
))，且C (1,0)， ∴|BC |2＝[cos(α＋3π)－1]2＋sin 2
(α＋3π) ＝2－2cos(α＋3π
)． 而A 、B 分别在第一、二象限，
∴α∈(6π，2π
)． ∴α＋3π∈(2π，56
π)，
∴cos(α＋
3π)∈(－3
，0)． ∴|BC |2
的取值范围是(2,2＋3).
考点：三角恒等变换以及三角函数性质
点评：解决的关键是利用三角函数的公式以及三角函数的性质熟练的表示，属于基础题。

24．（1）31+ （2）3
【解析】
试题分析：解：依题得：sinθ+cosθ=
31
2
+，sinθ•cosθ=2m ∴（1）
=sinθ+cosθ=
31
2
（2）（sinθ+cosθ）2
=1+2sinθ•cosθ，∴
(
12)2=1+22m ∴
m=2
．
考点：三角函数的化简求值
点评：本题考查了三角函数的化简求值以及韦达定理，根据韦达定理得出sinθ+cosθ，sinθ•cosθ是解题的关键，属于中档题
25．Ⅰ)=)(x f x x sin 2sin 2+；（Ⅱ）函数)(x g 的解析式为)(x g = -sin 2
x+2sinx ；
（Ⅲ）(]0,∞-。

【解析】
试题分析：（Ⅰ)])2
cos 2(sin 4cos 4[41sin
2)(22x
x x x x f -+-
+= x x x x x sin 2sin sin 1cos sin 222+=+--+= 4分
（Ⅱ）设函数)(x f y =的图象上任一点),(00y x M 关于原点的对称点为),(y x N 则y y x x -=-=00,, .5分 ∵点M 在函数)(x f y =的图象上
)sin(2)(sin 2x x y -+-=-∴,即x x y sin 2sin 2+-=∴
∴函数)(x g 的解析式为)(x g = -sin 2
x+2sinx 7分 （Ⅲ）,1sin )1(2sin )1()(2+-++
-=x x x h λλ
设)11(,sin ≤≤-=t t x 9分
则有)11( 1)1(2)1()(2
≤≤-+-++-=t t t t λλϕ
当1λ=-时，ϕ(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数，∴λ= -1 11分
当1λ≠-时，对称轴方程为直线λ
λ
+-=
11t . ⅰ) 1-<λ时，
111-≤+-λ
λ
，解得1-<λ ⅱ)当1->λ时，111≥+-λ
λ
,解得01≤<-λ
综上:0≤λ.
∴实数λ的取值范围为(]0,∞- 14分
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，三角函数和差倍半公式的应用，二次函数图象和性质。

点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数“化一”，这是常考题型。

首先运用“三角公式”进行化简，为进一步解题奠定了基础。

（3）小题利用“换元思想”，转化成二次函数在闭区间的单调性研究问题，根据图象对称轴受到的限制，求得实数λ的取值范围。