高考数学压轴专题最新备战高考《集合与常用逻辑用语》全集汇编含解析

【高中数学】数学《集合与常用逻辑用语》复习资料
一、选择题
1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2
【答案】C 【解析】
若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.
2．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…
；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题
的是（ ） A ．p B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】
命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥
由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛
⎫++=++ ⎪⎝
⎭，
可知当34x π=-
104x π⎛
⎫++< ⎪⎝
⎭，故p 为假；
命题:q 直线:0l x y m -+=与圆2
2
:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是
5m =-
若直线:0l x y m -+=与圆22
:(2)(1)8C x y -+-=相切，则
d =
= 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
3．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()112
2
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；
由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．已知集合，则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】 【分析】 由题意，集合，
，再根据集合的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合
，
，
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合
，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
5．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
6．集合{}
|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到{}
13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】
1
8{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I .
故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
7．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即
可. 【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2x
f x '=-，
令()0f x '=，解得ln 2x =，
因为()'
f
x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'
0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,
故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<， 故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
8．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒322
11
m m m --=≠-， 由321
m m
m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由
211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
9．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】
若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
10．已知实数a b 、满足0ab >，则“11
a b
<成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由
11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若
11
a b
< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >， 0ab >Q ，110b a a b ab
-∴
-=<， 即
11
a b
<成立， ∴“
11
a b <成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直
观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
11．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则()C A B ⋃⋃=（ ） A ．∅ B ．{}1,2,3,4
C ．{}2,3,4
D ．{}0,1,2,3,4
【答案】C 【解析】 【分析】
先求C A ⋃，再根据并集定义求结果. 【详解】
因为{}3,4C A ⋃=，所以(){}2,3,4C A B ⋃⋃=，选C. 【点睛】
本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.
12．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4
x π
=
”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001
,2x x x ∃∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x ∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】 对于①，当4
x π
=
时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4
x k k ππ=+
∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4
x π
=
”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以
5b =，
所以函数2
()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001
,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+<R ”，所以③不正确； 故错误说法的个数为2. 故选：C.
【点睛】
本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
13．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）． A ．{|20}x x -<< B ．{|20}x x -≤≤ C ．{|20}x x x <->或 D ．{|20}x x x ≤-≥或
【答案】C 【解析】 【分析】
解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案． 【详解】
∵全集U=R ，2
{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}， 故选C ． 【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
14．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
15．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题 又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点 ∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题； 故p 是q 的必要不充分条件 故选B
16．已知命题p ：∀x ∈R ，x+
1
x
≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=，则下列命
题中为真命题的是 ( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧(⌝q )
C ．(⌝p )∧(⌝q )
D ．(⌝p )∧q
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假. 【详解】
对于命题p ：当x ≤0时，x+
1
x
≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；
对于命题q ：当x 0=
4
π
时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题． 故答案为D. 【点睛】
(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
17．已知集合{
}|3x
M y y ==，{|N x y ==
，则M N =I （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}|3
{|0}x
M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ==
=≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
18．已知集合{}
2
60A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ）
A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C 【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
6023A x x x x x =--≤=-≤≤，
(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
19．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3(3,)2
-- B ．3(3,)2
-
C ．3(1,)2
D ．3(,3)2
【答案】D 【解析】
试题分析：集合()(){}
{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合
，所以
3|32A B x x ⎧⎫
⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D.
考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
20．对于非零向量，，“”是“//a b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
不一定有
，若
，则一定有//a b .
考点：判断必要性和充分性.。