2025数学大一轮复习讲义人教A版 第二章 §2.2 函数的单调性与最值

函数.
3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝f1x 的单调性 相反.
4.复合函数的单调性：同增异减.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增.( × )
命题点3 解函数不等式 例5 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是__[－__1_,_1_) _.
－2≤a＋1≤2，
依题意得－2≤2a≤2， a＋1>2a
⇒－1≤a<1.
所以实数a的取值范围是[－1,1).
命题点4 求参数的取值范围
3a－1x＋4a，x<1，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
方法二 导数法 f′(x)＝ax′x－x1－－1a2xx－1′＝ax－x－11－2 ax＝－x－a12. 故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
例 6 (2024·恩施模拟)已知函数 f(x)＝x2－ax＋6，x≥1
满足：对任
意 x1，x2∈R，当 x1≠x2 时，都有fxx11－－fx2x2>0 成立，则实数 a 的取值范围是
A.[2，＋∞)
B.13，2
√C.13，1
D.[1,2]
对任意 x1，x2∈R，当 x1≠x2 时，都有fxx11－－xf2x2>0 成立，
√A.y＝－2x＋1
C.y＝ x
B.y＝x2＋1 D.y＝2x
y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝ x 在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误.
自主诊断
3.(2023·宜春统考)函数 y＝－x＋1 1在区间[1,2]上的最大值为
√A.－13
B.－12
C.－1
D.不存在
y＝－x＋1 1在(－1，＋∞)上单调递增，则 y＝－x＋1 1在区间[1,2]上单调 递增， 所以 ymax＝－2＋1 1＝－13.
自主诊断
4.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)> f 13的x的取值 范围是__12_，__32___.
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝log1 (2x2 3x 2)的单调递增区间为
2
__－__∞__，__－__12_ _.
令t＝2x2－3x－2>0， 解得 x>2 或 x<－12， 则 f(x)的定义域为－∞，－12∪(2，＋∞)，
由f(t)＝log 1t 在(0，＋∞)上单调递减，
在它的定义域上单调递增时， 义域上单调递减时，我们就称它是
我们就称它是增函数
减函数
知识梳理
增函数
减函数
图象 描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
知识梳理
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ，那么就说函数y＝ f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
知识梳理
2.函数的最值
前提 条件 结论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1)∀x∈D，都有 f(x)≤M ； (2)∃x0∈D，使得__f(_x_0)_＝__M__
(1)∀x∈D，都有 f(x)≥M ； (2)∃x0∈D，使得__f(_x_0)_＝__M__
M是函数y＝f(x)的最大值
则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2，
则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
(2)若函数 f(x)＝x＋x－a－1 3在(a，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为 ___[1_,_2_) __.
f(x)＝x＋x－a－1 3＝x－1x－＋1a－2＝1＋ax－－12， ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴aa≥ －12<0， ⇒1≤a<2.
2
根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减 区间，即为f(x)的单调递增区间， 再结合 f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为－∞，－12.
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例 3 (2023·湘潭统考)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足：对任意的 x1，x2∈
M是函数y＝f(x)的最小值
常用结论
1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有
fx1－fx2 x1－x2
>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔
f(x)在区间I上单调递增(减).
2.在公共定义 域 内 ， 增 函 数 ＋ 增 函 数 ＝ 增 函 数 ， 减 函 数 ＋ 减 函 数 ＝ 减
微拓展
求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函 数分离成一个常数和一个分式和的形式.
(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3).
(×)
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值.
(√ ) (4)函数y＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
自主诊断
2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)＝l－n2xx＋2，1x，<0x，≥0， 则不等式 f(x＋2)<f(x2
＋2x)的解集是
A.(－2,1)
B.(0,1)
√C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(1，＋∞)
lnx＋1，x≥0，
由函数 f(x)＝－2x2，x<0
的图象(图略)可得 f(x)在 R 上是增函数，
第二章
§2.2 函数的单调性与最值
课标要求
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值， 理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)， 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那 那么就称函数f(x)在区间I上单 么就称函数f(x)在区间I上单调递 定义 调递增，特别地，当函数f(x) 减，特别地，当函数f(x)在它的定
∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， ∴2x－1≥0，即 x≥12， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， ∴2x－1<13，即 x<23，则 x 的取值范围为12，23.
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第二部分
探究核心题型
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是
对于 C，(换元法)设 t＝ x－1，则 x＝t2＋1，且 t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函 数的值域为185，＋∞.
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝ x＋1与 y＝ x－1在[1，＋∞)上均单调递增， ∴y＝ x＋1＋ x－1在[1，＋∞)上为增函数， ∴当 x＝1 时，ymin＝ 2， 即函数的值域为[ 2，＋∞).
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是
√A.当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)
B.函数 y＝2xx－＋31的值域为 R
√C.函数 y＝2x－ x－1的值域为185，＋∞
√D.函数 y＝ x＋1＋ x－1的值域为[ 2，＋∞)
对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可 得函数的值域为[2,6). 对于 B，(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋ x－7 3，显然x－7 3≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
思维升华
确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为
A.－∞，12
√B.12，1
C.[1，＋∞)
D.－∞，12∪[1，＋∞)
g(x)＝x·|x－1|＋1 x2－x＋1，x≥1，
＝－x2＋x＋1，x<1， 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为12，1.
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课时精练
知识过关
一、单项选择题 1.(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是
A.y＝－x2＋1
√B.y＝ x
C.y＝1x
D.y＝3－x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意； y＝ x是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故 B 符 合题意； y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故 C 不 符合题意； y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意.
(－∞，0](x1≠x2)，有fxx11－－fx2x2<0，则
√A.f(－2)<f(3)<f(4)
B.f(－2)>f(3)>f(4)
C.f(3)<f(4)<f(－2)
D.f(4)<f(－2)<f(3)
因为对任意的 x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有fxx11－－xf2x2<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4).
命题点2 求函数的最值 例 4 (2023·四川外国语大学附中模拟)函数 f(x)＝x－2x＋1 在[1,4]上的值域为
A.1，92
B.[0,1]
√C.0，92
D.
2，92
由 y＝x 在[1,4]上单调递增，且 y＝2x在[1,4]上单调递减， 可得 f(x)＝x－2x＋1 在[1,4]上单调递增， 又 f(1)＝0，f(4)＝92， 故值域为0，92.
命题点2 利用定义证明函数的单调性 例 2 试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1,1)上的单调性.
方法一 定义法 设－1<x1<x2<1， 因为 f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， 所以 f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝x1a－x12－xx2－1 1， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
3a－1x＋4a，x<1，
所以函数 f(x)＝x2－ax＋6，x≥1
在 R 上是增函数，
3a－1>0， 所以a2≤1，
3a－1＋4a≤1－a＋6，
解得13<a≤1，
所以实数 a 的取值范围是13，1.
思维升华
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的 单调性解决. (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系， 应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方 程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函 数，要注意衔接点的取值.
√A.y＝x－1x
B.y＝|x2－2x|
√C.y＝2x＋2cos x
√D.y＝lg(x＋1)
∵y＝x 与 y＝－1x在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－1x在(0，＋∞)上单 调递增，故 A 正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确.