首届全国大学生数学竞赛决赛(数学类2010)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、 填空题（共8分，每空2分.）
(1) 设0βα>>，则2
22
x
x dx e e x βα--+∞-⎰
=_____________.
(2) 若关于x 的方程2
11(0)k x k x
+
=>在区间(0,)
+∞内有惟一实数解，则常数k =_____________.
(3) 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续.由积分中值公式有
()()()x a
f t dt x a f ξ=-⎰
()a x b ξ≤≤<.若导数()f a +'存在且非零，则lim x a
a
x a
ξ+
→--的值等于_____________.
(4) 设()6
a b c ⨯=
，则(
)
()()()a b b c a c +⨯++
=_____________.
二、（10分）设()f x 在(1,1)-内有定义，在0x =处可导，且(0)0f =. 证明:
21
(0)lim
2n
n k k f f n →∞
='⎛⎫
=
⎪⎝⎭
∑
.
三、（12分） 设()f x 在[0,)∞上一致连续，且对于固定的[0,)x ∈∞,当自然数n →∞时
()0f x n +→.证明: 函数序列{()1,2,}f x n n += ：在[0,1]上一致收敛于0.
四、（12分） 设22
{(,):1}D x y x y =+<，(,)f x y 在D 内连续，(,)g x y 在D 内连续有界，且满足条件： (1) 当2
2
1x y +→时，(,)f x y →+∞；
(2) 在D 中f 与g 有二阶偏导数， 2
2
22
f
f f e x
y
∂∂+
=∂∂,
2
2
2
2
g
g g e x
y
∂∂+
≥∂∂.
证明： (,)(,)f x y g x y ≥ 在D 内处处成立.
五、（10分）设 {(,):01;0R x y x y =≤
≤
≤≤
{(,):01
;01
R x y x y εεε=≤≤-≤≤-.
考虑积分
1R
dxdy
I xy =
-⎰⎰
，
1R dxdy
I xy
εε=
-⎰⎰， 定义
l i m I I ε
ε+
→=.
（1） 证明
2
1
1
n I n
∞
==
∑；
（2）利用变量替换：1()21()2u x y v y x ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪
⎩计算积分I 的值，并由此推出22
1
16
n n π
∞
==
∑
.
六、
（13分） 已知两直线的方程：:L x y z ==，:11
x y z b L a -'==.（1）问：参数,a b 满
足什么条件时，L 与L '是异面直线？
（2）当L 与L '不重合时，求L '绕L 旋转所生成的旋转面π的方程，并指出曲面π的类
型.
七、(20分) 设,A B 均为n 阶半正定实对称矩阵，且满足1rank n A n -≤≤ . 证明: 存在实可逆矩阵C 使得T T C AC C BC 和均为对角阵.
八、(15分) 设V 是复数域C 上的n 维线性空间，:j f V →C (1,2j =) 是非零的线性函数, 且线性无关.
证明: 任意的V α∈都可表为12ααα=+,使得
112
()()f f αα
=，
221()()f f αα=.。