【试题解析】福建省南安一中2012届高三数学上学期期末试题试题 理

【试题解析】福建省南安一中2012届高三数学上学期期末试题
试题 理
本试卷分第一部分和第二部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（共70分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示为( )
A ．{}2
B ．{}4,6
C ．{}1,3,5
D ．{}4,6,7,8 2．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．75
4．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知a ，b ，c 表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ． 其中正确的命题为（ ）
A ．①②
B ．②③ C. ①④ D ．③④
7．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两顶点为(,0),(0,)A a B b ，且左焦点为F ，FAB ∆是以角B
()f x
为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）
A ．
312- B ．512- C. 154
+ D ．31
4+ 10．如果函数()2
2f x x a x =+--()0a >没有零点，则a 的取值范围为（ ）
A. ()0,1
B. ()
0,1(
)
2,+∞ C. ()
0,1()2,+∞ D.
()
0,2()2,+∞
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．设i i z (1+=是虚数单位），则
=+z z
22
． 12．双曲线x y 2
2
2-=8的实轴长是 ．
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
14．设[)[]
⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=22,1,11,0,)(e x x
x x x f （其中e 为自然对数的底数）
， 则
⎰
2
)(e dx x f 的值为 ．
15．若[0,]απ∈，
[,]44
ππ
β∈-，R λ∈，满足：
3()cos 202πααλ---=，34sin cos 0βββλ++=，则cos()2
α
β+的值
为 ．
第二部分（共80分）
三、解答题(本大题有6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分13分）
（Ⅱ）设3
12345
2n n a a a a S n =++++
+，求满足不等式211
1284
n n S S <<的所有正整数n 的值.
18．（本小题满分13分）
如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且111A P A B λ=；z z x x x x k k
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM PN ⊥；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分13分）
已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率12e =
，且点3
(1,)2
在该椭圆
上；
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆
C 相交于A ，B 两点，若AOB ∆的面积为62
7
，求圆心在原点，且与直线l 相切的圆的方程． 20．（本小题满分14分）
已知函数2
()ln 20)f x a x a x
=
+-> (. 求实数b 的取值范围.
21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵33A c d ⎛⎫=
⎪⎝⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为11α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，属于特征
值1的一个特征向量为32β⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
；
数 学（理）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．A ． 5．C ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．D ． 10．C ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．1 12． 4 13．π+
33
14． 37 15． 22
三、解答题(本大题有6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题满分13分）
（2）
2162sin )(+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πωx x f 的一条对称轴方程为.3π .,2632z k k ∈+=
+
⋅
∴ππ
ππω…………………9分
.2
1
23+=∴k ω…………………11分
又20<<ω，∴.131
<<-k
.2
1
,0=∴=∴ωk …………………13分
17．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足13a =，*133()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足3n
n n
a b =； （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列；
18．（本小题满分13分）
如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且111A P A B λ=；
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM PN ⊥；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．
证明：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A 1（0，0，1）， B 1（1，0，1）， M （0，1，
21），N （2
1
,21，0） )0,0,()0,0,1(111λλλ===B A P A ，)1
,0,(11λ=+=P A AA AP ，)1,2
1
,21(--=λPN
A 1
C 1
B 1
M
B
A
P
x
y
z
（1）∵)21,1,0(=AM ，∴02
1
210=-+
=•PN AM ∴无论λ取何值，AM ⊥PN ………………………………4分 （2）∵=m （0，0，1）是平面ABC 的一个法向量。

∴方程（*）无解
∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º………………………13分 19．（本小题满分13分）
已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率12e =，且点3
(1,)2
在该椭圆上；
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆
C 相交于A ，B 两点，若AOB ∆的面积为62
，求圆心在原点，且与直线l 相切的圆的方程． 解：（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意可得1
2
c e a =
=， 又2
2
2
2
23,4a b c b a =+=
所以，因为椭圆C 经过3(1,)2
， C
N
代入椭圆方程有
2
291
4134
a
a +=，解得
2
a =，所以
即
222
2
12112(1)
||134k k AB k k ++=+=+,又圆O 的半径
2
2
11r k
k
=
=
++所以2221112(1)6||162
||22341AOB
k k k S AB r k k
∆2++=⋅⋅=⋅==++化简，得4
2
2
2
17180,(1)(1718)0,k k k k +-=-+=即 解得2
2
12181,17k k ==-
（舍）,所以，22
1r k
==+故圆O 的方程为：
221
2
x y +=
． （2）解法二：设直线l 的方程为1x ty =-，
（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞，()2(1)f x a >-恒成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R ；当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点， 求实数b 的取值范围.
解：（1）直线2y x =+的斜率为1.
函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
(2) 2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a
<<.
所以a 的取值范围是2
(0, )e
. ………………………………9分 (3)依题得2()ln 2g x x x b x =++--，则22
2()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.
所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.
又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,
(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩
≥≥ 解得211b e e
<+-≤. 所以b 的取值范围是2(1,
1]e e +-. ………………………………………14分
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵33A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为11α⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于特征
（Ⅱ）,064
233det ≠==A ∴矩阵A 可逆，…………………………5分
121321132A -⎛⎫- ⎪∴= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
………………………………7分k k s s **55**u u （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为2sin()42π
ρθ+=，圆M 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩
（其中θ为参数）.（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M 上的点到直线的距离的最小值.
（Ⅰ）224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πθρ （3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲
设函数()|1|||f x x x a =-+-；
（Ⅰ）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）如果关于x 的不等式()2f x ≤有解，求a 的取值范围．
2分
③ 当1≥x 时，不等式化为,311≥+++-x x 即.2
3≥x 所以，原不等式的解为.2
3≥x ……3分 综上，原不等式的解为.,2323,⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞- ……………………4分 （Ⅱ）因为关于x 的不等式2)(≤x f 有解，所以，.2)(min ≤x f ………………5分。