《圆周角》 讲义

《圆周角》讲义
一、引入
在圆的世界里，有许多有趣而重要的概念，圆周角就是其中之一。

当我们在圆中研究角度关系时，圆周角起着关键的作用。

那么，什么是圆周角呢？
想象一下，在一个圆中，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，就是圆周角。

为了更好地理解圆周角，让我们一起来深入探究它的性质和特点。

二、圆周角的定义
圆周角的定义其实很简单，如前面所说，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

需要注意的是，这里的顶点必须在圆上，两边还得和圆相交，这两个条件缺一不可。

比如，在圆 O 中，∠AOB 是圆心角，而∠ACB 就是圆周角，因为点 C 在圆上，且 CA 和 CB 都与圆相交。

三、圆周角的度量
圆周角的度数与它所对的弧的度数有着密切的关系。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

举个例子，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆心角是∠AOB，圆周角是
∠ACB，那么∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

这是一个非常重要的性质，它为我们解决很多与圆相关的角度问题提供了有力的工具。

四、圆周角定理的推论
推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

为什么会有这样的推论呢？
当圆周角的一边是圆的直径时，比如∠ACB，因为圆心角∠AOB
是 180°，所以圆周角∠ACB 就是 90°。

反过来，如果一个圆周角是 90°，比如∠ACB ＝ 90°，那么弦 AB 就是直径。

推论 2：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

这个推论很好理解，如果∠ACB ＝∠ADB，那么它们所对的弧 AB 和弧 CD 就相等。

五、圆周角定理的应用
圆周角定理在解决实际问题中有着广泛的应用。

比如，在测量一些无法直接测量的角度时，我们可以利用圆周角的性质来进行间接测量。

再比如，在证明一些几何问题中，通过圆周角定理及其推论，可以找到角度之间的关系，从而得出结论。

六、例题讲解
例 1：如图，在圆 O 中，弦 AB 所对的圆周角分别是∠ACB 和
∠ADB，若圆心角∠AOB ＝ 100°，求∠ACB 和∠ADB 的度数。

解：因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以∠ACB ＝
1/2∠AOB ＝ 50°。

因为圆内接四边形的对角互补，所以∠ADB ＝ 180° 50°＝ 130°。

例 2：已知圆 O 的直径 AB 为 10，弦 AC 为 6，求∠ACB 的度数。

解：因为 AB 是直径，所以∠ACB ＝ 90°。

根据勾股定理，BC ＝√（AB² AC²) ＝√（10² 6²) ＝ 8。

七、练习巩固
1、如图，在圆 O 中，∠AOB ＝ 80°，求∠ACB 的度数。

2、圆 O 的直径为 12，弦 BC ＝6√3，求∠BOC 的度数和圆周角∠BAC 的度数。

八、总结
通过以上的学习，我们对圆周角有了全面的认识。

圆周角的定义、性质、定理的推论以及它们的应用，都是我们在圆的世界中探索和解决问题的重要工具。

希望同学们能够熟练掌握圆周角的相关知识，在今后的学习和生活中，能够灵活运用，解决更多与圆有关的问题。