2020届云南省曲靖市第二中学高三第一次模拟考试数学(文)试题

2020届云南省曲靖市第二中学高三第一次模拟考试数学（文）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数z 1i i
=-(i 是虚数单位)，则|z |=（ ）
A ．12
B ．2
C ．1 D
2．已知集合{}0,1,2A =，集合102x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,2 C ．{}1 D ．{}2 3．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC ，，满足10051006OC a OA a OB =+，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）
A ．1005
B ．1006
C ．2010
D ．2012 5．已知向量m =(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-，且m ⊥n ，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）
A ．12
B ．2
C ．
D ．﹣2 6．执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,2)(2,5]-∞⋃
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(,2)(2,)-∞⋃+∞
D ．(,1)(1,5]-∞-⋃
7．已知m ∈R ，
“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
8．已知某班学生的数学成绩x (单位:分)与物理成绩y (单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:5511 475?320i
i i i x y ====∑∑，，设其线
性回归方程为:ˆˆ 0.4y
x a =+.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（ ）
A ．66
B ．68
C ．70
D ．72
9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ）
A ．18
B ．10
C ．-14
D ．-22
10．函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
的图象大致是( ) A ． B ．
C ．
D ．
11．已知12,F F 是双曲线22
221()00a x y a b
b >-=>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212||||MF F F =，且
12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于
A ．54
B ．53 C
D ．52
12．定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，不等式23(2cos )2sin 22
x f x +>的解集为( ) A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
二、填空题
13．已知实数x 、y 满足50
{30
x y x x y -+≥≤+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________．
14．已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离
大于的概率为 .
15．平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，
BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.
三、双空题
16．已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.
四、解答题
17．已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅.
（1）求f (x )的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sinB sinC =
=，若
f (A )=1，求△ABC 的周长.
18．某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组
[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.
(1)求正整数a ，b ，N 的值；
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是
多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．
19．如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上(如图1)，且BE =BF ，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ′(如图2).
（1）求证：A ′D ⊥EF ；
（2）BF 13
=BC 时，求点A ′到平面DEF 的距离.
20．已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与
半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()
M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB
面积的最大值及此时直线l 的方程.
21．设函数()()2ln f x x ax x a R =-++∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，求实数a 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；
（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2
OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．
23．已知函数()12f x x x =--+.
（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.
参考答案1．B
【分析】
利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算. 【详解】
z
()
()()
1111 111222
i i
i i
i
i i i
+-+
====-+ --+
.
所以|z|
2
==.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．C
【分析】
由分式不等式的解法可求得集合B，根据交集定义可求得结果.
【详解】
由
1
2
x
x
-
≤
-
得：
()()
120
20
x x
x
⎧--≤
⎨
-≠
⎩
，解得：12
x
≤<，{}
12
B x x
∴=≤<，{}1
A B
∴⋂=.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题.
3．D
【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】
A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
4．A
【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.
【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ；
∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+，
所以A ，B ，C 三点共线；
∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，
∴S 2010()
12010201020101100522
a a +⨯===. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
5．B
【分析】
根据m ⊥n 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】
因为向量m =(1，cosθ)，n =(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-
因为m ⊥n ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题. 6．D
【解析】
分析：先根据程序框图得()f x 解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果. 详解：因为2,2()=23,251,5x x f x x x x x ⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩
，所以由()1f a >得25225112311a a a a a a >⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或 所以11225115a a a a a <-<≤<≤∴<-<≤或或或，
因此选D.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
7．B
【解析】
试题分析：由题意得，由函数
有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．
考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.
8．B
【分析】 由题意求出x ､y ，代入线性回归方程求得a ，再计算x =105时y 的值.
【详解】 由题意知，511 5i x ==∑x i 15=⨯475=95，511 5i y ==∑y i 15
=⨯320=64， 代入线性回归方程y =0.4x a +中，得64=0.4×
95a +，解a =26； 所以线性回归方程为y =0.4x +26，
当x =105时，y =0.4×
105+26=68， 即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题. 9．D
【分析】
由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得.
【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，
由求和公式可得()2
12121a q S q -==-①，
()3
13161a q S q -==--②
②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，
()()()
55
152********a q S q ⎡⎤----⎣
⎦∴===---- 故选D ．
【点睛】
本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ．
10．D
【解析】
∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，
所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ， 函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k （k∈Z），
所以x=±时函数取极值，排除C ， 故选D ．
点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法． 11．B 【解析】
依题设，2122MF F F c ==， ∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2a
MF F e c
∠=
=， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，
∴()2
24b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53
e =
. 点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件
2122MF F F c ==和双曲线的定义可得422b c a -=，即2b a c =+在三角形中寻找等量关
系()2
24b a c =+，运用双曲线的a,b,c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率
53
e =.
12．D 【分析】
构造函数()()11
22
g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin
022
x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】 令11()()22g x f x x =-
-，则1
()'()0'2
g x f x =->，
()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11
(1)(1)022
g f =-
-=， 1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23
=(2cos )2sin 22
x f x +-，
∴23
(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到
2cos 1x >，又
3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭
故选D 【点睛】
本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题 13．3- 【解析】
满足条件的点(,)x y 的可行域如下：
由图可知，目标函数2z x y =+在点(3,3)-处取到最小值-3 14．
1
4
【详解】
试题分析：作出示意图，由题意P 到直线2x y +=的距离大于22，则P 在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为
考点：几何概型 15．3π 【分析】
根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积. 【详解】
因为平面A′BD ⊥平面BCD ， BD ⊥CD ， 所以CD ⊥平面ABD ，
∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ， 所以BA ⊥AC ，
所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形， 由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，
所以BC 的中点就是球心，所以BC =2
所以球的表面积为：2
42
π⋅=3π. 故答案为：3π. 【点睛】
本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
16．8 (4,2)-
【分析】 x +2y =xy 等价于
21
x y
+=1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围. 【详解】
∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴
21
x y
+=1，
∴121x y =
+≥ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号， ∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)， ∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2. 故答案为：8；(﹣4，2) 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.
17．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
.（2）4+【分析】
（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f (x )=sin (2x 6π+)1
2
+，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.
（2）由题意可得sin (2A 6
π+
)1
2=，结合范围0<A <π，可求A 的值，由正弦定理利用sinB =3sinC ，
可得b =3c ，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b 的值，从而可求三角形的周长. 【详解】
（1）因为a =(sinx ，cosx)，b =( ，cosx )，
f (x )a =•3b =
sinxcosx +cos 2x =
2x 12+cos 2x 12+=sin (2x 6π+)12+，
由2
π
-
+2kπ≤2x 6
2
π
π
+
≤
+2kπ，k ∈Z ，可得：3
π
-
+kπ≤x 6
π
≤
+kπ，k ∈Z ，
可得f (x )的单调递增区间是：[3
π
-+kπ，
6
π
+kπ]，k ∈Z ， （2）由题意可得：sin (2A 6
π+)12=，
又0<A <π， 所以
6
π
<2A 136
6
π
π
+
<
， 所以2A 566ππ
+=，解得A 3
π=，
设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，
所以a =BC =
又sinB =3sinC ，可得b =3c ， 故7=9c 2+c 2﹣3c 2，解得c =1，
所以b =3，可得△ABC 的周长为4. 【点睛】
本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815
. 【分析】
⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得25a =，100b =，250N = ⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数
⑶利用列举法列出所有的组合方式共有15种，其中满足条件的组合有8种，利用古典概型概率公式求得结果 【详解】
(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯
= 总人数25
2500.025
N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯
=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为100
64150
⨯=，
所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．
(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，
4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：
()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15
种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，
()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．
所以恰有1人年龄在第3组的概率为8
15
. 【点睛】
本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．
19．（1）证明见解析.（2 【分析】
（1）推导出A′E ⊥A′D ，A′F ⊥A′D ，由线面垂直的判定定理得到A′D ⊥平面A′EF ，由此得证.
（2）设点A′到平面DEF 的距离为d ，由V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ，能求出点A′到平面DEF 的距离. 【详解】
（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得： A′E ⊥A′D ，A′F ⊥A′D ， ∵A′E ∩A′F =A′， ∴A′D ⊥平面A′EF ，
∵EF ⊂平面A′E F ，∴A′D ⊥EF . （2）∵1
13
BE BF BC ==
=，
∴23A E A F EF A D '''====，，
∴'A EF
S
=DE =DF =52
DEF
S =，
设点A′到平面DEF 的距离为d ， ∵V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ， ∴'11
'3
3
DEF
A EF
d S
A D S ⨯⨯=⨯⨯，
解得d =
.
∴点A′到平面DEF 的距离为5
. 【点睛】
本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）22143x y +=.（2）AOB ，此时直线l 的方程为x y =.
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；
（2）设直线l 的方程为x =ty 与椭圆22
143
x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线
与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程. 【详解】
（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4，
所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆， 则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，
所以曲线C 的方程为22
143
x y +=；
（2）设直线l 的方程为x =ty 22
143
x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣ty ﹣3=0，
则y 1+y
2=
y 1y 22334t =-+， 则S △AOB 12=
|OM |•|y 1﹣y 2
|2=
2
=
•=
u =，则u ≥1
，上式可化为26633u u u u
=≤=++， 当且仅当
u =t
时等号成立， 因此△AOB
，此时直线l 的方程为x
y 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.
21．（1）单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；（2）ln 31,33⎛
⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】
（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，
()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由()2ln 0f x x ax x =-++=，
可得ln x a x x =-
，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln x g x x x =-，利用导数可得 ()g x 的减区间为1,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，增区间为(]1,3，求得函数的极值与最值，从而可得结果. 【详解】
（1）因为()()2
ln f x x ax x a =-++∈R ，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+，
当1a =-时，()2121
21x x f x x x x
--+=--+='，
令()0f x '=，得1
2
x =
或1x =-（舍去）. 当102x <<时，()0f x '>，当1
2
x >时，()0f x '<，
所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. （2）令()2
ln 0f x x ax x =-++=，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，ln x a x x =-， 令()ln x g x x x =-
，其中1,33x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 则
()2
22
1
ln ln 11x x x x x g x x x ⋅-+-=-=
'，令()0g x '=，得=1x ， 当1
13
x ≤<时，()0g x '<，当13x <≤时，()0g x '>， ()g x ∴的单调递减区间为1,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，单调递增区间为(]1,3，
()()min 11g x g ∴==，
又113ln333g ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，()ln3333g =-，且1ln33ln3333
+>-， 由于函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，
故实数a 的取值范围是ln31,33⎛⎤
- ⎥⎝
⎦
. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
22．（1）2ρ=,4sin cos ρθθ
=+；（2）8
12sin ρθ=
+. 【解析】
试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ
=⎧⎨
=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124
,2sin cos ρρθθ
=
=+，又
2
OP OR OQ =⋅，即可得出.
试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.
(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124
,2sin cos ρρθθ
=
=+
又因为2
OP OR OQ =⋅，即 2
12ρρρ=⋅
()21221612
sin cos ρρρθθ∴==⨯+，
.
23．(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析：
(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则
13m -≤，实数m 的最大值4M =.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知
()
()()2
2
23313a
b a b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).
试题解析：
(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知
()
()()2
2
23313a
b a b ++≥+，
所以，()2
316a b +≤，
因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).。