2019-2020学年数学选修2-3新素养人教B版同步讲义：1.计数原理章末综合检测(一) Wor

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章末综合检测(一)
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ）
A．10种B．20种
C．25种D．32种
解析:选D.每位同学都有两种选择,因此，共有25＝32种不同的报名方法．
2．（x＋2)6的展开式中x3的系数是( )
A．20 B．40
C．80 D．160
解析：选D.法一：设含x3的为第k＋1项，
则T k＋1＝C k，6x6－k·2k，
令6－k＝3，得k＝3,
故展开式中x3的系数为C错误!×23＝160.
法二:根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x与2的次数和为6，则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可，则展开式中x3的系数为C错误!×23＝160.
3．某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生,且三班至多选1人，则不同选法的种数为（）
A．484 B．472
C．252 D．232
解析：选B.若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取，共有C错误!C错误!＝264种选法．若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C3，12－3C错误!＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．4．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( )
A．16 B．24
C．32 D．48
解析：选C。

圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直
径对应着6个直角三角形，共有C14C错误!＝24个直角三角形．斜三角形的个数为C错误!－C错误! C16＝32个．
5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门,乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种B．48种
C．96种D．192种
解析：选C。

不同选修方案的种数为C错误!×C错误!×C错误!＝96。

6．设（x2＋1)(2x＋1）9＝a0＋a1(x＋2）＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2）11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A.令x＝－1，即得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
7．（x2＋2)(错误!－1）5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选D.常数项由分别来自x2＋2，(1
x2
－1）5的项组成，(错误!－1)5的展开式的通项为
T r
＋1
＝C错误!(错误!）5－r·（－1)r，
则第一个因式取2，第二个因式取（－1)5，
得2×（－1）5＝－2；
第一个因式取x2，第二个因式取错误!，
得1×C错误!（－1)4＝5，因此,（x2＋2）（错误!－1)5的展开式的常数项是5＋（－2)＝3.
8．（x＋y)(2x－y）5的展开式中x3y3的系数为（)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
解析：选C.当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C错误!（2x）2（－y）3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C错误!(2x）3（－y)2，所以x3y3的系数为C2，5×23－C35×22＝10×（8－4)＝40。

9．在制作飞机的某一零件时,要先后实施6个工序．工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有（)
A．34种B．48种
C．96种D．108种
解析：选C.由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体（有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A错误!种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×2A 4，
＝96种．故选C。

4
10．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（）
A．96 B．114
C．128 D．136
解析：选B.由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C错误!＝136，分配名额相等有22种（可以逐个数），则满足题意的方法有136－22＝114种．
11．从集合{1，2,3,…,10}中,选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有（)
A．10个B．16个
C．20个D．32个
解析：选D。

因为这10个数中两数之和为11的共有5组，即(1，10)，（2，9)，（3，8）,（4，7），（5，6），所以从10个数中任取5个数组成一个子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集个数共有C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!＝32个．
12．若（x＋2＋m)9＝a0＋a1（x＋1）＋a2(x＋1)2＋…＋a9（x＋1）9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为（)
A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
解析:选A.令x＝0，
得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2＋m)9，
令x＝－2,得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，
所以有(2＋m)9m9＝39,
即m2＋2m＝3，
解得m＝1或－3。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．
解析：分两类解决：
第1类，甲排在第一位，共有A错误!＝24种排法；
第2类，甲排在第二位，共有A错误!·A错误!＝18种排法．
由分类加法计数原理可知，节目演出顺序的编排方案共有24＋18＝42种．
答案：42
14．如果(3x2－错误!）n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为________．解析:展开式通项T r＋1＝C错误!(3x2)n－r（－错误!)r＝C错误!·3n－r·（－2）r·x2n－5r.
由题意得2n－5r＝0，n＝错误!r（r＝0，1，2，…，n），故当r＝2时,正整数n有最小值,n 的最小值为5.
答案：5
15．将A,B，C,D四个小球放入编号为1,2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A,B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种．
解析：先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6种放法,再放C，D,
若C，D在同一盒中,只能是第3个盒，1种放法；
若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4种放法．
故共有6×（1＋4)＝30种放法．
答案：30
16．某交通指挥中心电子显示屏上有7盏信号灯排成一排，每盏灯可显示红色或绿色．若每次只显示其中的3盏灯,但相邻的两盏灯不能同时显示，则这个电子显示屏所能显示的信号种数共有________种（用数字作答)．
解析：显示灯的种数共有C3，5＝10种(相当于在4个固定位置的5个空位中选3个空的选法），又因每个显示灯只有两种显示,故共有10×23＝80种信号种数．
答案：80
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知A＝{x｜1〈log2x〈3，x∈N＋｝，B＝｛x｜|x－6|〈3，x∈N＋}．试问：
(1)从集合A和B中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
（2）从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个?
解：A＝｛3,4,5，6，7｝，B＝｛4，5，6,7,8}．
（1）从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25个，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．(2）A∪B＝{3，4，5，6,7,8｝，C错误!＝20.
18．(本小题满分12分）设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值．
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6。

解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1）10＝1。

（2)a6即为含x6项的系数,T r＋1＝C错误!（2x）10－r·（－1）r＝C错误!（－1）r210－r·x10－r,所以当r＝4时，T5＝C4，10（－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440。

19．(本小题满分12分)5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下,有多少种站法?
（1)女生不站在两端；
（2)女生相邻;
（3）女生不相邻；
（4）站成两排，前排3人，后排4人．
解：(1）法一：先考虑两端站的人,再考虑其他位置，有A25·A错误!＝2 400 种站法．
法二:先考虑女生应站的位置，再考虑其他元素，有A错误!·A错误!＝2 400种站法．
（2)将相邻元素捆绑,当作一个元素，与其他元素一起全排列,有A错误!·A错误!＝1 440种站法．
（3)分两步：第一步,先排男生，有A错误!种站法；
第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空隙(包括两端)中,有A错误!种站法．
由分步乘法计数原理，知有A错误!·A错误!＝3 600种站法．
（4）无论分成多少排,实质都是在七个不同位置上排七个不同元素,因此，共有A7，7＝5 040种站法．
20．(本小题满分12分）已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于错误!错误!的展开式的常数项,而（a2＋1）n展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．
解：由错误!错误!，得
T r
＝C r5错误!错误!错误!错误!＝错误!错误!·C错误!·x错误!。

＋1
令T r＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4,所以常数项T5＝C错误!×错误!＝16.
又（a2＋1）n展开式的各项系数之和等于2n。

由题意得2n＝16,所以n＝4。

由二项式系数的性质知,（a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,
所以C2，4a4＝54，所以a＝±错误!。

21．（本小题满分12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数．
（1）求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
(2)试求任意5个正整数（可相同）的再生数的个数．
解：（1）1，2,3，4的再生数的个数为A错误!＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234。

（2)需要考查5个数中相同数的个数．若5个数各不相同，有A55＝120个；若有2个数相同，则有错误!＝60个；若有3个数相同，则有错误!＝20个；若有4个数相同，则有错误!＝5个;若5个数全相同,则有1个．
22．(本小题满分12分）6个人坐在一排10个座位上，则(用数字表示)：
（1）空位不相邻的坐法有多少种?
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
解:（1)第一步：6人先坐在6个座位上并排好顺序有A错误!＝720种，第二步：将4个空位插入有C47＝35种,所以空位不相邻的坐法共有A6，6×C错误!＝720×35＝25 200种．(2）第一步：6人先坐在6个座位上并排好顺序有A错误!＝720种，第二步：先将3个空位捆绑当作一个空位,再将产生的“两个”空位采用插空法插入有A错误!＝42种，所以4个空位只有3个相邻的坐法有A错误!×A错误!＝720×42＝30 240种．。