2020年度大学高等数学(下)测试题及答案2

高等数学（下）试题二
一、
填空题（18分） 1 =-+→→11lim 00
xy xy y x 。

2 由二重积分的几何意义得到
=⎰⎰≤+1
43
2
22
2y x d σ 。

3 设L 为连接两点)1,0(),0,1(的直线段，则=+⎰L
ds y x )( 。

4设{}
)cos(),cos(,2
xz xy e A xy = ，则=A div 。

5 据欧拉公式有=πi e 。

6 微分方程02'
'
'=-+y y y 的通解为=y 。

二、 选择题（18分） 1设f z y x f z ),,,(=可微，则=∂∂x
z
（ ） （A ）
x
f
∂∂ （B ）y
f x
f ∂∂∂∂ （C ）)1(z
f x f ∂∂-∂∂ （D ）)1()(z f x y y f x f ∂∂-∂∂∂∂+∂∂
2 设n 是曲面6322
22=++z y x 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则z
y x u 2286+=在点
P 沿方向n
的方向导数为（ ）
（A ）0 （B ）711 （C ）11
7
（D ）2 。

3 设{
}222:),(a y x y x D ≤+=，则当=a （ ）时，⎰⎰=--D
dxdy y x a π2222 （A ）1 （B ）2 （C ）33 （D ）32
3。

4 如果L 为圆周12
2=+y x ，则
=+⎰
ds y x L
)(22（ ）
（A ）π2- （B ）π2 （C ）π22 （D ）22π 5 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则下列级数中（ ）收敛。

（A ）)001.0(1
+∑∞
=n n u （B ）∑∞
=+1
1000n n u （C ）∑∞
=1n n u （D ）∑
∞
=1
1000n n
u 。

6 微分方程02'
''=-+y y y 的通解是（ ）
（A ）x x e c e c y 221--= （B ）2/21x x e c e c y +=- （C ）2/21x x e c e c y -+= （D ）x x e c e c y 221+=-。

三、 计算与求解（49分） 1 求椭球面122
2
2
=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程。

2 设)(,)(2
πππ<<-+=x x x x f 的傅里叶级数为)sin cos (210nx b nx a a n n n ++∑∞
=，求系数3b 。

3 求微分方程x
xe
y y y 2'
'
'65=+-的通解。

4 求幂级数∑∞
=+12
)3(n n
n x 的收敛区间与收敛半径。

5 计算球面9222=++z y x 与旋转锥面2
228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积。

6 设2sin 233
2
3
+++++=y x y xy x z ，求dz y
z
y x z x z ,,,222∂∂∂∂∂∂∂。

7 计算ds z y I L
⎰
+=
222，其中L 为球面3222=++z y x 与平面y x =相交的圆周。

四、（10分）设)(x f 可微且满足dt x t tf dt t f x x
x
⎰⎰
-+=
)()(，求)(x f 。

五、（5分）证明dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(2
2
-++是某个函数),(y x u 的全微分，并求出),(y x u 。

高等数学试题二解答
一、1 2 2 π12 3
2 4 )sin(2)sin(2xz xz xy y ye xy -- 5 -1 6 x x e c e c 221-+ 。

二、1 、C 2、B 3、C 4、B 5、B 6、B 。

三 1 设切点为()000,,z y x ，则t z y x )2,1,1()2,4,2(000-=t z t y t x =-==
⇒000,4
1
,21 代入曲面方程得到11
2
28112±=⇒=t t ⇒切平面的方程为2112±
=+-z y x 。

2 ⎰⎰⎰-==+=--πππππ
ππππ0
2
33cos 323sin 1sin )(1x xd xdx x nxdx x x b 3
2
3cos 320
=-=πx x 。

3 先求出065'''=+-y y y 的通解x x e c e c y 32211+=，后求特解y*，设x
e b ax x y 2)(*+=，
则[
]
[
]
x
x e
b a x b a ax y e b x b a ax y 22
'
'22
'
42)48(4*,)22(2*++++=+++=，代入得到：
x e x y b a x b a ax 22)12
1
(*1,2122--=⇒-=-=⇒=-+-，所以原方程的通解为
x x x e x x e c e c y 223221)2
1
(+-+=。

4 2413)3()1()3(lim 221-<<-⇒<+=+++=+∞→x x n
x n x n
n n ρ，当4-=x 和2-=x 时级数收敛，所以收敛区间为[]2,4--。

收敛半径为12)
4(2=---=R 。

5 由31cos ,1892
222
2
2
=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=++ϕz z
y x z y x ,因此πϕϕθπ
24sin 23
1
arccos
3
220==⎰
⎰⎰dr r d d V 。

6
()()
dy y y xy dx y x dz y y xy y
z y x x z cos 36233,cos 36,233222222+++++=++=∂∂++=∂∂ y y x y
z
y y x z sin 66,6222-+=∂∂=∂∂∂。

7 由323
22222=+⇒⎩⎨
⎧==++z y y
x z y x 因此ππ632333=⋅===⎰⎰L
L
ds ds I 。

四、⎰⎰⎰⎰-----=+-=-x
x x
x du u f x
du u uf du u f x u x t u dt x t tf 0
00
)()()()()(
)()()()()(1)()(''''0
x f x f x f x f x f dt t f x f x
-=-=⇒--=⇒=-
∴⎰
-
x c x c x f x f x f sin cos )(0)()(21''+=⇒=+⇒，而1)0(,1)0('-==f f x x x f sin cos )(-=⇒。

五
因为x
Q x y y x y P y x x y Q x y y x P ∂∂=+-=∂∂⇒
-=+=cos 2sin 2sin sin 2,cos cos 22
2。