考研数学曲线质心和形心的计算方法分析

考研数学：曲线质心和形心的计算方法分析
来源：文都网校
在考研数学一和数学二的考试大纲中，要求考生掌握一些定积分在物理方面的应用，包括会用定积分计算变力做功、引力、压力、质心和形心等，另外，对于数学一的考生，还要求会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些物理量，包括：计算物体的质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等，其中关于细棒和平面薄片、立体的质心和形心的计算，在一般高等数学教材和复习资料上都有相应的介绍，但对于曲线的质心和形心的计算，一般资料上都没有或很少介绍，有些同学对此感到有些困惑，为了帮助同学们了解这一点，下面文都网校的蔡老师对曲线的质心和形心的计算方法做些介绍，供大家参考。

一、曲线质心和形心的计算方法 1）平面曲线质心和形心计算公式：
①设平面曲线L 的线密度为(,)x y ρ，则L 的质心(,)x y 为：
(,)(,),(,)(,)L
L
L
L
x x y ds y x y ds x y x y ds x y ds
ρρρρ= =⎰⎰⎰⎰； 若密度(,)x y ρ为常数，则得曲线形心坐标为,L
L
L
L
xds yds x y ds ds
= =
⎰⎰⎰⎰。

②以参数方程形式表示的平面曲线的质心和形心计算公式：
若曲线L 的参数方程为()
()()x x t t y y t αβ=⎧ ≤≤⎨=⎩
，则
()[(),(()[(),(x t x t y t y t x t y t x y β
β
ρρ=
=
若密度(,)x y ρ
为常数，则得曲线形心坐标为
((x t y t x y β
β
=
=。

2）空间曲线质心和形心计算公式：
①设空间曲线Γ的线密度为(,,)x y z ρ，则Γ的质心(,,)x y z 为：
(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)x x y z ds y x y z ds z x y z ds x y z x y z ds x y z ds x y z ds
ρρρρρρΓ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
= = =
⎰⎰⎰⎰⎰⎰；
若密度(,,)x y z ρ为常数，则得曲线形心坐标为,,xds yds zds x y z ds ds ds
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
= = =⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

②以参数方程形式表示的空间曲线的质心和形心计算公式：
若曲线Γ的参数方程为()
()()()x x t y y t t z z t αβ=⎧⎪
= ≤≤⎨⎪=⎩，则
222222
()[(),(),()]()()()[(),(),()]()()()x t x t y t z t x t y t z t dt
x x t y t z t x t y t z t dt
β
α
β
αρρ'''++=
'''++⎰⎰，
222222
()[(),(),()]()()()[(),(),()]
()()()y t x t y t z t x t y t z t dt
y x t y t z t x t y t z t dt
β
α
β
αρρ'''++=
'''++⎰⎰
2
2
2
2
2
2
()[(),(),()]()()()[(),(),()]()()()z t x t y t z t x t y t z t dt z x t y t z t x t y t z t dt
β
α
β
αρρ'''++='''++⎰⎰。

若密度(,,)x y z ρ为常数，则得曲线形心坐标为
222
222
2
2
2
2
2
2
()()()()()()()(),()()()()()()x t x t y t z t dt y t x t y t z t dt x y x t y t z t dt x t y t z t dt
β
β
αα
ββ
αα''''''++++= =''''''++++⎰⎰⎰⎰，222222
()()()()()()()z t x t y t z t dt
z x t y t z t dt
β
α
β
α
'''++=
'''++⎰⎰。

二、典型例题分析
例1. 求半径为a 、中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度(,)1x y ρ=）的质心。

解：取坐标系如图所示
由对称性知0y =，由L 的参数方程cos ()sin x a t
t y a t
ϕϕ=⎧ -≤≤⎨=⎩得
(cos sin x t a t adt a x adt
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
-
-
⋅===⎰⎰，故质心坐标为sin (0,)a ϕϕ。

例2. 摆线的一拱(sin )
:(02)(1cos )x a t t L t y a t π=-⎧ ≤≤⎨=-⎩的形心是（ ）
(A)4(,)3a a π (B)2(,)3a a π (C)5(,)4a a π (D)7
(,)4a a π
解：4个选项中的横坐标都相同，所以只需求纵坐标y 即可：
220
20
((1cos )y t a t y π
π
π
- =
=
=⎰⎰
223002018(1cos )sin 432232t t
a a t dt dt
a t dt
πππ⨯-====⎰⎰⎰，故选(A)。

例3. 已知螺旋线的一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z bt ===（02t π≤≤）（,0a b >），螺旋线上任一点(,,)P x y z 处的线密度等于该点到原点距离的平方，求曲线的质心。

解：由题意知222222222(,,)cos sin x y z x y z a t a t b t ρ=++=++，
ds ==，质心坐标为：
222222222220
2222
cos (cos sin cos ()()a t a t a t b t a t a b t dt
x a b t dt
π
π
π
+++=
=
=+⎰
⎰
22
222
232468
3423
ab ab a b
a b ππππ==++，同理可得
2222222222
222
232sin (cos sin 4683423
a t a t a t
b t ab ab y a b a b π
πππππ++-=
==-++
，22222222222222222
232(cos sin 2(2)3(2)83423
bt a t a t b t b a b b a b z a b a b
ππππππππ++++===++
，故质心坐标为
22222 222222222
663(2) (,,) 343434
ab ab b a b
a b a b a b
πππ
πππ
+
-
+++。

从上面的介绍和例题可以看到，曲线的形心就是均匀分布的曲线的质心，形心是质心的一种特殊情况，这一点与细棒和平面薄片及立体的形心是相同的；曲线质心和形心坐标的计算常常通过曲线的参数方程化为定积分来计算；最后说明一点，曲线质心和形心可能在曲线上，也可能不在曲线上，如圆的形心在圆心，而圆心是不在圆上的。

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X。