江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学(文)试题(解析版)

苏州五中2017-2018学年第一学期初调研测试
高三数学（文科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．
1. 已知集合，则的子集个数为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
先求出A与B的交集，从而得到其子集的个数.
【详解】集合，，
则，
则的子集是：，，，，共4个.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了集合的运算，考查了集合中的概念问题，是一道基础题. 若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．
2. 若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点处于第______________象限.
【答案】一
【解析】
【分析】
直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为的形式，则答案可求.
【详解】，
，
复数对应的点为，位于第一象限.
故答案为：一.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题.
3. 命题“”的否定形式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定是全称命题来求解.
【详解】命题是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，
命题“”的否定形式为：.
故答案为：.
【点睛】要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则______．
【答案】
【解析】
渐近线方程为,所以
5. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案.
【详解】由，得，
函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.
6. 若曲线在点P处的切线平行于直线，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
试题分析：设点的坐标为，则由;解得：代入得；. 考点：导数的几何意义.
7. 已知，则______．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：同角三角函数的基本关系式.
8. 在等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9―a11的值为______．
【答案】48
【解析】
【分析】
先根据等差中项的性质根据求得，进而根据求得答案.
【详解】，
，即，
，
故答案为：48.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，特别是利用了等差中项的性质和等差数列的通项公式.
9. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出圆锥和圆柱的表面积.
【详解】圆锥的母线长，
，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了旋转体的表面积计算，属于基础题.
10. 已知，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式，判断函数的单调性和取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数；
当时，，则函数在上为增函数.
作出函数图象，如图：
，
不等式等价为，
则，
即，得，
则，即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键.
11. 若将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则||的最小值为_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据：“左加右减”法则和条件，列出方程，进而由的取值范围求出的最小值.
【详解】由题意得，，
，
则当时，.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查函数的图象变换原则：“左加右减，上加下减”，注意左右平移时必须在的基础进行加减，这是易错的地方.
12. 已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.
【详解】圆心为，半径，
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，
故有，
圆心O到直线的距离，
即，
即，解得或.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.
13. 设f (x)是R上的奇函数，且f (－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)·f (x)－2x·f (x)＜0，则不等式f (x)＞0的解集为_____．
【答案】
【解析】
因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．
14. 已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】
由题意得在R上恒大于或等于0，得，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决.
【详解】由题意得在R上恒成立，则，
，
令，
，
（当且仅当，即时取“”）.
故答案为：3.
【点睛】本题考查利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内
．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
(1)求的周期和最值；
(2)求的单调增区间；
(3)写出的图象的对称轴方程和对称中心坐标．
【答案】（1），，；（2）；（3）对称轴方程是
，
【解析】
【分析】
（1）化简函数，由即可得到周期；当与当
时取得最值，从而求得答案；
（2）由即可得到的单调增区间；
（3）由得的图象的对称轴方程；由可得的图象的对称中心坐标. 【详解】
．
(1)；当即时，；
当即时，．
(2)由解得．
故的单调增区间为：．
(3)由得．
故的图象的对称轴方程是；
由得．
的图象的对称中心坐标是．
【点睛】函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin(ωx＋φ)为奇函数；
φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝A sin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．
16. 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱
的中点.
（1）求证:平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发进行论证：而线线平行，一般结合平面几何条件，如中位线给予论证（2）证明面面垂直，一般利用线面垂直给予证明：即证面．而
线面垂直证明，一般要多次利用线面垂直性质及判定定理进行论证：先由平面几何条件是正方形得
，再由（已知），（直棱柱性质推导）得面．因而有，这样就论证了面．
试题解析：（1）在中，因为是的中点，是的中点，
所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，
又，即，而面，且，
所以面．
而面，所以，
又是正方形，所以，而面，且，
所以面．
又面，所以面面．
考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理
17. 已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值；②若点
,求证:为定值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
试题分析：（1）解：因为椭圆C满足，根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得，据此即可求出椭圆C的标准方程；（2）①设将
代入中，消元得，然后再利用韦达定理和中点坐标公式即可求出结果；②由①知，，所以代入韦达定理化简即可证明结果.
试题解析：（1）解：因为椭圆C：满足，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，
可得．
从而可解得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）①解：设
将代入中，
消元得，
，，
因为AB中点的横坐标为，所以，解得．②证明：由①知，，
所以
．
考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.
18. 已知数列、是正项数列，为等差数列，为等比数列，的前项和为，且
，—2．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和；
（3）设，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）设公差为，公比为，利用，计算可知，进而计算可得答案；
（2）通过（1）可知，裂项可知，并项相加即得结论；
（3）通过（1）可知，利用作差比较法判断数列的单调性，进而计算可得结论.
【详解】（1）设公差为，公比为，由已知得，，
解之得：，．又因＞0，故．
（2），
所以，
．
（3），
当时，，
当时，，
又因为，所以的取值范围为．
【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及利用作差比较法判断数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题.
19. 设函数，其中N，≥2，且R．
（1）当，时，求函数的单调区间；
（2）当时，令，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围；
（3）当时，试求函数的零点个数，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）将，代入解析式，求出函数的导数，从而即可得到函数的单调区间；
（2）由题意知，求导，从而可得，由方程有两个不相等的正数根，（）可得，由方程得，且，由此分析整理即可得到答案；
（3）求出函数的导数，得到的单调性，求出的最小值，通过构造函数结合零点存在性定理判断函数的零点即可.
【详解】（1）依题意得，，，
∴．
令，得；令，得．
则函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意知：．
则，
令，得，
故方程有两个不相等的正数根，（），
则解得．
由方程得，且．
由，得．
，．
，即函数是上的增函数，
所以，故的取值范围是．
（3）依题意得，，，
∴．
令，得，∴，∵，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴．
令（），则，
∴，
∴，即．
∵，∴，
又∵，
∴，
根据零点存在性定理知函数在和各有一个零点．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.。