高考数学解题方法探讨 数学破题36计(28-36计)

第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：
1.公式多，变换多，技巧多；
2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；
3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】 设a ,b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a+b 的最小值是 （ ） A.-22 B.535-
C.-3
D.2
7- 【解答】 a 2
+2b 2
=63262b a +⇒=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θsin 3cos 6y x (θ∈［0，2π］)，则 a+b =6cos θ+3sin θ=3cos(θ-φ)，其中cos φ=
36，sin φ=3
3
，∴a+b ≥-3，选 C .
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.
【例2】 已知正数x,y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是 . 【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见； 由条件y 2=3x -
2
3x 2
. ∴x 2+y 2=x 2+2
1
2332-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
x x x 2+3x =21-(x -3)2+29.
∴当且仅当x =3时，（x 2+y 2）max =
2
9
. 你能发现这种解法有什么毛病吗？ 先检验一下，如x =3,会有什么情况发生，将x =3代入已知条件，得： 3³9+2y 2=18. ∴2y 2=-9.
显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y 的范围，正确的解法是:
∵y 2=3x -23x 2≥0，∴x 2-2x ≤0. 得x ∈［0,2］，而x 2+y 2=21-(x -3)2+29. 令z =2
1-(x-3)2+29
，则当x ≤3时，z 为增函数，已求x ∈［0,2］，故当x =2时，
z max =21(2-3)2+2
9
= 4，即(x 2+y 2)max = 4.
【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：
(x -1)2+
3
2y 2
=1. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=+=θθ•y •x sin 23
cos 1， 则 x 2+y 2=(1+cos θ)2+
23sin 2θ=2
1-cos 2θ+2cos θ+2521-(cos θ-2)2+29
. 由于cos θ∈［-1,1］,故当cos θ=1时，(x 2+y 2)max =21-+2
9
=4.
此时，x =2，y =0.
【例3】 设抛物线y 2=4px (p >0)的准线交x 轴于点M ，过M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求AB 中点的轨迹方程.
【解答】 抛物线y 2=4px 的准线为x = -p ，交x 轴于M (-p ,0), 设过M 的直线参数方程为：⎩⎨
⎧=+-=θ
θ
sin cos t y t p x (t 为参数)代入y 2=4px ：
t 2sin 2θ-4pt cos θ+4p 2=0 (1) 方程(1)有相异二实根的条件是：
,1cot 0
)sin (cos 160sin 2
2
22>⇒⎩⎨⎧>-=∆≠θθθθp 1, 设方程(1)之二根为t 1，t 2，则t 1+t 2=
.sin cos 42θ
θ
o
设AB 之中点为Q (x,y )， ∵t =θ
θ
2
21sin cos 22p t t =+. ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∙=+-=∙+-=θθθθθθθθcot 2sin sin cos 2cos 2cos sin cos 222
2p p y p p p p x ， 消去θ得：y 2=2p (x+p ), ∵|cot θ|>1，∴|y |>2p ，即所求AB 中点的轨迹方程为：y 2=2p (x+p )(|y |>2p ).
【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y 两个变量减为一个变量t ).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：⎩
⎨⎧+=+=θθ
sin cos 00t y y y x x
其中P (x 0，y 0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t 表示动点M (x,y )与定点P (x 0，y 0)所连有
向线段的数量，若M 在P 上方则t >0，反之t <0.
【例4】 两圆O 1与O 2外离，其半径分别为r 1，r 2，直线AB 分别交两圆于 A 、C 、D 、B ,且AC =DB ，过A ，B
的切线交于E ，求证：
2
1
r r EB EA = . 【思考】 本例是平面几何题吗? 不是，谁要试图仅用平几知识证明，
肯定难以成功，但若引入三角，则不然. 【解答】 作两圆直径AF ，BG ，连
CF ，DG ，命∠EAB =∠F =∠α,∠EBA =∠G =∠β, 那么AC =2r 1sin α，BD =2r 2sin β,
已知AC=BD ，∴2r 1sin α=2r 2sin β， 例4题图
α
β
sin sin 21=
r r , △EAB 中，由正弦定理：
,sin sin αβ=EB EA ∴2
1
r r EB EA =. 【例5】某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧，A 距铁路m 千米，B 距铁路n 千米. 在
铁路上要建造两个火车站C 与D ，并修两条公路AC 与BD . A 地的矿石先用汽车由公路运至火车站C ，然后用火车运至D ，再用汽车运到冶炼厂B （如图所示）A 、B 在铁路MN 上的投影A ′、B ′距离为l 千米.若汽车每小时行u 公里，火车每小时行v 公里（v>u ）,要使运输矿石的时间最短，火车站C 、D 应建在什么地方？ 【分析】 求的是C 、D 建的地方， 为了将问题简化，暂不考虑车站D ，
设法求出从A 经过C 到B ′所需最短时间. 【解答】 ∵AC =
,cos A
m
A ′C =mtanA , ∴C
B ′=A ′B ′-A ′
C =l-mtanA
∴从A 经过C 到B ′所需时间为 例5题图
t =A A
u v
v
m v l A v A A u m v l v A m l A u m cos sin cos sin cos 1
tan cos -∙
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+ 由于v l ，v m ，a v 为常数，问题转化为求y =A A
u v
cos sin - 的最小值. ∵y ′=A
A u v
2
cos 1
sin -，令y ′=0,得u v
A =sin 时， sin A <1. sin A <v u 时，y ′<0, sin A >u
v
时，y ′>0.
故函数y ，从而函数t 当sin A =u
v
时，取得极小值：.12
2min u
u v v u v u u v y -=
'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
∵ sin A =v u ，∴A ′C =mtanA =22u v mu -，即车站C 距A ′为22u
v mu -千米，它与l 的长
短无关.
同理，站D 距B ′为
2
2
u
v nu -千米.
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1 已知方程x 2+x sin2θ- sin θcot θ=0(π<θ<
2
3
π)之二根为α,β，求使等比数列1,2
11,1
1
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++βαβα•，…前100项之和为零的θ值. 2 设实数对(x,y )满足方程x 2+y 2-2x -2y +1=0，求
y
x 1
+的最小值. 3 已知圆的方程是x 2+y 2=1，四边形P ABQ 为该圆内接梯形，底边AB 为圆的直径且在x 轴上，当梯形ABCD 的周长l 最大时，求P 点的坐标及这个最大的周长. 4 △ABC 中，已知三内角满足关系式y =2+cos C cos (A-B )- cos 2C . (Ⅰ)证明任意交换A 、B 、C 位置y 的值不变； （Ⅱ）求y 的最大值.
5.一条河宽1km ，相距4km (直线距离)的两座城市A 与B 分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A 与B . 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?
●参考答案
1 由条件：⎩⎨
⎧-=-=-=+θ
θθαβθ
βαcos cot sin 2sin ,
∴
θθ
θ
αββαβ
α
sin 2cos 2sin 1
1
==+=
+
，即等比数列的公比q =2sin θ，∴S 100=θ
θsin 21]
)sin 2(1[1100--∙ .
已知S 100=0，∴(2sin θ)100=1且2sin θ≠1,于是2sin θ= -1, sin θ=2
1-, ∵θ∈(π，
23π), ∴θ=6
7
π. 2 圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为C (1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求
y
x 1
+的最小值，先求1
+x y
的最大值. 如图，
1
+x y
表示圆上的点(x,y )与 定点P (-1,0)连线的斜率, P A ，PB 为 圆C 的切线，则PB k x y =⎪⎭⎫
⎝⎛+max
1，连PC, 设∠BPC =∠APC =θ，则tan θ=
2
1
, 第2题解图 tan ∠BP A =tan2θ=3421121
22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯
, 即341max =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y ，从而4
31=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x . 3 如图所示，有A (1,0),B(-1,0),
⊙方程为x 2+y 2=1，∴设P (cos θ，sin θ)为 圆上一点，不妨设P 在第一象限， 则有Q (-cos θ, sin θ).
∴|PQ |=2cos θ, Rt △P AB 中∠PBA =2
θ, ∴|BQ |=|P A |=|AB | sin
2θ=2sin 2θ， l =2+2cos θ+4sin 2θ=2+2(1-2sin 22θ)+4sin 2θ=5-4(sin 2θ21
-)2, 第3题解图
当且仅当sin 2θ=2
1
，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，l max =5，此时
点P 的坐标为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,21••. 4 (Ⅰ)y =2+cos C ［cos (A-B ) - cos C ］
=2+cos C ［cos (A-B )+cos (A+B )］=2+2cos A cos B cos C
此为关于A 、B 、C 的对称轮换式，故任意交换A 、B 、C 的位置，y 的值不变. (Ⅱ)y =2-［cos C 21-
cos (A-B )］2 +41cos 2(A-B ),为求y 的最大值必须［cos C 2
1
-cos (A-B )］2
取得最小而
4
1
cos 2(A-B )取得最大. ∵［cos C 21-cos (A-B ) 2≥0，且41cos+(A-B )≤41当且仅当⎪⎩
⎪
⎨⎧==-)cos(21
cos 1
)cos(AB C B A 时以上两条同时成立.
∴y max =49
，此时C B A C B A ==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧==-21
cos 1
)cos(故△ABC 为正三角形. 5.解法一:如图所示，设OM =x km ，则AM =15-x ，BM =21x +. 总修建费 S=2（15-x ）+421x + =215+21x ++x +3(21x +-x ) =215+（21x ++x ）+
x
x ++2
13≥215+23
由21x ++x =
x
x ++213,得当x =
3
3
时， S 取最小值 215+23， 此时，
AM ≈3.3，BM ≈1.2.
故当先沿岸铺设3.3 km 地下电缆，
再铺设1.2 km 水下电缆连通A 与B 时， 第5题解图 总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.
解法二：如图所示，设∠OBM =α(0<α<arccos 41，则BM =α
cos 1， AM=AO-MO =15-tan α，总修建费 S =215-tan α)+αcos 4=215+α
αcos )
sin 2(2-
设t =
ααcos sin 2-，则sin α+t cos α=2 ∴ sin(α+φ)=211
t
+
由
1122
≤+t
及t >0，得t ≥3， ∴ S ≥215+23
将t =3代入sin α+t cos α=2，解得α=
6
π
∵ 0<
6π<arccos 41 ∴ AM =15-33≈3.3，BM =3
32≈1.2
.
第29计向量开门数形与共
●计名释义
非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.
向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.
●典例示范
【例1】α,β为锐角，且sinα-sinβ=
2
1
-, cosα-cosβ=
2
1
，求tan(α-β)之值. 【解答】如图，设A(cosα, sinα),
B(cosβ, sinβ)为单位圆上两点，
由条件知：0<α<β<
2
π
.
那么：-
=
=（cosα-cosβ, sinα-sinβ）
=⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
1
,
2
1
•.
∴||=
2
2
4
1
4
1
=
+，||=||=1. 例1题解图
△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =
4
3
1
1
2
4
2
1
1
=
∙
∙
-
+
.
∴ sin(α-β)=
4
7
16
9
1-
=
-
-, tan(α-β)=
3
7
-.
【点评】如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量
模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.
【例2】设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤2
2
2
2d
c
b
a+
∙
+
【解答】设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|²|n|=2
2
2
2d
c
b
a+
∙
+
∵m²n=|m|²n cos（m,n）≤|m|²|n|. ∴ac+bd≤2
2
2
2d
c
b
a+
∙
+.
【点评】难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几
何中又能起作用吗?
【例3】 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC 1 之长为 .
【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC 1与平面ABCD 所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事? 向量的数量积公式可以保驾护航. 对！走向量法解题的道路.
【解答】 如图所示，11CC AC ++=
∴2
12
1)(CC AC ++=
=2
122CC ++
)(211CC CC ∙+∙+∙+
=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6
∴|1AC |=6. 例2题解图
【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是|1AC |2=2
1AC 的运用奇妙. 注意：AB 与BC 所成角等于AB 与AD 所成角，是60°而不是120°. ●对应训练
1 如图,在棱长为a 的正方体 ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F
分别是AB 、AC 上的动点，满足AE=BF . (Ⅰ)求证：F C F A '⊥'；
(Ⅱ)当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，
求二面角B ′—EF —B 的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图 2 已知a ,b ∈R +，且a ≠b ，求证：(a 3+b 3)2<(a 2+b 2)(a 4+b 4).
3 在双曲线xy =1上任取不同三点A,B,C ,证明△ABC 的垂心也在该双曲线上.
●参考答案
1.(1)如图，以B 为原点，直线BC,BA,BB ′分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，并设
||||BF AE ==x ,则有:A ′(0,a,a ),C ′(a ,0,a ). E (0,a -x ,0)，F (x ,0,0),∴F A '=(x ,-a ,-a )，C '=(-a ,a-x,-a ).
∵F A '²E C '=(x,-a,-a )(-a,a-x,-a )=-ax-a 2+ax+a 2=0，
∴ A '⊥C '. (2)V B ′—BEF =
31S △EEF ²|B B '|=31²2
1
(a-x )²x ²a =61a (a-x )²x ≤61a ²32
2412)(a x x a =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-， 当且仅当a-x=a ，即x =2
a
时, (V B ′—BEF )max =
3
24
1a ， 此时E 、F 分别为AB,BC 的中点,必EF ⊥BD .
设垂足为M ，连B ′M ,∵BB ′⊥平面ABCD , 第1题图 由三垂线定理知B ′M ⊥EF ,∠BMB ′是二面角B ′—EF —B 的平面角, 设为θ,∵||=
a 42
||41= ∴ tan θ=
224
2
a a . 即θ=arctan22，则二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22. 2 设m =(a,
b )，n =(a 2,b 2), ∵m ²n ≤|m |²|n |.
∴a 3+b 3≤4422b a b a +∙+，即是(a 3+b 3)2≤(a 2+b 2)(a 4+b 4). 3 如图,设A (x 1,
11x )，B (x 2,2
1x ), C (x 3，
3
1
x )，△ABC 的垂心为H (x 0，y 0), 则),(1
22
112x x x x •
x x --=, )1
,(3
30x •y
x x -
-=, 第3题解图 ∵⊥, ∴(x 0-x 3)(x 2-x 1)+(y 0-
31
x ²02
121=-x x x x . ∵x 1≠x 2，∴x 0-x 301
3
2103=--
x x x y x .
∴x 0+
2
1033211
x x y x x x x += (1)
同理：x 0+
3
20131023211
x x y x x x y x x x x +=+=.
∴x 2-x 1=y 03212103132)(11x x x x x y x x x x -=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-.
∵x 1≠x 2，∴y 0=-x 1x 2x 3，代入 (1)：x 0-
01
y =x 32
1321x x x x x -=0, ∴x 0y 0=1，即H (x 0，y 0)在双曲线xy =1上.
第30计 统计开门 存异求同
●计名释义
甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统. 甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.
甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.
甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？ 乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!
●典例示范
【例1】 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6 y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
若由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求： （1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【分析】 本题告诉了y 与x 间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.
注：设所求的直线方程为y
ˆ=bx+a ，其中a 、b 是待定系数． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
-===-=---=∑∑∑∑∑∑======x
b y a y n y •x n x x
xy
n y
x x x y y x x b n i n
i i
i n i i
n
i i
i n i i n
i i i 111
2
1
11
1,1,)())((
相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析. i 1 2 3 4 5 x i 2 3 4 5 6 y i 2.2 3．8 5．5 6．5 7．0 x i y i 4．4 11．4 22．0 32．5 42．0 x 2i
4
9
16
25
36
∑∑==⋅====5
1
5
1
2
3112,90,5,4i i i i i y x •x •y •x
于是b =
2314
5905
453112552
5
1
2
25
1⋅=⨯-⨯⨯-⋅=
--∑∑==i i i x
x xy
xiyi ， a ==⨯⋅-=-42315bx y 0.08. ∴线性回归方程为：y ˆ=bx+a =1.23x +0.08. （2）当x =10时，y
ˆ=1.23³10+0.08=12.38（万元） 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
【点评】 本题若没有告诉我们y 与x 间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.
【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求： （1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率； （2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.
【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次（事件A 是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A 发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.
【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A ，则P （A ）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次.
∴P 3(2) =C 2
3(0.7)2(1-0.7)3-2=3³0.49³0.3=0.441.
(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A 发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P 3（2）
+P 3(3)=0.441+C 330.73
=0.784.
【点评】 用独立重复试验的概率公式P n (k )=C k n
²P k ²(1-p )n-k
来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A 发生的概率P ；③利用公式计算在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率.
【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.
【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ 0
1
2
3
P
301 103 21 6
1 甲答对试题数ξ的数学期望. E ξ=0³
30
1+1³103+2³21+3³61=59
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P (A )=321202060C C C C 310361426=+=+ P (B )=151********C C C C 3
10
3
8
1228=+=+∙ 因为事件A 、B 相互独立,
方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
45
1
)15141)(321()()()(=--=∙=∙B P A P B A P
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P =1-P （B A ∙）=1-45
44
451= 方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P =P (A ²B )+P （A ²B ）+P (A ²B )=P (A )P (B )+P (A )²P (B )+P (A )P (B )=32³151+31³1514+3
2³
1514=45
44 【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.
●对应训练
1.在袋里装30个小球，其彩球中有n (n ≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是400
13
，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)
3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm ），问车门应设计多高？
广告费用（千元） 1．0 4．0 6．0 10．0 14．0 销售额 （千元）
19．0
44．0
40．0
52．0
53．0
现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）. ●参考答案
1.取3个小球的方法数为C 230=4060.
设“3个小球全是红球”为事件A ，“3个小球全是蓝球”为事件B ，“3个小球全是黄球”为
事件C ，则P (B )=406010C C 33035
=，P (C )=4060
120C C 3303
10=.
∵A 、B 、C 为互斥事件，∴P (A+B+C )=P (A )+P (B )+P (C ). 即
406
13=P (A )+406010+
⇒4060120
P (A )=0. ∴红球的个数≤2，又∵n ≥2，故n =2. 记“3个小球至少有一个是红球”为事件D ，则D 为“3个小球没有一个红球”.
P (D )=1-P (D )=1145
28C C 330328
=
-. 2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400³0.3=120(万元);
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400³0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400³0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）
④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400³0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元) 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.
3.设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P （ξ≥x ）＜1%. ∵ξ～N （173，7 2），∴P （ξ≤x ）=Φ（7
173
-x ）＞0.99. 查表得
7
173
-x ＞2.33，∴x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.
4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程y
ˆ=bx+a ，令y ˆ=6，得x =1.5万元. 答案：1.5万元
点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.
第31计 解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.
●典例示范
【例1】 动椭圆过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率e =
2
1
. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】 如M （1，2）为右顶点，则左顶点为 P （1-2a ,2）. 椭圆中心为(1-a ,2)，左准
线为y 轴. ∴12
+-
c
a -a =0， 而e =21=a c . ∴c a =2，有-3a +1=0，a =31. 得点P 1(31,2)；如M （1，2）为左顶点，有 P 2（1，2）， ∴P 1P 2中点为（3
2
，2）. 由以上可以预见,所求轨迹是中心为O ′(
3
2
,2)的椭圆. 【解答】 （1）设椭圆左顶点为M (x,y )，则左焦点为F （x 0，y 0）=F (x+a-c ，y )，
∵e =21=a c ，且左准线为y 轴, ∴a x c
a ++-
2
=0, 得a=x ，c =
a 21=2x ，有：F ⎪⎭
⎫
⎝⎛•y x •,23，由椭圆第二定义：1||MF = e =21. ∴
21)2(1232
2
=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，化简得：22
)1(4329-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y x ①
(2)椭圆①的长半轴a ′=
31，∴-31≤x -32≤31，得x ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,31••. 原椭圆长半轴为a=x ，∴2a =2x ∈⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡2,32
••. 故原椭圆长轴最大值为2，最小值为32
.
【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 1又是抛物线y 2=4x 的焦点，点A （-1，2），B （3，2）在双曲线上，（1）求点F 2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，不存在，说明理由. 【思考】 F 1（1，0）为定点，∴|AF 1|=22=|BF 1|为定值，设F 2(x ，y )，则|F 2A |-22=±(F 2B-22).得|F 2A |=|F 2B |或|F 2A |+|F 2B |= 42，知动点F 2的轨迹为直线AB 的垂直平分线或以A 、B 为焦点的椭圆.
【解答】 （1）点F 2的轨迹方程为直线l ：x =1或椭圆
14
)2(8)1(2
2=-+-y x .(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).
（2）如图，当椭圆与直线y=x+m 相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x =1的交点），其他情况下，若直线y=x+m 过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由
.8])2()2(2[2)12(8
)2(2)1(2
222
2=-+-+++-⇒⎩⎨⎧=-+-+=m x m x x x y x m x y ∴3x 2+(4m -10)x +2m 2-8m +1=0. 此方程应有相等二实根，
∴Δ=(4m -10)2-12(2m 2-8m +1)=0. 化简得：m 2-2m -11=0,∴m =1±23.
【小结】 探求轨迹，一要注意 其完备性也就是充分性：只要符合 条件的点都适合轨迹方程；二要 注意其纯粹性也就是必要性：只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图 以例2为例：若忽视了直线x =1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.
●对应训练
1.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6,0），另一个焦点F 2为动点.
(1)求双曲线中心的轨迹方程;
(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
2.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转），求点P 的轨迹方程.
3.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6，0），另一个焦点F 2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
4.已知抛物线C ：y 2=4x ，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C 的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B 与焦点F 所连线段的中点P 的轨迹方程；（2）若M （m ,0）是x 轴上的一个定点，Q 是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ |的最小值.
●参考答案
1.设F 2(x 0，y 0), ∵O (0,0)在双曲线上, ∴|OF 2| - |OF 1| =±2，|OF 1|=6,
∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，则x 20+y 20=64 ① 如|OF 2|=4，则x 20+y 20=16 ② 当O 、F 1、F 2共线时，F 1、F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0） 设双曲线中心为M （x ，y ）,则
⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=y y x x y y x x 26222
6000
0 ③ ③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64， 即(x -3)2+y 2=16(x ≠7) ③代入②：（2x -62+(2y )2=16， 即(x -3)2+y 2=4(x ≠5) (2)∵a =1，∴e =
a
c = c ，且c =|MF 1|=2
2)6(y x +-, 如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=16， 则c =436)3(16)6(2
2+-=
--+-x x x
∵-4≤x -3<4，∴-1≤x <7 当x =-1时，c max =7.
如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则316)3(4)6(22+-=--+-=
x x x c
∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5，当x =1时，c max =5,
于是取c =7，a =1，∴b 2=48，又当x =-1时，由（x -3）2+y 2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),
一个焦点为F 1(6,0),故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2
-48
2
y =1. 2.如图作OA ⊥l 于A ，以直线OA 为x 轴， 过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立 如图的直角坐标系，设A （a ,0），则有 直线l ：x =a ，设|OQ |=|OP |=d ∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+3
π 设P (x,y )，∵d =
θ
cos a
， ∴x = d cos (θ+
3π)=θcos a (21cos θ-2
3sin θ) 第2题解图 =
2
a
(1-3tan θ), y =d sin(θ+
3π)=θcos a (21sin θ+2
3cos θ)= 2a (tan θ+3).
于是得点P 的参数方程：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=)3(tan 2)tan 31(2
θθa y a x （θ为参数） 消去参数得：x +3y =2a .
3.(1)设F 2(x 0，y 0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF 2| - |OF 1|=±2，|OF 1|=6，∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，
则x 20+y 20=64 ①；如|OF 2|=4，则x 20+y 20=16 ②，当O ，F 1，F 2共线时，F 1，F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.
设双曲线中心为O ′(x ，y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=y y x x y y x x 26222
6000
0 ③ ③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64, 即 (x -3)2+y 2=16 (x ≠7).
③代入②：(2x -6)2+(2y )2=16, 即 (x -3)2+y 2=4 (x ≠5). (2)∵a =1，∴e =
a
c = c ，且c =|MF 1|=2
2)6(y x +-, 如M 的轨迹为（x -3）2+y 2=16,
则c =436)3(16)6(2
2+-=
--+-x x x .
∵-4≤x -3<4, ∴ -1≤x <7, 当x = -1时，c max =7.
如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则c=316)3(4)6(2
2+-=
--+-x x x .
∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5当x =1时，c max =5.
于是取c =7，a =1. ∴b 2=48，又当x = -1时，由(x -3)2+y 2=16，得y =0，即双曲线中心为（-1，
0），一个焦点为F 1（6，0），故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2
48
2
y -=1.
4.（1）如图设椭圆中心为O ′(x 0,0)， 由于左焦点F （1，0），左准线x = -1，
∴x 0=c +1，且x 0+1=c
a 2.
∴a 2=c (x 0-1)=x 20-1，
b 2=a 2-
c 2=(x 20-1) - (x 0-1)2=2x 0-2，
得椭圆短轴端点B （x 0，220-x ）. 第4（1）题解图 设FB 的中点为P (x ，y )，则：
⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=242122221212
0000y x x x x y x x 消去x 0：y 2
=x -1(x ≥1).
(2)曲线y 2=x -1(x ≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F （1，0）. 显然当m ≤1时，|MQ | min =1-m ，即点M （m ,0）到抛物线顶点F 最近，当m >1时，以M （m ,0）为圆心，R 为半径的圆的方程为： (x-m )2+y 2=R 2.(*)
由⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+-1
)(2
2
22x y R
y m x x 2+(1-2m )x+m 2-1-R 2=0. 命Δ≥0，即（1-2m ）2-4(m 2-1-R 2)=0, ∴R 2≤
4
5
4-m . (1) 当m ≥
45时，R min =454-m ， 即|MQ |的最小值为454-m . 当1<m <
4
5
时，不等式（1）无解，说明圆（*）与抛物线y 2=x -1不可能有交点，此时抛物线顶点与M 距离最近,即|MQ | min =m -1.
注：此题选自陕西师大“中学数学教学参考”04²1～2期P72，63题，原题答案为： 当
212-m ≤1，即m ≤23时，|MQ |无最小值；当212-m >1，即m >23时， |MQ | min =4
5
-m .笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.
第32计 立几开门 平面来风
●计名释义
空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.
●典例示范
【例1】 “神舟六号”飞船上 使用一种非常精密的滚球轴承， 如图所示，该滚球轴承的内
外圆的半径分别为1mm 、3mm ， 则这个轴承里最多可放
滚珠 个. 例1题图 【解答】 6如图，设两滚球P ，Q 相切 于点T ，轴承中心为O ，连接OT ， 设滚球半径为d ，内、外圆半径 分别为r 、R ，则R =3，d =r=1. 在Rt △OTP 中，∠POT =
2
α
，OP =2，PT =1,
则有sin
2α=
21
=OP PT ， 得α=2³6π=3π，即在圆心角为3
π
的轨道内， 例1题解图
可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度） 时可放的滚珠为
3
22π
π
α
π
=
=6个.
【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解
决.
【例2】 在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 边长为3，高为4，在棱C 1B 1，C 1D ，CC 上分别取一点M 、N 、L 使C 1M ＝C 1N ＝1，C 1L ＝
4
3. (1)求证：对角线AC 1⊥面MNL ； （2）求四面体D —MNL 的体积； （3）求AM 和平面MNL 所成夹角的正弦值. 【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC 1与LM 、LN 之一垂直即可; (2)四面体D —MNL 的体积不好求，可退而求四面体C 1—MNL 的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C 1—MNL 的体积适当扩大即可； （3）AM 与面MAC 1夹角的正弦不好求，可退而求AM 、AC 1夹角的余弦.
【解答】 （1）如图所示，以D 1为原点，直线D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x,y ，z 轴建立空间坐标系，
则有：A （3，0，4），C 1（0，3，0） ∴1AC =(-3,3,-4)；L ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
43,3,0••••，N (0,2,0),
∴NL =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
43,1,0••••∵1AC ²NL =0+3-3=0, ∴1AC ⊥,根据图形对称性，
同理有1AC ⊥，故AC 1⊥平面MNL . 例2题解图
(2)四面体D —MNL 与C 1—MNL 同底不等高，设其高分别为h 1，h 2，连C 1D 交NL 于E . ∵D (0,0,4),
∴D C 1=(0,-3,4),且D C 1²=(0,-3,4)²⎪⎭
⎫ ⎝⎛43,1,0••••=0.
∴C 1⊥，知L 、E 、D 、C 在同一个圆上，|C 1|² |C 1| =|C 1|²|C 1|, 即
4
3
²4=|E C 1|²5.
∴|C 1|=53，从而|C 1|=5-53=5
22. h 1∶h 23
22
1=
. 易求V C 1－MNL ＝
61²C 1M ²C 1N ²C 1L =61³1³1³8
143=，∴V D-MNL =32281⨯=1211(立方单位).
(3)设AM 与平面AC 1成θ角，已证AC 1⊥平面MNL ，∴∠MAC 1=90°-θ. ∵M (1,3,0),∴=(-2,3,-4), ²1AC =(-2,3,-4)²(-3,3,-4)=6+9+16=31.
又｜AM ｜=29)4(3)2(2
22=
-++-,
｜1AC ｜=
34)4(3)3(222=-++-.
∴cos (90°-θ986
3134
2931|
|||11=
∙=
∙AC AM . 从而 sin θ=
986
31，即AM
与平面MNL 所成角的正弦值为
986
31.
【评注】 本题第（2)问另一解法：∵V D-MNL =V M-DNL ，而S △DNL 易求，且MC 1⊥面DNL ，从而V D-MNL =
3
1
²S △DNL ²MC 1也不失为另一有效解法. 【例3】 （04²全国卷Ⅲ）如图，
四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形， AB =8，AD =43，侧面P AD 为等边
三角形，并且与底面所成二面角为60°. (Ⅰ)求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）求证：P A ⊥BD .
【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥， 不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题， 否则是“瞎子点灯”——白费蜡，
因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图
2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略. 【解答】 （Ⅰ）设O 为P 在底面的射影，作OE ⊥AD 于E ，连PE ，则∠PEO 是二面角P —AD —O 的平面角，有∠PEO =60°.已知△P AD 为正三角形，且边长为4
3. ∴|PE |=43sin60°=6，PO =6sin60°=33. ∴V P —ABCD =
31²S □ABCD ²PO =3
1
²8²43²33]=96(立方单位).
(Ⅱ)以O 为原点，平行于AD 的直线为x 轴，平行于AB 的直线为y 轴，垂线OP 所在直线为z 轴建立如图的空间直角坐标系. 则有P (0,0,3
3)，A (23,-3,0)，B (23,5,0),D (-23,-3,0),
∴=(23,-3,-33), =(-43,-8,0),
∵²=-24+24+0=0. ∴⊥.
●对应训练
1.如图所示，ABCD 是边长 为2a 的正方形， PB ⊥平面ABCD ，
MA ∥PB ，且PB =2MA =2a ， E 是PD 的中点
(1)求证：ME ∥平面ABCD ; (2)求点B 到平面PMD 的距离; (3)求平面PMD 与平面
ABCD 所成二面角的余弦值 第1题图
2.在正三棱锥S —ABC 中，底面是边长为a 的正三角形，点O 为△ABC 的中心，点M 为边BC 的中点，AM =2SO ，点N 在棱SA 上，且SA =25SN . (Ⅰ)求面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：SA ⊥平面NBC .
3.如图,边长为2的正方形ADEF 所在的 平面垂直于平面ABCD ，AB=AD ， AB ⊥AD ，AC =32，AC ⊥BD ，
垂足为M ，N 为BF 的中点. (1)求证：MN ∥平面ADEF ；
（2）求异面直线BD 与CF 所成角的大小；
（3）求二面角A-CF-D 的大小. 第3题图 ●参考答案
1.(1)延长PM 、BA 交于F ，连接FD ，FD 、BC 延长交于G ，连接PG ， ∵MA
2
1
PB =a ， ∴M 为PF 中点，又E 为PD 中点， ∴ME 为△PFD 中位线，ME ∥FD ， 而FD 平面ABCD , ∴ME ∥平面ABCD . (2)MA
2
1
PB 时，A 为FB 的中点. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，DC ∥AB ，
∴D 、C 分别为FG 、BG 的中点. 第1题解图
∵AB=BC =2a . ∴BF=BG =4a . ∴BD ⊥FG ，∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥FG ，故FG ⊥平面PBD . 作BH ⊥PD 于H ，必FG ⊥BH ，
故BH ⊥平面PFG ，BH 之长是点B 到平面PFG (也就是平面PMD)的距离. Rt △PBD 中，PB =2a ，BD =22a. ∴PD =22BC PB +=23a ，BH =
632=∙PD BD PB a ，即所求距离为63
2
a .
(3)由(2)知FG ⊥DB ，FG ⊥DP . ∴∠PDB 是二面角P-FG-B 的平面角，且 cos ∠PDB =
3
6
3222=
=a a DP DB ，即所求二面角的余弦值为36. 点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解
中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.
(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：
①若用S ，S 1，S 2，S 3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S 2=S 21+S 22+S 23 ②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a ，b ，c ，则其底面积：S =
2
1222222a c c b b a ++
③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a ，b ，c ，且直角顶点到底面的距离为h ，那么 h =
2
221111c b a ++.
根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B —PFG 为直角四面体，且BP =2a ，BF=BG =4a ∴BH =
.63
2
1
144)4(1
)4(1)2(11
2
22a a a a a =
++=
+
+ 2.(1)如图，正△ABC 边长为a 时， AM =
23a ，OM =31AM =63
a .
SO =
21AM =4
3
a . ∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角，
设为α，则tan α=
2
3
=OM SO . ∴面SBC 与面ABC 成arctan 2
3
的角. 第2题解图。