数学与哲学

数学与哲学
高 2014 级供给
纲要：
数学和哲学相联合，一定具备两个条件：
一是精晓哲学，二是精通数学。

而恩格斯作为马克思主义数学哲学的首创
人之一，对数学有着深刻的认识，在两部著作中对数学哲学进行了深刻而精粹
的论述，事实上好多大师在研究数学的过程用也运用了哲学的方法论。

本论文
联合古今数学思想以及此中包含的哲学思潮侧重于以三个方面：
数学哲学的萌芽，后现代数学的危机来商讨数学哲学的发展与应用。

这两个方面能够很好的指出数学哲学的历史进度，此中主要议论了精通数
学的哲学大师们与应用哲学的数学家们的多次争辩，这也是本文商讨的主要基础。

一．数学哲学的萌芽
很早以来，在米索不达米亚的巴比伦和埃及就已经对与数学有了必定的认识，但是并未与哲学相联系，不过是数的运算与几何的简单认知。

等到了希腊
期间，人们的思虑更为深入，将数学与思辨进行了历史上的第一次交融。

人来
把数学的抽象化科学归功于希腊人，这一重要贡献有其不行估计的意义和价
值。

在古希腊罗马期间，哲学还没有与其余学科明确分开，很多哲学家自己就
是自然科学家，哲学与数学是一个学科，无疑它们是联系在一同的。

并且这期
间的哲学家商讨的主假如自然哲学和本体论问题，为了搞清客观世界及其原由
和规律终究是什么，人们创建了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思想
的萌芽期间。

所以，西方哲学在古希腊出生的同时也就是西方科学精神的出
生。

与此同时，这些哲学家们在思虑自然科学识题的时候也就自但是然产生了
哲学
的看法。

同时这些看法是以学派的形式产生的，比如pathagoras 学派 ,plato 学派,eudoxus 学派 ,aristotle 学派，爱奥尼亚学派，巧辩学派等等。

在这里我们这
要集中在柏拉图以及毕达哥拉斯学派的思想研究上，因为这两个学派一方面在哲
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xx的数学思想是：
把数学看法当成抽象物，不依靠与经验而自有其实在性；重申数学的抽象化和逻辑化，重申了看法和推理；重视演绎结构；对剖析和归纳的方法也赐予了充足注意。

柏拉图把演绎推理作为数学求证的独一方法；主张把知识用演绎系统整理出来；柏拉图是第一个把推理法例系统化的人。

从那个时代起，数学上要求用一些公认的原理来进行演绎证明，这一点对与科学的价值是有根本重要意义的。

因为柏拉图重视抽象看法，把数学思想当成进入哲学的阶梯，把数学当成认识理想世界的准备工具；并且因为柏拉图的哲学中其辩证法问题和逻辑交织在一同，所以柏拉图对数学做出的最重要的贡献即是给我们留下了可贵的数学思想。

亚里士多德在形而上学中队柏拉图的哲学看法进行了论述：
他认为柏拉图继承了古代哲学家的看法，同时又有自己的看法，全部感性的事物都在永久的流变，是不行认知的；感性事物是靠“分有与它们同名的理念”而存在的，全部数学对象占有了一此中间地位，一方面异于感性事物，一方面又异于理念。

可见柏拉图的抽象看法的形成是有必定本源的。

另一方面，柏拉图对与看法和推理的侧重形成了他的逻辑看法，可归纳为同一性原则，充足原由原则，不矛盾原则，这与现代逻辑学的同一律，排中律等等是相符合的。

总之，柏拉图的数学思想源于他的哲学思想，又是他的哲学思想的增补和详细表现，而在古希腊，数学思想和逻辑思想关系又十分亲密，并互相浸透；所以我们又可把柏拉图的逻辑思想市委柏拉图的数学思想在逻辑意义下的自然推行。

他进一步的认识论的精髓在“国家”这部作品中表现的更为完好的，包含他提出的进行数学研究的心灵状态是处于理性和信念之间的理智等级等等。

而毕达哥拉斯学派最有名的那句话“万物皆数也”则直接给出了一个哲学定义，当时希腊学者们在世界的本源是什么方面做出了好多猜想，毕达哥拉斯的这个很另类的定义则确立了数在认识世界方面所起到的作用。

第一个提出合理化的和数理哲学自然观的人就是毕达哥拉斯学派。

人们较靠谱的知道，毕达哥拉斯学派制定认识释自然界的合理的方案，这个方案包含了数学。

毕达哥拉斯学派感觉吃惊的是，物理上这样不相同的物理却发现了相同的数学性质。

例
如，月亮和橡皮球都与相同的形状，都拥有全部球体所固有的很多其余的共同性质。

因而可知固然数学的有关性被隐蔽在各样外形之中，但他应当是现象的实质。

对他们来说，数是描绘大自然的第一原理，并且数被认为是一种物质，也
是世界的一种形式。

他们在数之间的关系上找到了这些现象的本质，数是他们
解说自然的第一原则，他们把数看作既是点又是物质的原粒，所以他们认为数
是宇宙的本质和形式，是全部现象的本源。

毕达哥拉斯学派也做出了很多有关
数的类比，如琴弦的乐音，四元组，天体数等等。

所以他们试试着用数来解说
全部自然现象，他们曾就认为10 是一个完满的数来描绘天体的运动并找出他们的规律。

但毕达哥拉斯学派的自然哲学很难成为有依据的自然哲学。

他们不可以够
在某个自然科学领域行进多远。

他们的理论有原由称之为表面理论而并不是逻
辑性的推理。

毕达哥拉斯学派创建出两种学说，但不过以后才发现了这些学说
的最重要的意义。

之一，自然界是依据数学原则安排的，之二，数比是本质，
是基础，是独一本质，是自然中数列认识的工具。

可他们的哲学明显把谨慎得
思想同那些被我们看作是虚假无用的心跳混在了一同，盲目的迷信数的意义，
使他们的自然哲学必定和自然极少符合之处，固然他们的确重申了认识自然。

而柏拉图不单接受了毕达哥拉斯的某些学说，并且给予了哲学意义。

他不单盼
望认识大自然，并且他认为鉴于数学原则的理想世界，超越了自然界的范围以外，感觉的，临时的和不完美的东西，应当被永久的和完美的东西所代替，自
然界的察看应完好被数学代替，数学不单是实在世界自己的一部分，更帮助训
练心灵去认识永久的看法。

不论如何，毕达哥拉斯学派（包含毕达哥拉斯和柏拉图）对后代数学哲学
的发展都起到了重要的作用，紧随以后的亚里士多德在柏拉图的基础上提出了
些新看法，比方他反对柏拉图把科学归纳为数学的想法，他相信物质的东西是
实在的主体和源泉，真实的知识是从感性的经验经过直观和抽象而获取的，只
凭物质是无心义的。

他认为物理科学是研究自然的基本科学，而数学则是从描
绘形式上的性质这方面来帮助研究，他赐予了数学以较小的地位。

综上所述能够看出哪些塑造希腊学术界的哲学家们对于自然界的研究重申
要理解和意会其内在本质。

从毕达哥拉斯时代起，几乎所有学者都说自然界是
依据数学方式设计安排的。

这个看法从古典期间形成起向来到 19 世界末向来占优势，在那个期间探究自然界的数学设计安敢就是认为是探究真谛。

还要简要
的指出的是，这类数学至上的看法下对于当时认识世界的过程起到了很大作
用，如天文学，地理学，力学光学甚至是占星术。

在上述论述中我们能够看到古希腊的数学哲学已经在理性的基础上了，一
方面意识到了数学在认识世界方面的重要性，另一方面开始运用数学方法并初
步成立了逻辑基础上的演绎推理。

这些基础性的工作能够说是2000 年来十分绚烂的一笔！此刻我们超出中世纪，文艺中兴期间以及16,17 世纪初等算数与几何的发展。

事实上我们对于欧拉，牛顿，伽利略等经典数学物理学家们的成就已
经有了好多的认识，这些数学家做出了好多基础性的工作，就数学知识而言没
有什么新意而言了，所以在本文中将眼光直接拉到近现代的数学哲学。

二，后现代数学的危机
本质上在很早就有数学危机的出现，第一次数学危机的出现则是在毕达哥
拉斯发现根号二的存在损坏了整数系统的存在的时候，我们能够发现一个历史
的规律。

每当数学危机冲击了传统哲学看法的时候，一种新的学科就要出来解
说危机的存在。

比如近代数学的研究是从几何本来上的一条第五共设开始的，
19 世纪中后期数学领域中 ,不仅一个非欧几何理论的出现表示 ,成立在违反平行线公义的随意公义基础上的几何学也能自成系统 ,也拥有切合人类的空间经验的有效性 ,那么“真谛”,特别是数学真谛就绝不仅限于与某种对象 (经验的或理念的 )的相切合 ,而还与系统的组成方式有关。

这给数学家以极大的刺激 ,既然数学真谛不在于与直观对象的切合 ,而在于系统内的一致性和系统之间的相容性 ,也就是“纯形式的关系”,那么 ,数学的真谛性就能够复原为逻辑关系 ,或纯形式的语法关系 ,完好无心义可言。

很多半学家认为 ,扔掉了直观意义就等于扔掉了任何“意义”、“语意”,再不与这些含混的、仿佛总波及某类对象的看法打交道。

于是就有了希尔伯
特方案 ,希望将数学公义系统的相对相容性 (一致性 )的证明变成绝对或直接相容性的证明 (如证明非欧几何相对欧氏几何、欧氏几何相对于实数论、实数论相对于自然数论的相容性 ),将数学逻辑化 (逻辑主义 ),为数学成立无矛盾的基础。

这样数学命题就不是康德的“天生综合命题”,而是一些纯逻辑命题 ,即剖析命题了。

传统数学哲学中的逻辑主义、形式主义和 20 世纪前 20 年哲学领域中特别活跃的逻辑实证主义就是这么对待数学的。

但是 ,假如数学不过一套逻辑演绎系统 ,那么它怎么能够有创建力呢 ?它又如何能够产生新看法呢 ?它又如何可能反应宽泛的
自然现象呢 ?用维特根斯坦的话说 ,假如数学不过是同频频 (重言式 ),就结不出任何新知识来 ,这明显与数学本质的发展不符。

这致使了非欧几何的发展。

相同在从 1900 年到 1930 年左右，数学的危机使很多半学家都卷入到一场
大争辩中间。

他们看到此次危机波及数学的根本，一定对数学的哲学基础加以严实的观察。

在这场大争辩中，本来的不明显的建议分歧扩展成为学派的争
论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为
代表的形式主义三大学派应运而生。

事实上，这不过是近代数学危机的一个代表。

在这里我们不详尽去解说这
三种主义的主要思想而是侧重于它们带来的发展。

在将来的几十年中，我们看
到了逻辑主义的衰败，直觉主义的不完好，以及形式主义的必需性，但是没有
那一种主义能够主宰数学哲学的道路。

正因为这样,维特根斯坦完全否认数学哲学领域中充满着的对于数学的基础主义的全部努力,认为所有对于数学基础的争论都是对我们语言的误会。

弗雷格和罗素为数学找寻逻辑基础 ,本质上是在成立新的语言游戏。

相同 ,形式主义数学家希尔伯特力争以新的方式为数学供给基础,成立“元数学”,其实也是在成立一种新的语言游戏。

假如一个人不理解数学的天性 ,任何凭证都无用 ;假如他理解了数学的天性 ,任何理论都是剩余的。

“你不可以经过等候一种理论对数学获取根本理解 ,对一种游戏的理解不可以依靠于结构另一个游戏。

事实上，这三种主义已经离数学识题愈来愈远，所以也愈来愈失掉了意义。

最后想谈一下中国的数学哲学。

中国有着悠长的历史文化，但是中国哲学与
数学联系极少，历史上罕有集哲学家与数学家于一身之人。

西方哲学家继承了古
希腊哲学理性思想的传统，他们侧重理性思辨和热中于建立形而上学的理论系
统，这类思想习惯与高等数学的思想习惯是相像的。

并且西方哲学理论和哲学看
法多是成立在严实的逻辑推理和论证的基础之上的，即即是上帝的存在问题他们
也要试图用严实的辩证法和逻辑来赐予证明。

西方哲学家侧重推理论证和追求因
果联系的理性主义的思想习惯一旦与面向感性世界的经验主义和实验科学相联合
将极大地促使自然科学的发展。

中国传统哲学自孔子以来就培育了一种深沉的
“适用理性精神”，老是同做人即人品涵养联系在一同，所以有关人性论和涵养
论的内容最为丰富。

哲学家提出任何一种学说都要说明它对做人
的意义，都要知足为政治实践和道德实践服务的现实需要，这类纯功利主义的
思想方式和习惯与西方哲学自己所固有的为学术而学术的思想方式和习惯是天
壤之别的。

这类思想方式与要求严实推理和论证的数学思想方式也是水火不容
的。

这类思想方式和习惯不利于近代自然科学在中国的盛行和发展。

整体看来，从古代、近代到现代 ,数学一直影响着哲学 ,哲学家或许用数学成就来论证其哲学思想 ,或许对数学的成就进行抽象归纳 ,成立其哲学理论。

在古代 , 哲学家的任务是探究宇宙的神秘。

在近代 ,哲学家的任务是探究认识规律和人的认识界线。

在现代 ,数学对哲学有着宽泛而深刻的影响。

所以，数学哲学作为一
中艺术，很有其存在的价值。

参照文件
【 1】m.克莱因，古今数学思想，张理京译，上海科学技术第一版社，
1979 年 10 月初版第一卷。

【 2】汤彬如，学习恩格斯研究数学的方法，南昌教育学院学报，第 16
卷，第一期。

【 3】弗加第米尔，后现代数学思想的本源，复旦大学第一版社，
2005 年 3 月初版。