湘教版高中数学必修二重点教案第课时正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理（1）
教学目的：
⑴使学生掌握正弦定理
⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具
：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由
已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？ ——提出课题：正弦定理、余弦定理
二、讲解新课：
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即
A a sin =
B b sin =C
c
sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=
c a ，sinB=c
b
， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=C
c
sin ． ∴
A a sin =
B b sin =C
c sin 2．斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1
sin 21sin 2
1==
两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C
c
sin
证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴
R CD D
a A a 2sin sin === 同理
B b sin =2R ，C
c
sin ＝2R 证明三：（向量法）
过A 作单位向量j 垂直于AC 由 AC +CB =AB
a b
c
O
C
A
D
两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB 则j •AC +j •CB =j •AB
∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=|j |•|AB |cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理，若过C 作j 垂直于CB 得：
C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C
c
sin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:
⑴若A 为锐角时:
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )
( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解
A b a
已知边a,b 和∠A
有两个解
仅有一个解无解
CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA
⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)
( b a 锐角一解无解b a
三、讲解范例：
例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：0030,45,10===C A c Θ ∴00105)(180=+-=C A B
由C c
A a sin sin =得 21030
sin 45sin 10sin sin 0
0=⨯==C A c a
由
C
c
B b sin sin =
得 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 00
0+=+⨯==⨯==C B c b
例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆
解：∵213
60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b
00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，Θ
∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===
∆
解：2
3
245sin 6sin sin ,sin sin 0=
⨯=
=∴=a
A c C C c A a Θ 0012060,sin 或=∴<<C c a A c Θ
1360
sin 75sin 6sin sin ,75600
+==
===∴C
B
c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,1512000
-=====∴C B c b B C 时，当
或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b
例4 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC
分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为
DBC
DC
BDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin =
=，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论
证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：
ABD ADB
AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin =
=即 在△BCD 内，利用正弦定理得：
.sin sin ,sin sin DBC BDC
DC BC DBC DC BDC BC ==即
∵BD 是B 的平分线
∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°
∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC
∴CD BC
DBC BDC ABD ADB AD AB
=
==sin sin sin sin ∴DC
AD
BC
AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用
四、课堂练习：
1在△ABC 中，
k C
c
B b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A2R B R C4R D R 2
1
(R 为△ABC 外接圆半径)
2△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )
A 直角三角形
B 等腰直角三角形
C 等边三角形
D 等腰三角形 3在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 4在△ABC 中，求证：2
2221
12cos 2cos b
a b B a A -=- 参考答案：1A ，2A 3C
4
B b A a sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒2
2)sin ()sin (b
B a A =
⇒2222sin sin b B a A =⇒2
22cos 12cos 1b B
a A -=
- ⇒
2
2221
12cos 2cos b a b B a A -
=- 五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业： 1在△ABC 中，已知
)
sin()
sin(sin sin C B B A C A --=
，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ） cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B 2cos2B ＝cos2A ＋cos2C
22cos 122cos 122cos 12B
A B -+
-=-⋅
∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2
C 由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2
即a 2，b 2，c 2
成等差数列 七、板书设计（略） 八、课后记：。