弹性力学1圆孔的孔口应力集中

2
2
由以上应力分量式（b） ，显然是满足的，对待定系数问题 的解决没作用。
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
（2）在原点附近，可以看成是一段小边 界。在此小边界处，有面力的作用，而面力 可以向原点简化为作用于原点的主失量为 F ，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来
进行处理，以点O为中心，以 为半径作圆
对于集中力垂直于边界面的情况，直接令上式中的力作用角
度 为0，可得到其应力解答式 。



2F
p
cos
,
f f 0
第四章 平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力



2F
p
cos
,
f f 0
代入坐标变换式（4-8），可求出直角坐标系中的应力分量表达





(1

)

第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
（3）将应力函数代入极坐标中的相容方程，并求解常
微分方程（欧拉方程）得应力函数的具体形式：
f ()cos 2
代入相容方程（4-6）
cos
2υ[
d4 f d ρ4

2 ρ
d3 f d ρ3

9 ρ2
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
将应力分量表达式（含待定常数）带入上述边界方程（第1、2式
），求得待定常数 C 和 D，并带入（b）式；
D F cos , C F sin
p
p



2F
p
(cos

cos

sin

sin
)
0
弧线abc，在原点附近割出一小部分包含局
部边界的脱离体 Oabc，然后考虑此脱离体
的平衡条件，得到三个平衡方程：
p 2
Fx 0, p 2 ( ) d cos ( ) d sin F cos 0
p 2
力扰动已小于q 值的 5%，可忽略不计。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
小孔口应力集中特点小结及本节内容的推广应用
1.小孔口的应力集中现象（圆孔、非圆孔）共同的特点：
（1）集中性--孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近
应力>>无孔时的应力。
（2）局部性--应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径 范围内。此区域外的应力扰动，一般<5%。
分析第4种情况时（只在左右两边受均布拉力q），圆孔
附近的应力状态——环向应力
1. 在 y 轴上（f= p/2），环向正应力为

q(1
1 2
r2
2

3 2
r4
4
)
在 y 轴上，环向正应力在孔边达到最大值 3q，随着远离
孔边而急剧趋近于q ；
2.
在
x
轴上（
f=0 ），环向正应力为

q 2
（2）求出孔心处的主应力1、2和主方向； （3）然后可简化为，在两个方向分别受均布拉力q1=1、 q2=2的远处应力场作用下，用叠加法求小孔口附近的应
力集中问题。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
半平面体的解答常用于地基等实际工程问题。 如图，半平面体受集中力 F （单位厚度上的力）的作用 ，采用半逆解法求解。
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
“小孔口问题”应符合两个条件：（1）孔口尺
寸远小于弹性体的尺寸，这使孔口的存在所引起的
应力扰动只局限于一个小的范围内；（2）孔边距
离弹性体边界比较远（约大于1.5倍的孔口尺寸）
，这使孔口与边界之间不发生相互干扰。
max
在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现
（1）第一部分是四周受均布拉力(q1 + q2)/2； （2）第二部分是左右两边受均布拉力(q1 - q2)/2和上 下两边受均布压力(q1 - q2)/2。
＝
＋
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
（1）对于第一部分荷载，可应 用前面第1种情况的解答，并将 其中的 q 替换为 (q1 + q2)/2；
对于第一部分荷载，可应用前面第1种情况的解
答，并将其中的 q 替换为q/2；
对于第二部分荷载，可应用前面第2种情况的解答
，并将其中的 q 替换为q/2；
根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得 在原荷载作用下的应力分量解答式（4－43） 。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
略去应力函数中与应力分布无关的一次式，得到式(4-20)的应
力函数。
(C cos D sin )
3、由应力函数求应力分量
代入应力分量表达式（4-5），得式（b）。


1




1
2
2
2

2

(D cos
C sin )


2
2

0




d2 f d ρ2

9 ρ3
d d
f ] ρ
0
除去 cos 2υ ，为欧拉方程，得解
f
( ρ)

Aρ4

Bρ2

C

D ρ2
A、B、C、D为待定常数，带入得


cos
2 ( Aρ4

Bρ2

C

D ρ2
)
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
（4）由应力函数求应力分量：代入方程，可得应力分
f ()
2、代入相容方程（4-6），求应力函数

2
2

1




1
2
2
2
2

1 4 f ()
[
3 4
2 2 f () 2

f ()] 0
解此4阶常系数齐次线性微分方程，得：
f () Acos B sin (C cos D sin )
量表达式。
（5）考察内外边界处的边界条件，并考虑到 R 远大于
r 令 r 0 ，确定四个待定常数A、B、C、D为：
R
A 0, B q, C qr2 , D q r4
2
2
代入应力分量表达式，得最终解答式（4-18）。
σρ

q cos 2υ(1
r2 ρ2
)(1 3
r2 ρ2
式（4-23）。
x

cos2
2F
p
cos3
x

sin2
（一）应力分量 （二）应变及位移分量
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
（一）应力分量
1、根据量纲分析方法来假定应力分量的函数形式
应力分量(L-1MT-2)比集中力(MT-2)的长度量纲低一次幂，而应
力函数又比应力分量(L-1MT-2)的长度量纲高二次幂，因此可假
定应力函数是环向坐标 的某一函数乘以极半径 ：

(1

)


0
第四章 平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
4、考察边界条件 由于集中力作用在原点，本题的边界
条件应分为两部分考虑：
（1）不包含原点，则在≠0 ， f= ±p/2
的边界面上，没有任何法向和切向面力 作用，因而应力边界条件为
p , 0 0 , 0 p , 0
象，它具有两个特点：（1）孔附近的应力高度集
中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大

于无孔时的应力。（2）应力集中的局部性，由于 应力集中系数：
孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔
K max
边1.5倍的孔口尺寸（如圆也直径）的范围内，在

此范围之外，可以忽略不计。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
（2）对于第二部分荷载，可应 用前面第2种情况的解答，并将 其中的 q 替换为 (q1 - q2)/2；
根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得 在原荷载作用下的应力分量解答。
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
4. 只在左右两边受均布拉力q 根据第三种情况，可将荷载分解为两个部分：第一部 分是四周受均布拉力q/2；第二部分是左右两边受均 布拉力q/2和上下两边受均布压力q/2；
应力问题，下面采用半逆解法来进行求解。 （1）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式：
f1()cos 2 或 f2()sin 2
（2）代入极坐标中应力分量与应力函数的关系，得应
力函数的一般形式如下：


1




1
2
2
2

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
f ()cos 2
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
根据4.6节中圆环只有外压力作
用时的解答式，可取内、外压力分
别为 q1=0 ，q2=-q，代入得
r2
1

1
2
r2
q,
R2
r2
1

1
2
r2
q
R2
由于 R 远大于 r ，上式可化简为


q(1
r2
2
),


q(1
代入应力分量坐标变换式(4-7)，得大圆
周上极坐标应力分量为（外边界条件）
R q cos 2 , R q sin 2
在孔边处的边界条件为（内边界条件）
r 0, r 0
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称
代入应力函数，得
A cos B sin (C cos D sin )
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
A cosf B sinf f(C cosf Dsinf)
其中前两项： A cosf B sinf Ax By
分四种情况讨论圆孔口的一些解答 （1）双向均布拉力
（2）均布拉力和压力 （相等和不相等两种情况）
（3）只有x向的均布拉力。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
1. 距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力
由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极坐 标系求解。
以坐标原点为圆心，以远大于 r 的长度 R
r2
2
)
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
2. 距圆孔较远处的左右两边受均布拉力 q、上下两边受
均布压力 q
以坐标原点为圆心，以远大于 r 的长度 R
为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，
在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，
即 x q, y q, xy 0
r2
2
(3
r2
2
1)
在 x 轴上，环向正应力在孔边达到最小值 –q ，在 3r
处变为0，即在此段距离内应力变号，成为压应力；此后
，随着远离孔边而又变为拉应力，并逐渐趋近于0；
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
3. 在 x 轴上（ f=0 ）或 y 轴上（ f= p/2 ），分析可得，在 距离圆孔为1.5倍孔口尺寸时（ =4r ），由于圆孔引起的应
Fy 0, p 2 ( ) d sin ( ) d cos F sin 0
p 2
M o 0, p 2 ( ) d 0 脱离体上的应力必须按照正的方向标上； 选择一个正方向（以坐标轴方向为正向）列力的平衡方程式。
（3）孔口应力集中与孔口形状有关，圆孔应力集中程度 最低，凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈 大。因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
2. 应用推广：任意形状的薄板，受任意面力，在距离边 界较远处开有小孔，要知道孔口附近应力分布时，均可 近似为无限域中的孔口问题，即： （1）假设无孔，求出结构在孔心处的应力；
)

r4 συ q cos 2υ(1 3 ρ4 )

τ ρυ

q sin
2υ(1
r2 ρ2
)(1
3
r2 ρ2
)
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
3. 距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q1、上下两边 受均布拉力q2 根据解的叠加原理，可将荷载分解为两个部分：
为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，
在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，
即
x y q , xy 0
代入应力分量坐标变换式(4-7)，得大圆周上的极坐标应力分
量为
q , 0
求解圆孔附近应力分布问题就转化为一个新问题：内半径为 r、外
半径为 R 的圆环或圆筒在外边界受均布拉力的轴对称应力问题