数学中减元的一些解题策略

数学中减元的一些解题策略
这里所谓的广义减元不仅是指减少变元的个数，而且还包括降低变元的次数以及减少变元出现的频率等，由于广义减元策略的应用融汇于多种数学方法之中，掌握了它，就能较大地提高数学问题解决的能力。

1、 多化少减元
（1） 少化多减元
在应用待定系数法解题时，有的问题根据题目的特点，可以使待定的系数尽量减少，例如三个数成等差一般可设为：a-d 、a 、a+d ，四个数成等差可设为：a-3d 、a-d 、a+d 、a+3d ，同样三个或四个数成等比则可设为：q a 、a 、aq 和3q
a 、q a 、aq 、a 3q ，这样就把原来是三个或四个变元的问题变成仅有两个变元了。

再如求椭圆或双曲线的标准方程时，若已知离心率，则方程可设成含a 或
b 之一的形式，若已知双曲线的渐近线方程x a b y ±
=，则双曲线方程可设为λ=-2222y a x b 的形式，这样就有把含有两个未知量的问题转化成仅有一个变量的问题。

（2） 消元减元
解方程时，一般是通过代入消元或加减消元法使变元逐渐减少，直至化成一元一次或一元二次方程。

对于有些数列中在n n s a 与并存的情况下，往往可以用)2(1≥-=-n s s a n n n 减元，将表达式转化为仅含有n a （或n ｓ）的递推关系。

而系数列求和中的消项法，就是通过裂项，消掉中间的一些变元后化简或求值的。

例如：设数列{n a }的前n 项和为ｎｓ(n ∈N+),已知-=n n a ｓ2n+1，
（1）求数列{n a }的通项公式。

（2）求∞→n lim )21...4121(1
3221++++n n n a a a a a a 。

（1）首先利用)2(1≥-=-n s s a n n n ），将含n a 、n s 、n 年的关系式减元转化为1211+=+n n a a 的形式。

再通过构造得出新等比数列{n a -2}，从而可求出n a =2-n )2
1(１。

（2）从原式直接求和很难计算，若将通项拆开成为12112121211---=+++n n n n n a a 的形式，就可以消项减元将其化为3
1)12131(lim 2=--+∞→n n （3）分离变量减元
在一个表达式中有两个变量，有时可以通过其中一个的变化来确定另一个的变化范。