2013年高一数学新课标人教A版必修四《1.3-2三角函数的诱导公式》课件2

【变式 3】 已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，

求sin

α＋32πsin
32π－α·tan22π－αtan

π－α÷


cos

π2－α·cos
π2＋α的值．
解 由 5x2－7x－6＝0 得，x1＝－35，x2＝2，
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题型一 利用诱导公式求值 【例 1】(1)已知 cos (π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cos2π＋α 的值． (2)已知 cos π6－α＝13，求 cos 56π＋α·sin 23π－α的值． [思路探索] 利用互余、互补的角的诱导公式解题．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
【变式 1】 已知 sin π6＋α＝ 33，求 cos π3－α的值．
解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴3π－α＝2π－π6＋α.
∴cos 3π－α＝cos 2π－π6＋α
＝sin
π6＋α＝
3 3.
题型二 利用诱导公式证明恒等式
第2课时 诱导公式五、六
【课标要求】 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六． 2．掌握五组诱导公式并灵活运用． 【核心扫描】 1．诱导公式五、六的推导．(重点) 2．灵活运用诱导公式进行化简、求值与证明．(难点) 3．公式记忆．(易混点)
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
(2)当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1(n∈Z)．
同理可得左边＝－1，综上原等式成立．
题型三 诱导公式的综合应用
【例 3】
已知
sin f(α)＝
αc－os3π－cπo－s 2απs－inα－sinπ－－αα＋32π.
(1)化简 f(α)；
(2)若 α 是第三象限的角，且 cos α－32π＝15，求 f(α)的值； (3)若 α＝－331π，求 f(α)的值．
解 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12，
∴cos α＝12，又 α 为第一象限角．
则 cos 2π＋α＝－sin α＝－ 1－cos2α
＝－
1－122＝－
3 2.
(2)cos 56π＋α·sin 23π－α＝cosπ－6π－α·sin π－π3＋α ＝－cos 6π－α·sin π3＋α
【变式 2】 求证：对任意的整数 k，
sin sin
2k＋2 1π－α·cos 2k＋2 3π＋α·cos
22kk＋ －22 11ππ＋ －αα＝－1.
证明
sin 左边＝
sin
kπ＋2π－αcos kπ＋32π＋αcos
＝sin－－tanπ2－α·α－csoisn
α·cos α －π2－α
＝ －sin
sin2α π2－αcos
π2－α
＝－cossinα2·αsin α
＝－csoins αα＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活 应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一 边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同 一个式子．(3)凑合法：即针对设与结论间的差异，有针对性 地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
kπ＋2π＋α kπ－2π－α
(1)当 k 为偶数时，设 k＝2n(n∈Z)
∴左边
＝sinsin32ππ2＋－ααccooss
π2＋α －π2－α
＝－sincosπ2＋α－αcsoins απ2＋α＝－cocos sαα－－sisninαα ＝－1.
审题指导 本题充分利用诱导公式进行化简求值．
[规范解答] (1)f(α)＝－sin－αc·coossααs·i－n αcos α＝－cos α. (4 分)
(2)∵cos α－32π＝－sin α，∴sin α＝－15， 又 α 是第三象限的角，
∴cos α＝－ 1－－152＝－25 6，
＝－13sin π2－6π－α＝－13cos π6－α＝－19.
规律方法 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这 类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α 与π6＋ α，3π＋α 与6π－α，4π－α 与4π＋α 等互余，3π＋θ 与23π－θ，π4＋θ 与 34π－θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于 利用角的变换的思想方法解决问题．
所以 sin α＝－35.
原式＝－cos
α·－cos α·tan2α·－tan sin α·－sin α
α
＝tan α＝±34.
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
【例 2】
tan 求证：
2πsi－n ααc＋os32π32cπo－s ααc＋os32π6π－α＝－tan
α.
[思路探索] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行
化简推出右边．
证明
左边＝ sin
tan －α·－sin α·cos －α 2π－π2－α·cos2π－π2－α
名师点睛 1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别 等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原 函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”．
2．六组诱导公式的记忆 (1)公式一～六形式虽然有所不同，但其作用是一样的，都能起 到化简、求值的作用． (2)六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的形式．当 k 为偶数时，得 α 的同名函数值；当 k 为奇数时，得 α 的异名函 数值，然后前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号． (3)诱导公式统一成“k·π2±α(k∈Z)”后，记忆口诀可记为“奇变 偶不变，符号看象限”．
∴f(α)＝2
6 5.
(8 分)
(3)f－331π＝－cos －313π＝－cos－6×2π＋53π＝－cos 53π＝
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.