2.7 勾股定理的应用

2.7 勾股定理的应用
[趣题导学]
你知道吗？勾股定理从被发现至今已有五千多年的历史了.东方的几个文明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组.古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理.我国也是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中.相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理.国外人通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
[双基锤炼]
一、选择题
1、等腰直角三角形三边长度之比为（）
A.1：1：2
B. 1：1：2
C. 1：2：3
D.不确定
2、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为
（ ）
A.18 cm
B.20 cm
C.24 cm
D.25 cm
3、一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角
0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是（ ）
A. 1.5m
B. 0.9m
C. 0.8m
D. 0.5m
4、如图2.7-1，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC
的长分别为6和8，现将直角边AC 沿AD 折叠，
使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
5、一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，
由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为 （ ）
A.440 m
B.460 m
C.480 m
D. 500 m
A
C
B
D
E
图
二、填空题
6、如图2.7-2，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，AD=12，AC=13，BC=14. 则AB=_____.
7、如图2.7-3是一个育苗棚，棚宽a=6m ， 棚高b=2.5m ，棚长
d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m 2
、 8、在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图
2.7-4所示，地毯的长度至少需要___________m 、
9、小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同
一地点分别向东、南练习跑步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m.16
10、王刚的身高为1.70m ，现想摘取高5.70m 处的一个椰子，为
了安全需要，使梯子底端离椰树根部3m ，那么梯子较合适的长度是__________m. 三、解答题
11、如图2.7-5，△ABC 中，AB=15cm ，AC=24cm ，∠A=60°，求
A
B
C
D
图
b
d a 图
13
5m
图
BC 的长.
C
B
A
图
2.7-5
12、甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1小时，甲往东走了4km ，乙往南走了6km 、
⑴这时甲、乙两人相距多少km ？
⑵按这个速度，他们出发多少小时后相距13km ？
D
C
B
A
[能力提升] 一、综合渗透
1、如图2.7-6，AD ⊥CD,AB=10,BC=20, ∠A=∠C=30°,求AD 、CD 的长.
2、第七届国际数学教育大会的会徽如图2.7-7.它的主题图案是
由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积.
OA 1
OA 2
OA 3
OA 4
OA 5
OA 6
OA 7
OA 8
二、应用创新
1、如图 2.7-8,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到
图
A ·
3
2 2
B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？
2、如图2.7-9，在正方形ABCD 中，E 为AD 的三等分点，且AE=1
3
AD ，
G 为DC 上一点，且DG ：GC=2：7，那么BE 与EG 垂直吗？为什么？
G
E
D C
B
A
图
2.7-9
3、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小
树，两树之间相距12米.今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）
4、如图2.7-10所示的一块土地，经测量可知AD=12m，CD=9 m，
∠ADC=90°，AB=39 m，BC=36 m，根据测量出的数据，你能
求出这块土地的面积吗？
A
D
C B
图2.7-10
三、探究发散
1、一块长4m，宽2.18m的薄木板能否从一个宽1m、高2m的门
框内通过？试说明理由、
2、如图2.7-11，一个高18m，周长5m的圆柱
形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小
坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)
[链接中考]
1、如图2.7-12是一块长、宽、高分别是6cm，
4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到
长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）
图图
A.cm
85 B. cm
97 C. 109cm D. cm
9
2、如图2.7-13，将一根25㎝长的细木棒放入长、
宽、高分别为8㎝、6㎝和3㎝的长方体无
盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是㎝、
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、B
2、D
3、C
4、B
5、C
二、填空题
6、15
7、65
8、17
9、16 10、5
三、解答题
11、解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=60°，图
A D
∴∠ACD=90°—∠A=90°—60°=30°. ∴AD=()112412.22
AC cm =⨯=
222222412432,
1512 3.
CD AC AD DB AB AD =-=-==-=-=
在Rt △BDC 中，()22223432441,21.BC DB CD BC cm =+=+=∴= 12、（1）13（2）
13
2
[能力提升] 一、综合渗透
1、解：过点B 分别向作两边AD 、CD 的垂线BE 、BF.
在Rt △ABE 中，∵∠A =30°，∴BE=12
AB=5.
∴22221057553AB AE -=-= 在Rt △CBF 中，∵∠C =30°，∴
BF=1
2
BC=10.
∴22222010300103BC BF -=-== 在矩形BEDF 中，DF=BE=5，DE=BF=10. ∴AD=AE+ED==53＋10；CD=CF+DF ＝103＋5.
2、
F
图2.1-2
C
B
OA 1
OA 2 OA 3 OA 4 OA 5
OA 6
OA 7 OA 8
2
3
2
5
6
7
22
3
这823256
72237270=
二、应用创新 1、25dm
2、 解：连接BG ，设2,DG a =则7,9.GC a DC a AD =∴==
∴11
93.33
AE AD a a =
=⨯=则936.ED a a a =-= ∴在Rt△ABE 中，
()()2
2
22229390;BE AB AE a a a =+=+=
在Rt △EDG 中，
()()2
2
22226240;EG ED DG a a a =+=+=
在Rt△BC G 中，同理可得()()222297130.BG a a a =+= ∴222.BG BE EG =+
∴△BEG 是以BG 为斜边的直角三角形，即∠BEG=90°，
∴BE ⊥EG.
3、如右图所示，作DE ⊥AB 于E ，则DE=BC=12，
12
83
12
B
D
E
第3题
B
D
A G
E 第4
BE=CD=3 ，
∴AE=8—3=5. 在Rt△A DE 中，
222251213.AD AE DE =+=+=
∴小鸟飞行的最短距离是13米. 4、解：连结AC.在Rt △ADC 中，
22222129225,15.AC CD AD AC =+=+=∴=
在△ABC 中，222221521,15361521.AB AC BC =+=+= ∴2220,90AB AC BC ACB =+∴∠=， ∴1
122
ABC ACD S S AC BC AD CD ∆∆-=-
()211
15361292705421622
m =⨯⨯-⨯⨯=-=. 答：这块土地的面积是216平方米. 三、探究发散
15 2.236≈.
因为2.18 2.236<，所以木板能从门框内通过. 2、19.5m [链接中考] 1、B 2、5
B
D
第4。