2019-2020学年北京市昌平区初二下期末监测数学试题含解析

2019-2020学年北京市昌平区初二下期末监测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．从﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3这六个数中，随机抽取一个数记作a ，使关于x 的分式方程26122-=--a x x x x 有整数解，且使直线y ＝3x+8a ﹣17不经过第二象限，则符合条件的所有a 的和是（ ） A ．﹣4 B ．﹣1 C ．0 D ．1
3．一次函数35y x =-+的图象经过（ ）
A ．第一、三、四象限
B ．第二、三、四象限
C ．第一、二、三象限
D ．第一、二、四象限
4．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF ＝20°，则∠DEF 的度数是( )
A ．25°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
5．小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是（ ）
A ．1.65米是该班学生身高的平均水平
B ．班上比小华高的学生人数不会超过25人
C ．这组身高数据的中位数不一定是1.65米
D ．这组身高数据的众数不一定是1.65米
6．将抛物线 y=x 2向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．y=（x ﹣2）2+3
B ．y=（x ﹣2）2﹣3
C ．y=（x+2）2+3
D ．y=（x+2）2﹣3
7．一个多边形的每个内角都等于108°，则这个多边形的边数为（ ）．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 821
x +x 的取值范围是（ ）
A ．12x ≠-
B ．12x >-
C ．21x ≥-
D ．12
x >-且0x ≠ 9．如图，ABCD 的周长为18，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，5BD =，则DOE ∆的周长为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．已知43,3x y x y +=-=，则式子44xy xy x y x y x y x y ⎛
⎫⎛⎫-++- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭
的值是( ) A ．48
B ．23
C ．16
D ．12 二、填空题 11．正n 边形的一个外角的度数为60°，则n 的值为 ．
12．当x ＝4时，二次根式4x -的值为______．
13．一组数据15、13、14、13、16、13的众数是______，中位数是______.
14．．若2m= 3n ，那么m ︰n= .
15．正方形的一边和一条对角线所成的角是________度．
16．若不等式组341x x x m
+<-⎧⎨>⎩的解集是2x >，则m 的值是________. 17．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，E 是BC 上一点（不与B 、C 重合），点P 在边CD 上运动，M 、N 分别是AE 、PE 的中点，线段MN 长度的最大值是_____．
三、解答题
18．已知：如（图1），在平面直角坐标中，A(12，0)，B(6，6)，点C 为线段AB 的中点，点D 与原点O 关于点C 对称．
（1）利用直尺和圆规在（图1）中作出点D 的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA 的形状，并说明理由；
（2）在（图1）中，动点E 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA 运动，到达点A 时停止；同时，动点F 从点O 出发，以每秒a 个单位的速度沿OB→BD→DA 运动，到达点A 时停止．设运动的时间为t （秒）．
①当t=4时，直线EF 恰好平分四边形OBDA 的面积，求a 的值；
②当t=5时，CE=CF ，请直接写出a 的值．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、 F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线.过点有作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G.
(1)求证：△ADE ≌△CBF ；
(2)若∠G=90° ,求证:四边形DEBF 是菱形.
20．（6分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，点O 是EF 中点，连结BO 井延长到G ，且GO ＝BO ，连接EG ，FG
（1）试求四边形EBFG 的形状，说明理由；
（2）求证:BD ⊥BG
（3）当AB ＝BE ＝1时，求EF 的长，
21．（6分）已知：如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m y x =
（0x >）的图象交于点P .PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B . 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且27DBP S ∆=，12OC CA =.
（1）求点D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
22．（8分）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BF ＝DE,
⑴求证：四边形AECF 是菱形．
⑵若AB ＝2，BF ＝1，求四边形AECF 的面积．
23．（8分）（1）解不等式组：356
1162x x
x x <+⎧⎪+-⎨≥⎪⎩； （2）因式分解：（x ﹣2）（x ﹣8）+8；
（3）解方程：124x -+12＝32x
-； （4）解方程：（2x ﹣1）2＝3﹣6x ．
24．（10分）如图，点O 为等边三角形ABC 内一点，连接OA ，OB ，OC ，将线段BO 绕点B 顺时针旋转60°到BM ，连接CM ，OM ．
（1）求证：AO ＝CM ；
（2）若OA ＝8，OC ＝6，OB ＝10，判断△OMC 的形状并证明．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数(0)k y x x
=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点B 的横坐标为a （a ＞1）
（1）求k 的值
（2）若△ABD 的面积为4；
①求点B 的坐标，
②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．A
【解析】
【分析】
【详解】
解： B 、C 、D 都是轴对称图形，即对称轴如下红色线；
故选A ．
【点睛】
此题考查轴对称图形和中心对称图形的概念．
2．B
【解析】
【分析】
先求出满足分式方程条件存立时a 的值，再求出使直线y ＝3x+8a ﹣17不经过第二象限时a 的值，进而求出同时满足条件a 的值．
【详解】 解：解分式方程
26122-=--a x x x x 得： x ＝﹣41
a +，
∵x 是整数，
∴a ＝﹣3，﹣2，1，3； ∵分式方程26122-=--a x x x x
有意义， ∴x ≠0或2，
∴a ≠﹣3，
∴a ＝﹣2，1，3，
∵直线y ＝3x+8a ﹣17不经过第二象限，
∴8a ﹣17≤0
∴a ≤178
， ∴a 的值为：﹣3、﹣2、﹣1、1、2，
综上，a ＝﹣2，1，
和为﹣2+1＝﹣1，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质以及分式方程的解的知识，解题的关键是掌握根的个数与系数的关系以及分式有意义的条件，此题难度不大．
3．D
【解析】
【分析】
由一次函数的解析式判断出k 、b 的值，再直接根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】 解：一次函数35y x =-+中，30k =-<，50b =>，
∴此一次函数的图象经过一、二、象限．
故选：D
【点睛】
本题考查一次函数的性质和直角坐标系，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质.
4．D
【解析】
【分析】
首先根据题意证明CBE CDE ∆≅∆,则可得CBE CDE ∠=∠ ,根据∠CBF ＝20°可计算的BFC ∠ 的度数，再依据BFC DEF EFD ∠=∠+∠ 进而计算∠DEF 的度数.
【详解】
解： 四边形ABCD 为正方形
∴ BC=DC
ACB ACD ∠=∠
EC=EC
∴ CBE CDE ∆≅∆
∴ 20CBE CDE ︒∠=∠=
在直角三角形BCF 中，90902070BFC CBF ︒︒︒︒∠=-∠=-=
BFC DEF EFD ∠=∠+∠
∴∠DEF=50°
故选D.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，是基本知识点，应当熟练掌握.
5．B
【解析】
根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进行分析即可：
A 、1.65米是该班学生身高的平均水平，正确；
B 、因为小华的身高是1.66米，不是中位数，所以班上比小华高的学生人数不会超过25人错误；
C 、这组身高数据的中位数不一定是1.65米，正确；
D 、这组身高数据的众数不一定是1.65米，正确．
故选B ．
6．A
【解析】
【分析】
直接根据平移规律，即可得到答案.
【详解】
解：将抛物线y=x 2向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，
得：y=（x ﹣2）2+3；
故选项：A.
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．A
【解析】
试题分析:设这个多边形边数为n，则根据题意得：（n-2）×180°=108n，解得:72n=360，所以n=1．故本题选A．
考点：多边形内角和公式．
8．B
【解析】
【分析】
二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数，此外还需考虑分母不为零．
【详解】
有意义，则2x+1＞0，
∴x的取值范围为
1
2 x>-．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．A
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题
【详解】
解：平行四边形ABCD的周长为18，
9
BC CD
∴+=，
OD OB
=，
1
2
DE EC CD
==，
∴
1
=
2
OE BC
19
()
22 OE DE BC CD
∴+=+=，5
BD=，
1522
OD BD ∴=
=， DOE ∴∆的周长为95722+=， 故选A ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
10．D
【解析】
【分析】
先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可．
【详解】 解：44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭
=22()4()4x y xy x y xy x y x y
-++-⋅-+ =22
()()x y x y x y x y
+-⋅-+ =（x+y ）(x-y),
当x y x y +=-=
=12，
故选：D.
【点睛】
本题考查分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
二、填空题
11．1
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵正n 边形的一个外角的度数为10°，
∴n=310÷10=1．
故答案为：1．
12．0
【解析】
【分析】
直接将4x =，代入二次根式解答即可．
【详解】
解：把x ＝4代入二次根式4x -＝0，
故答案为：0
【点睛】
此题主要考查了二次根式的定义，直接将4x =代入求出，利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键．
13．13 13.5
【解析】
【分析】
这组数据中出现次数最多的数为众数；把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个，那么中间两个数的平均数即是中位数由此解答．
【详解】
解：∵15、13、14、13、16、13中13出现次数最多有3次，
∴众数为13，
将这组数从小到大排列为：13，13，13，14，15，16，最中间的两个数是13，14，所以中位数=（13+14）÷2=13.5
故答案为：13；13.5.
【点睛】
此题主要考查了中位数和众数的含义．
14．3︰2
【解析】
【分析】
根据比例的性质将式子变形即可.
【详解】
23m n =，
32
m n ∴=，
故答案为： 3︰2
点睛：此题考查比例的知识
15．45
【解析】
【分析】
正方形的对角线和其中的两边长构成等腰直角三角形，故正方形的一条对角线和一边所成的角为45度．【详解】
解：∵正方形的对角线和正方形的其中两条边构成等腰直角三角形
∴正方形的一条对角线和一边所成的角是45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质．
16．2
【解析】
【分析】
分别求出每个不等式的解集，取共同部分，即可得到m的值.
【详解】
解：
341
x x
x m
+<-
⎧
⎨
>
⎩
，解得：
4
3
x
x m
⎧
>
⎪
⎨
⎪>
⎩
，
∵不等式组的解集为：2
x>，
∴m2
=;
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了由不等式组的解集求参数，解题的关键是根据不等式组的解集求参数. 17．5
【解析】
【分析】
由条件可先求得MN=1
2
AP，则可确定出当P点运动到点C时，PA有最大值，即可求得MN的最大值
【详解】
∵M为AE中点，N为EP中点∴MN为△AEP的中位线，
∴MN=1
2
AP
若要MN最大，则AP最大．
P在CD上运动，当P运动至点C时PA最大，此时PA=CA是矩形ABCD的对角线
MN的最大值=1
2
AC=5
故答案为5
【点睛】
此题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，解题关键在于先求出MN=AP 三、解答题
18．（1）四边形OBDA是平行四边形，见解析；（2）①2+3
2
2
，②
627
-
或
627
+
或
122712
-+
【解析】
【分析】
（1）作射线OC，截取CD=OC，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形进行可得到四边形的形状；（2）①由直线EF恰好平分四边形OBDA的面积可知直线EF必过C，接下来，证明△OEC≌△DFC，从而可求得DF的长度，于是得到BF=2，然后再由两点间的距离公式求得OB的长，从而可求得a的值；
②先求得点E的坐标，然后求得EC的长，从而得到CF1的长，然后依据勾股定理的逆定理证明∠OBA=90°，在△BCF1中，依据勾股定理可求得BF1的长，从而可求得a的值，设点F2的坐标（b，6），由CE=CF列出关于b的方程可求得点F2的坐标，从而可求得a的值，在Rt△CAF3中，取得AF3的长，从而求得点F运动的路程，于是可求得a的值．
【详解】
解：（1）如图所示：
四边形OBDA是平行四边形．
理由如下：∵点C为线段AB的中点，
∴CB=CA．
∵点D与原点O关于点C对称，
∴CO=CD．
∴四边形OBDA是平行四边形．
（2）①如图2所示；
∴直线EF 必过C （9，3）．
∵t=1，
∴OE=1．
∵BD ∥OA ，
∴∠COE=∠CDF ．
∵在△OEC 和△DFC 中COE CDF OC OD OCE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△OEC ≌△DFC ．
∴DF=OE=1．
∴BF=4-1=2．
由两点间的距离公式可知OB=226
6+=62． ∴1a=62+2．
∴a=2+322
． ②如图3所示：
∵当t=3时，OE=3，
∴点E 的坐标（3，0）．
由两点间的距离公式可知22(95)(30)-+-．
∵CE=CF ，
∴CF=3．
由两点间的距离公式可知2，
又∵OA=4．
∴△OBA 为直角三角形． ∴∠OBA=90°．
①在直角△F 1BC 中，CF 1=3，2，
∴BF 17．
∴OF 1
∴a=
5
．
②设F2的坐标为（b，6）．解得；b=3（舍去）或b=5．
∴BF2=5-6=6．
∴OB+BF2+6．
∴a=
7
5
．
③∵BO∥AD，
∴∠BAD=∠OBA=90°．
∴AF3．
∴DF3．
∴OB+BD+DF3．
∴a=
12
5
．
综上所述a的值为
5
7
5
或
12
5
．
【点睛】
本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，两点间的距离公式求得F1B，F2D，F3A的长度是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明AE=CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=1
2
AB，CF=
1
2
CD，
在△ADE和△CBF中，
∵
AD BC
A C AE CF ⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∵DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，难度适中．
20．(1) 四边形EBFG是矩形;（2）证明见解析；（3
【解析】
【分析】
（1）根据对角线互相平分的四边形平行四边形可得四边形EBFG是平行四边形，再由∠CBF=90°，即可判断▱EBFG是矩形.
（2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知BD=CD,OB=OE,即可得∠C=∠CBD，∠OEB=∠OBE，由
∠FDC=90°即可得∠DBG=90°；
（3）连接AE，由AB＝BE＝1勾股定理易求
，结合已知易证△ABC≌△EBF，得
再由
勾股定理即可求出
【详解】
解：（1）结论：四边形EBFG是矩形. 理由：∵OE=OF，OB=OG，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵∠ABC＝90°即∠CBF=90°，
∴BD=CD
∴∠C=∠CBD ，
同理可得：∠OEB=∠OBE ，
∵DF 垂直平分AC ，即∠EDC=90°，
∴∠C+∠DEC=90°，
∵∠DEC=∠OEB ，
∴∠CBD+∠OBE=90°，
∴BD ⊥BG.
（3）如图：连接AE ，
在Rt △ABE 中，AB=BE=1，
∴222AB BE +=，
∵DF 是AC 垂直平分线，
∴AE=CE ，
∴2
∵∠CDE=∠CBF=90°，
∴∠C=∠BFE ，
在△ABC 和△EBF 中，
90C BFE ABC EBF AB EB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△EBF （AAS ）
∴BF=BC ，
在Rt △BEF 中，BE=1，2，
∴22221(12)BE BF +++422+.
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定、全等三角形判定和性质、勾股定理和直角三角形性质，解（2）题关键是通
21．（1）D 的坐标为()0,3；（2）332y x =-
+， 36y x
=-； （3）当6x >时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【解析】
【分析】 （1）本题需先根据题意一次函数与y 轴的交点，从而得出D 点的坐标．
（2）本题需先根据在Rt △COD 和Rt △CAP 中，
OC 1CA 2=，OD=3，再根据S △DBP =27，从而得出BP 得长和P 点的坐标，即可求出结果．
（3）根据图形从而得出x 的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵一次函数3y kx =+与y 轴相交，
∴令0x =，解得3y =，
∴D 的坐标为()0,3；
（2）∵,OD OA AP OA ⊥⊥，
∴90DOC CAP ∠=∠=︒，
又∵DCO ACP ∠=∠，∴Rt COD Rt CAP ∆∆∽， ∴12
OD OC AP CA ==， ∴3OD =，
∴6AP OB ==，
∴9DB OD OB =+=，
在Rt DBP ∆中，
272DB BP ⨯=，即9272BP =， ∴6BP =，
故()6,6P -，
把P 坐标代入3y kx =+，得到32k =-
， 则一次函数的解析式为：332
y x =-+； 把P 坐标代入反比例函数解析式得36m =-， 则反比例解析式为：36y x
=-
； （3）如图：
根据图象可得：33236y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解得：49x y =-⎧⎨=⎩ 或 66
x y =⎧⎨=-⎩ 故直线与双曲线的两个交点为()4,9-，()6,6-，
∵0x >，
∴当6x >时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．
22．（2）证明见解析；
（2）四边形AECF 的面积为4﹣2
【解析】
试题分析：（2）根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据 SAS ，可得△ABF 与△CBF 与△CDE 与△ADE 的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果；
（2）根据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，根据勾股定理，可得AC 、EF 的长，根据菱形的面积公式，可得答案．
试题解析：（2）证明：正方形ABCD 中，对角线BD ，
∴AB=BC=CD=DA ，
∠ABF=∠CBF=∠CDE=∠ADE=45°．
∵BF=DE ，
∴△ABF ≌△CBF ≌△DCE ≌△DAE （SAS ）．
AF=CF=CE=AE
∴四边形AECF 是菱形；
∴OA=OB=
2
BD =2． ∵BF=2， ∴OF=OB －BF=2－2．
∴S 四边形AECF =12AC•EF=11)42⨯=- 考点：2.正方形的性质；2.菱形的判定与性质．
23．（1）﹣3＜x≤2；（2）（x ﹣4）（x ﹣6）；（3） x ＝﹣5；（4）x ＝0.5或x ＝﹣1
【解析】
【分析】
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（2）先去括号、合并同类项化简原式，再利用十字相乘法分解可得；
（3）根据解分式方程的步骤计算可得；
（4）利用因式分解法求解可得．
【详解】
（1）解不等式3x ＜5x+6，得：x ＞﹣3， 解不等式1162
x x +≥﹣，得：x≤2， 则不等式组的解集为﹣3＜x≤2；
（2）原式＝x 2﹣10x+24
＝（x ﹣4）（x ﹣6）；
（3）两边都乘以2（x ﹣2），得：1+x ﹣2＝﹣6，
解得x ＝﹣5，
检验：x ＝﹣5时，2（x ﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x ＝﹣5；
（4）∵（2x ﹣1）2+3（2x ﹣1）＝0，
∴（2x ﹣1）（2x+2）＝0，
则2x ﹣1＝0或2x+2＝0，
解得x=0.5或x ＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法并结合方程的特点选择简便的方法是解题的关键．
24．（1）见解析 （2）直角三角形，证明见解析
【分析】
（1）根据“BO 绕点B 顺时针旋转60°到BM”可知∠OBM=60°，OB=OM ，即可证明△AOB≌△CMB，从而得到答案；
（2）由（1）可知AO=CM ，根据OB=BM ，∠OBM=60°，可知△OBM 为等边三角形，从而得到OB=OM ，根据勾股定理的逆定理即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵BO 绕点B 顺时针旋转60°到BM
∴∠OBM＝60°，OB ＝BM ，
∵△ABC 为等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB=CB
∴∠ABO+∠OBC=∠CBM+∠OBC=60°
∴∠ABO＝∠CBM，
在△AOB 和△CMB 中，
OB MB ABO CBM AB CB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△AOB≌△CMB（SAS ），
∴AO＝CM ．
（2）△OMC 是直角三角形；理由如下：
∵BO 绕点B 顺时针旋转60°到BM
∴∠OBM＝60°，OB ＝BM ，
∴△OBM 为等边三角形
∴OB=OM=10
由（1）可知OA=CM=8
在△OMC 中，OM 2＝100，OC 2+CM 2＝62+82＝100，
∴OM 2＝OC 2+CM 2，
∴△OMC 是直角三角形．
【点睛】
本题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和勾股定理的逆定理，能够利用全等三角形的性质与判定得出对应边和用勾股定理逆定理判定三角形的形状是解题的关键.
25．（1）1；（2）①（3，
43），②（3，163 ）；（3，83 ）；（3，-83 ） 【解析】
（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；
（2）①设AC，BD交于点M，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，结合AC⊥x轴，BD⊥y轴可得出BD，AM的长，利用三角形的面积公式结合△ABD的面积为1可求出a的值，进而可得出点B的坐标；
②设点E的坐标为（m，n），分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点E的坐标．
【详解】
解：（1）∵函数y=k
x
（x＞0）的图象经过点A（1，1），
∴k=1×1=1．
（2）①设AC，BD交于点M，如图1所示．
∵点B的横坐标为a（a＞1），点B在y=4
x
的图象上，
∴点B的坐标为（a，4
a ）．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴BD=a，AM=AC-CM=1-4
a
．
∵△ABD的面积为1，
∴1
2
BD•AM=1，即a（1-
4
a
）=8，
∴a=3，
∴点B的坐标为（3，4
3
）
②存在，设点E的坐标为（m，n）．分三种情况考虑，如图2所示．
（i）当AB为对角线时，∵A（1，1），B（3，4
3
），C（1，0），
∴
1+13
4
04
3
m
n
=+
⎧
⎪
⎨
+=+
⎪⎩
，解得：
3
16
3
m
n
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴点E1的坐标为（3，16
3
）；
（ii）当AC为对角线时，∵A（1，1），B（3，4
3
），C（1，0），
∴
3+11
4
40
3
m
n
=+
⎧
⎪
⎨
+=+
⎪⎩
，解得：
-1
8
3
m
n
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴点E2的坐标为（3，8
3
）；
（iii）当BC为对角线时，∵A（1，1），B（3，4
3
），C（1，0），
∴
1+31
4
40
3
m
n
=+
⎧
⎪
⎨
+=+
⎪⎩
，解得：
3
8
-
3
m
n
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴点E2的坐标为（3，-8
3
）.
综上所述：点E的坐标为（3，16
3
）；（3，
8
3
）；（3，-
8
3
）.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）①利用三角形的面积公式结合△ABD 的面积为1，求出a的值；②分AB为对角线、AC为对角线以及BC为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点E的坐标．。