四川省2021学年高一数学下学期开学考试试题
四川省高一下学期入学考试数学试题(解析版)
一､单选题（共40分）1. 已知集合,那么（ ） (){}|10M x x x =-=A.B. C. D. 0M ∈1M ∉1M -∈0M ∉【答案】A【解析】【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.(){}|10M x x x =-=【详解】由题意知集合，(){}|10{0,1}M x x x =-==故，故A 正确，D 错误，，故B 错误，，故C 错误，0M ∈1M ∈1M -∉故选：A2. 命题“，”的否定是（ ）1x ∀≥ln 0x <A. ，B. ， 1x ∃<ln 0x ≥1x ∀≥ln 0x ≥C. ，D. ， 1x ∀<ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”.1x ∀≥ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥故选:D.3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） 110a b<<A. B.a b <22a b ab >C.D. a b >-2a b a +<【答案】B【解析】 【分析】根据可得：，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解. 110a b<<0b a <<【详解】因为，所以，故选项错误； 110a b <<0b a <<A 因为，所以，则有，故选项正确；0b a <<0ab >22a b ab >B 因为，所以，又因为，所以，则，故选项错误；0b a <<a b -<-a<0a a =-a a b -=<-C因为，所以，两边同时除以2可得：，故选项错误， 0b a <<a b a a +<+2a b a +<D 故选：.B 4. 已知角的终边经过点， ，则（ ） α(,5)m -12cos 13α=tan α=A. B. C. D. 125±512±512-125-【答案】C 【解析】【分析】由三角函数定义求得，再计算正切值．m【详解】由题意，解得，． 12cos 13α==12m =55tan 1212α-==-故选：C ．5. 函数的零点所在的区间为（ ） ()126x f x x -=+-A.B. C. D.(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数在上单调递增， 1()26x f x x -=+-R ，，，(1)11640f =+-=-<(2)22620f =+-=-<(3)43610f =+-=>则有，所以函数的零点所在的区间为，(2)(3)0f f ⋅<1()26x f x x -=+-(2,3)故选：.B 6. 函数的图象大致是（ ） ()222x x x f x -=+A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，且， ()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++则函数为偶函数，故排除选项；()f x B,D 又因为当时，，故排除选项，0x >()0f x >C 故选：.A 7. 一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病1500mg 500mg 人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物2500mg 20%最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）0.1h lg 20.30,lg 30.48,lg 50.70≈≈≈A.B. C. D.2.2 5.87.08.2【答案】C【解析】【分析】根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，x 依题意，可得， ()5002500120%1500x ≤⨯-≤整理，得， 143555x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则， 445531log log 55x ≤≤， 453lg61lg2lg31log 2.25lg813lg21-+-==≈--同理得， 451lg 5log 7.05lg81-=≈-解得：，2.27.0x ≤≤所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时．故选：C8. 定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范R ()f x [0,)+∞()()2(32)0f m f m f +-->m 围为（ ）A.B. (1,3)-[]0,2C.D. ()1,2-()1,3【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性得出，然后解一元二次不等式便可223m m <+【详解】是定义在上的奇函数，且在上是减函数， ()f x R [0,)+∞在定义域上是减函数，且，∴()f x R (0)0f =，即，()()2(32)00f m f m f +-->=∴()()()23223f m f m f m >---=+故可知，即可解得，2223230m m m m <+⇒--<13m -<<实数的取值范围为.m (1,3)-故选：A二､多选题（共20分）9. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）1x <x m <m A.B. C. D. 23-2-1-【答案】ABC【解析】【分析】根据必要不充分条件的含义得，一一代入选项检验即可.1m <【详解】根据题意可知“”无法推出“”，但“”可以推出“”，1x <x m <x m <1x <则，则ABC 正确，D 错误，1m <故选：ABC.10. 若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ） m 0n >21m n +=A. 的最大值为mn 18B. 的最小值为11m n +C. 的最小值为 2911m n +++254D. 的最小值为224m n +12【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式逐项进项检验即可求解.【详解】因为实数，，所以时，也即时取m 0n >12m n =+≥2m n =11,42m n ==等），整理可得：，故选项正确； 18mn ≤A因为（当且仅当，也即11112(2)(33n m m n m n m n m n +=++=++≥+2n m m n =时取等号），故选项错误； 1m n ==-B 因为，则有，21m n +=2(1)(1)4m n +++=所以 29129118(1)2(1)[2(1)(1)]()[13]11411411m n m n m n m n n m +++=++++=++++++++（当且仅当，也即时取等125[1344≥⨯+=18(1)2(1)11m n n m ++=++17,55m n =-=号）因为，所以等号取不到，故选项错误；,0m n >C因为，则有， 21m n +=22222221(2)4442(4)m n m n mn m n m n =+=++=++≤+所以时取等号），故选项正确， 22142m n +≥=11,42m n ==D 故选：. AD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） 223,0()ln 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩A.()()13f f =-B. 函数在上单调递增()f x ()1,-+∞C. 不等式的解集为()0f x <{}23e x x -<<∣D. 当时，方程有三个不等实根43k -<≤-()f x k =【答案】ACD【解析】【分析】将1代入解析式计算，作出函数图象，判断单调性，解不等式，数形结合推断((1))f f ()f x k =有三个不等实根时k 的取值范围.【详解】因为，所以，A 项正确；(1)2f =-((1))(2)3f f f =-=-作出函数图象如图，函数在和上单调递增，B 项错误；(1,0)-(0,)+∞令，由图形得，C 项正确；()0f x <{}23e x x -<<结合函数图象，直线与图象有三个交点时，，D 项正确.y k =()y f x =43k -<≤-故选：ACD .12. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为()1f x +[]22-,()f x []3,1-B. 函数（其中且）的图象过定点 ()()1log 21x a f x x a-=-+0a >1a ≠()1,1C. 函数的单调递减区间为 ()()2ln f x x x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩(),-∞+∞a []3,2--【答案】BD【解析】【分析】根据可求得的范围，即为定义域，知A 错误；由恒成立可知B 正22x -≤≤1x +()f x ()11f =确；根据对数型复合函数单调区间的求法可知C 错误；令分段函数每一段单调递增且在分段处函数值大小关系符合单调递增关系即可构造不等式组求得D 正确.【详解】对于A ，的定义域为，即，，()1f x +Q []22-,22x -≤≤113x ∴-≤+≤的定义域为，A 错误；()f x \[]1,3-对于B ，，图象过定点，B 正确；()01log 1011a f a =+=+= ()f x \()1,1对于C ，令，由知：，2u x x =-0u >01x <<在上单调递增，在上单调递减， 2u x x =- 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭又在上单调递增，的单调递减区间为，C 错误； ln y u =()0,∞+()f x \1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭对于D ，在上是增函数，，解得：，()f x (),-∞+∞12015a a a a ⎧-≥⎪⎪∴<⎨⎪---≤⎪⎩32a --≤≤即实数的取值范围为，D 正确.a []3,2--故选：BD.三､填空题（共20分）13. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为______． 4π3π3【答案】## 8π38π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】由题意知，圆心角为，弧长为， π3α=4π3l =设扇形半径为，根据弧长公式得， r 4π3l r α==4r =则扇形面积. 114π8π42233S lr ==⨯⨯=故答案为：8π314. 已知函数，则______. ()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()114f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】0【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可. 【详解】因为，所以. 104>211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为，所以. 10-<()11122f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以. ()1104f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭故答案为:0.15. 已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为__________2()(1)f x m m =--223mm x --(0,)+∞m .【答案】2【解析】【分析】解方程，再检验得解.211m m --=【详解】解：依题意，，得或，211m m --2m =1m =-当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去.1m =-0()1f x x ==()f x (0,)+∞当时，，幂函数在上是减函数．所以.2m =3()-=f x x ()f x ()0,∞+2m =故答案为： 216. 已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为()()()()221,23,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x b =-01b <<，，，，且，则的值为___________. 1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<123422x x x x +++【答案】8【解析】【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对()()g x f x b =-()f x y b =称性得到，结合的解析式和图象可得，，然后求346x x +=()f x 121x b -=-12222x x +=即可.123422x x x x +++【详解】函数的零点可以看做与图象交点的横坐标，和的图象如上图所()()g x f x b =-()f x y b =()f x y b =示，根据二次函数的对称性得到，34236x x +=⨯=由图可知，，，则，所以.121x b -=-221x b -=12222x x +=1234228x xx x +++=故答案为：8. 四､解答题（共70分）17. 已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+（1）求；,A B A B （2）若，求m 的取值范围.B C C = 【答案】（1）[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案；（2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【小问1详解】 ，{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以.[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=【小问2详解】因为，所以，B C C = C B ⊆若，则，解得：， C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122176m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18. 已知是第二象限角，且.α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=（1）求的值； tan α（2）求的值. ()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）； 1tan 2α=-（2）. 35【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； tan αα（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解. cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【小问1详解】由， 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得，即， 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或. 1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角，所以. α1tan 2α=-【小问2详解】. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭19. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每()C x ()210100,040100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.()L x x （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）； ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.【解析】【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当时，040x <<；()22500101002500104002500L x x x x x x =---=-+-当时，， 40x ≥()1000010000500501450025002000L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭所以； ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当时，，040x <<()()210201500L x x =--+所以；()()max 201500L x L ==当时，， 40x ≥()100002000200020002001800L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立. 10000x x=100x =故，()()max 10018001500L x L ==>所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.20. 在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③()0f x >()1,3-1x =()f x 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.()()()11,03f x f x f +=-=问题：已知函数，且__________. ()22f x ax x c =+-（1）求的解析式；()f x （2）若在上的值域为，求的值. ()f x [],()m n m n <[]3,72n m --m n +【答案】（1）()223f x x x =-++（2）5【解析】【分析】（1）对①：根据三个二次之间的关系运算求解；对②：根据二次函数的最值运算求解；对③：根据二次函数的对称性运算求解；（2）根据题意结合二次函数的单调性和最值分析运算.【小问1详解】若选①：由函数，且不等式的解集为， ()22f x ax x c =+-()0f x >()1,3-即是方程两个实数根，且，1,3-220ax x c +-=a<0可得，解得， 21313a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩1,3a c =-=-所以； ()223f x x x =-++若选②：由题意可得，解得，()11124a f a c ⎧-=⎪⎨⎪=-+-=⎩1,3a c =-=-故； ()223f x x x =-++若选③：因为，所以图象的对称轴方程为，()()11f x f x +=-()f x 1x =则，即， 11a -=1a =-因为，所以，()03f =3c =-故.()223f x x x =-++【小问2详解】因为在上的值域为，所以，即， ()223f x x x =-++R (],4∞-724m -≤32m ≥因为图象的对称轴方程为，所以在上单调递减，()f x 1x =()f x [],m n 则， ()()222372233f m m m m f n n n n ⎧=-++=-⎪⎨=-++=-⎪⎩解得，即.2,3m n ==5n m +=21. 已知函数（且）的图象经过点和．()log a f x b x =+0a >1a ≠()4,1()1,1-（1）求函数的解析式；()f x （2）令，求的最小值及取最小值时x 的值．()()()21g x f x f x =+-()g x 【答案】（1） 2()1log f x x =-+（2）的最小值为，且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 1【解析】【分析】（1）由求出，可得的解析式； 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩,a b ()f x （2）化简得，再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出()g x 21()1log ()2g x x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎭(0)x >结果.【小问1详解】依题意可得，解得， 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩21a b =⎧⎨=-⎩所以.2()1log f x x =-+【小问2详解】由（1）知，，2()1log f x x =-+所以()()22()21log (1)1log g x x x =-++--+22211log x x x++=-+211log (2x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭(0)x >，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 0x >1224x x ++≥+=1x =又，所以，此时.21>min ()143g x =-+=1x =所以的最小值为，且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 122. 已知函数定义域为，函数． 21()21x x f x -=+(1,1)-1()421x x g x m m +=+⋅+-（1）解不等式；(21)(32)0f x f x -+-<（2）若存在两个不等的实数a ，b 使得，且，求实数m 的取值范围．()()0f a f b +=()()0g a g b +≥【答案】（1） 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩（2） 25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】【分析】（1）结合函数的单调性和奇偶性求解即可；（2）由已知结合函数的单调性及奇偶性可得，进而推导出代=-b a ，令，则代入化简可得，令211()()2222022a a a a g a g b m m ⎛⎫⎛⎫+=+++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122a a t =+222t m t ≥-，只需即可. ()222t h t t=-()min m g t >【小问1详解】函数定义域为，关于原点对称， 21()21x x f x -=+(1,1)-，所以易知，在上单调递增， 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++()f x (1,1)-因为，是奇函数， ()2112()2112x xx x f x f x -----===-++()f x 由可得，(21)(32)0f x f x -+-<()(21)(32)23f x f x f x -<--=-所以，解得：. 121112312123x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩1335x <<故不等式的解集为：. 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩【小问2详解】由可得，()()0f a f b +=()()()f a f b f b =-=-所以，不妨设，则，=-b a a b >01a <<因为，令，则， 1()421x x g x m m +=+⋅+-122a a t =+522t <<所以，11()()()()421421a a a a g a g b g a g a m m m m +--++=+-=+⋅+-++⋅+-，所以， 211=222222a a a a m m ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2210t m t =+-≥222t m t ≥-令， ()22211=2222111222t h t t t t t ==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，所以， 522t <<21152t <<所以， 2111112222225t ⎛⎫-<--<- ⎪⎝⎭所以，所以 ()25212h t -<<-2512m >-所以实数m 的取值范围为：.25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
四川高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合等于（ ） {}0,1,2A ={}2,N x x a a A ==∈A N A ．； B ．； C ．； D ．．{}0{}0,1{}1,2{}0,2【答案】D【分析】求出集合，根据交集含义即可得到答案. N 【详解】当时，；当时，； 0a =20x a ==1a =22x a ==当时，，故，故， 2a =24x a =={}0,2,4N ={0,2}A N ⋂=故选：D.2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） (0)+∞，A ．B ．C ．y =|x |D ． 3y x =-1y x=21y x =【答案】D【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案. 【详解】，都是奇函数，排除A ，B. 3y x =-1y x= ，都是偶函数，在上递增，在递减， y x =21y x =y x =(0)+∞，21y x=(0)+∞，故选：D ．3．函数的值域是（ ）21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩A ．(0，＋∞) B ．(0，1)C ．D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】分类讨论，结合二次函数和反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，，此时函数是单调递减，所以有，显然当时， 1x >1()f x x=()(1)1f x f <=1x >，因此当时，函数的值域为；()0f x >1x >(0)1，当时，，二次函数的对称轴为：，1x <2213()1()24f x x x x =-+=-+12x =因此当时，函数有最小值，所以此时函数的值域为：，12x =343,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭综上所述：函数的值域为：(0，＋∞). 故选：A【点睛】本题考查了求分段函数的值域，考查了二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题. 4．（ ）tan 570sin 300︒+︒=ABC ．D ．【答案】C【分析】由诱导公式可得答案.【详解】()()57030036021036060oo o o o otan si n t an sin +=++- ()180********o o o o o t an si n t an si n =+-=-=-=-故选：C5．设、，则“且”是“”的条件 a b ∈R 2a >2b >4a b +>A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．非充分非必要【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】因为且，由不等式的性质，可得，故是充分条件， 2a >2b >4a b +>又当a ＝1，b ＝7时，满足a+b>4，但不满足且，故不是必要条件， 2a >2b >故选A ．【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间0T t 分钟后的温度T 满足，h 称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25aT =有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（ ）（参考数据：，） lg 20.30≈lg11 1.04≈A ．8分钟 B ．9分钟 C ．10分钟 D ．11分钟【答案】C【分析】由题意可得，代入，得，两边取常用对数得：1110()211h=14525()(7525)2th -=-510112t⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用对数的运算性质即可求出的值． 10lglg 1152t =t 【详解】解：根据题意得：，117525(8025)2h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭，()14525()75252t h∴-=-，112050()2th ⎡⎤∴=⨯⎢⎥⎣⎦， ∴510112t⎛⎫= ⎪⎝⎭两边取常用对数得：， 10lglg 1152t =，2lglg 2lg52lg 2120.31510101lg111lg111 1.04lg 11t --⨯-∴===≈=---水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟，∴故选：C ．7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ） ()f x (],1-∞-A ．B ．()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．D ．()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据[1,)+∞，可得，进而得出结论. 5322->->5(3)()(2)2f f f ->->【详解】因为偶函数在区间上单调递减，()f x (],1-∞-所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大， [1,)+∞又，所以， 5322->->5(3)((2)2f f f ->->故选：.D 8．对任意正数x ，y ，不等式x （x +y ）≤a （x 2+y 2）恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A B ﹣1 C +1D 【答案】D【分析】将已知不等式转化为（a ﹣1）﹣+a ≥0对于一切正数x ，y 恒成立，令t ＝，f2(x y xy 0x y >（t ）＝（a ﹣1）t 2﹣t +a ，由二次函数的图象与性质可得关于a 的不等式组，解之即可得答案. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴x （x +y ）≤a （x 2+y 2）⇔xy ≤（a ﹣1）x 2+ay 2⇔，()210x xa a y y⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭令，f （t ）＝（a ﹣1）t 2﹣t +a ， 0xt y=>依题意，，即，解得a101(02(1)a f a ->⎧⎪⎨≥⎪-⎩1104(1)a a a >⎧⎪⎨-≥⎪-⎩∴实数a . 故选：D.二、多选题9．下列说法不正确的是( )A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．cos20<C ．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 D ．若，则与的终边相同 sin sin αβ=αβ【答案】ACD【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断．【详解】对于选项A ，三角形内角范围是，其中90°不属于象限角，故A 错误； ()0π，对于选项B ，大小为2的角终边在第二象限，故cos2＜0，故B 正确； 对于选项C ，1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角，故C 错误；对于选项D ，若，则α和β的终边相同或关于y 轴对称，故D 错误． sin sin αβ=故选：ACD ．10．已知定义在上的函数在区间上是增函数，则（ ）R ()()cos 0f x x ωω=>,03π⎛-⎫⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x πωB ．满足条件的整数的最大值为3ωC ．函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像，则的值()()cos 0f x x ωω=>3π()g x ω32D ．函数在上有无数个零点()()y f x f x =+,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据函数在区间的单调性求出的取值范围，即可判断B ，再求出的解析,03π⎛-⎫⎪⎝⎭ω()f x 式，即可得到其最小正周期，即可判断A ，根据三角函数的平移变换得到的解析式，再根据()g x奇偶性求出，即可判断C ，最后利用特殊值判断D.ω【详解】解：函数在区间上是增函数，()cos (0)f x x ωω=>,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，，所以整数的最大值为，故B 正确； ()30πωπω⎧⋅-≥-⎪∴⎨⎪>⎩03ω∴<≤ω3因为为偶函数，函数图象关于轴对称， ()cos (0)f x x ωω=>y 所以，所以的最小正周期，故A 错误；()()cos x f f x x ω==()f x 2T πω=将函数的图像向右平移单位得到，()()cos 0f x x ωω=>3π()cos cos 33x x x g ππωωω⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭因为为奇函数，所以，解得， ()g x ,Z 32k k πωππ-=+∈33,Z 2k k ω=--∈又，所以当时，故C 正确； 03ω<≤1k =-32ω=当时，由，所以，所以，12ω=()1cos 2f x x =,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,024x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x >则在上无零点，故D 错误；()()y f x f x =+,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：BC ．11．若，，且，则下列说法正确的是（ ） 0a >0b >22a b +=A ．的最大值为 B ．的最小值为2 ab 12224a b +C ．的最小值是 D ．的最小值为4 124a b a b +++322+aa b【答案】ABD【分析】直接根据基本不等式即可判断A ；结合即可判断B ；由题知22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，，进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C ；根12144422a b a b a b a b+=+++++636a b +=据，结合基本不等式求解即可判断D. 22a b aa b a b+=++【详解】解：对于A 选项，因为，，，当且仅当0a >0b >22a b +=≥12≤ab 时等号成立，故A 选项正确；21a b ==对于B 选项，由不等式得，所以当且仅当22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭22221224a b a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭+≥=2242a b +≥时等号成立，故的最小值为，故B 选项正确；21a b ==224a b +2对于C 选项，由得，所以22a b +=636a b +=12144422a b a b a b a b+=+++++()()1144226422a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭，当且仅当，即()()()2441135564262a b a b a b a b ⎡⎡⎤++⎢=++≥+=⎢⎥++⎢⎢⎥⎣⎦⎣4a b a b +=+时等号成立，此时与矛盾，故取不到最小值，故C 选项错误； 0,2a b ==0a >对于D 选项，由题知，当且仅当时等号成22224a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=23a b ==立，故的最小值为4，D 选项正确. 2+aa b故选：ABD12．已知为R 上的偶函数，且是奇函数，则（ ） ()f x (2)f x +A ．关于点对称 B ．关于直线对称 ()f x (2,0)()f x 2x =C ．的周期为 D ．的周期为()f x 4()f x 8【答案】AD【分析】由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和对称性，由此判断各选项. 【详解】∵ 为偶函数()f x ∴ 图象关于轴对称， ()f x y ()()f x f x -=又∵ 是奇函数 ∴ (2)f x +(2)(2)f x f x -+=-+∴ ， (2)(2)0f x f x -++=∴(8)(4)()f x f x f x +=-+=∴ 函数的图象关于轴对称，为周期函数且周期为， ()f x (2,0)()f x 8故选AD.三、填空题 13．已知，则______．sin cos 2sin cos αααα+=--tan α=【答案】13【分析】由已知等式，可得，再根据同角三角函数的商数关系即可sin cos 2sin cos αααα+=--3sin cos αα=得的值. tan α【详解】解：，sin cos 2sin cos αααα+=--()sin cos 2sin cos αααα∴+=--整理得，. 3sin cos αα=sin 1tan cos 3ααα∴==故答案为：.1314．若，则________． log 2,log 3a a m n ==2m n a +=【答案】18【分析】对数式化为指数式，再代入计算即可. 【详解】，.log 2a m = 2m a ∴=,.log 3a n = 3n a ∴=. 2222()2318m n m n m n a a a a a +∴=⋅=⋅=⨯=故答案为：18.15．已知函数与函数的图像在恰好有一个交点，则实数的取值21y x mx =+-22y x m =-()0,1x ∈m 范围是______.【答案】 {126,23m æùçÎ-Èúçúèû【分析】联立方程分离之后解出，分离变量转化为函数交点问题，借助对勾函数的单调性求解即m 可.【详解】联立得，2122y x mx y x m ⎧=+-⎨=-⎩2122x mx x m +-=-解出，2122x x m x +-=+令，原式整理得，可变形为()2,2,3t x t =+Î76m t t=--+76m t t -=+这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点. ()2,36y m =-7y t t=+()2,3在上单调递减，在上单调递增；7y t t=+()分别计算的值为，易得： t =y 1116,23{16116,32m ⎡⎫-∈⋃⎪⎢⎣⎭故答案为：. {126,23m æùçÎ-Èúçúèû16．已知函数在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是()2()log 32a f x x ax a =-+-()1,+∞______.【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】令，则开口向上，对称轴为， ()232g x x ax a =-+-()g x 2a x =因为在上单调递减，()()2()log 32log a a f x x a g x x a =-+-=()1,+∞所以在上只有一个单调区间，则在上单调递增， ()g x ()1,+∞()g x ()1,+∞故，即， 12a≤2a ≤又由对数函数的定义域可知在上恒成立，则， ()0g x >()1,+∞()()10g x g >≥即，故， 211320a a -⨯+-≥12a ≥又因为在上单调递减，在上单调递增， ()()log a g x f x =()1,+∞()g x ()1,+∞所以在上单调递减，故， log a y x =()0,∞+01a <<综上：，即. 112a ≤<1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知集合. {}2560A x x x =-+>∣(1)求；A R ð(2)若集合，且，求实数的取值范围. {2}B xa x a =<<∣B A ⊆a 【答案】(1) {|23}A x x =≤≤R ð(2) 13a a ≤≥或【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集； （2）由可分类讨论与时画图分析即可. B A ⊆B φ=B φ≠【详解】（1）∵ 2{|560}{|23}A x x x x x x =-+>=<>或∴ {|23}A x x =≤≤R ð（2）∵B A ⊆∴①当时，，解得：， B =∅2a a ≥0a ≤②当时，即：，B ≠∅0a >∴或 022a a >⎧⎨≤⎩03a a >⎧⎨≥⎩∴ 013a a <≤≥或∴综述：. 13a a ≤≥或18．已知，. tan 3α=32ππα<<（1）求的值;cos α（2）若的值.()()sin sin 2cos cos 2παπαπαπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】（1）2）12-【分析】（1）根据同角三角函数关系，，转化成，代入平方关系中，解sin tan cos ααα=sin 3cos αα=一元二次方程，即可求解.（2）由诱导公式，进行化简，再由齐次式求值. 【详解】（1）因为，所以. sin tan 3cos ααα==sin 3cos αα=又因为，所以. 22sin cos 1αα+=21cos 10α=因为，所以32παπ<<cos α=（2）. ()()sin sin cos sin 1tan 12sin cos tan 12cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+++ ⎪--⎝⎭===-++⎛⎫--- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数关系，已知切求弦问题，和齐次式求值问题，需注意角所在象限，属于基础题.19．函数的图象如图所示.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式和单调增区间； ()f x （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最()f x 3π()g x ()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦值并求出相应的值．x【答案】（1），增区间，（2）时，取最小()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈3x π=()f x 值为-2；当时，取最大值为1. 0x =()f x 【解析】（1）根据图像计算，得到，代入点计算得到解析式，再计算2A =2T ππω==2ω=,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调区间得到答案.（2）通过平移得到，再计算得到最值. ()52sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图知：，∴，∴，∵，∴，2A =311934126124T ππππ=-==2T ππω==2ω=0ω>2ω=∴，()()2sin 2f x x ϕ=+∵由图知过，∴， ()f x ,26π⎛⎫⎪⎝⎭2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，∴，，∴，，sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭232k ππϕπ+=+Z k ∈26k πϕπ=+Z k ∈∵，∴，∴.2πϕ<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵，，∴，，222262k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈36k x k ππππ-≤≤+Z k ∈∴增区间，.()f x ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）， ()52sin 22sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵，∴， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当，即时，取最小值为-2，53262x ππ+=3x π=()f x 当，即时，取最大值为1. 55266x ππ+=0x =()f x 【点睛】本题考查了三角函数的图像识别，三角函数的单调性，最值，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.20．某公司生产一种儿童玩具，每年的玩具起步生产量为1万件；经过市场调研，生产该玩具需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投人流动成本万元，在年产量不足万件时，2x ()W x 6；在年产量不小于万件时，.每件玩具售价()()2221log 2log 1082W x x x x =--+6()81942W x x x =+-元.通过市场分析.该公司生产的玩具能当年全部售完.8(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固()P x x =-定成本流动成本）-(2)年产量为多少万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)； ()()2221log 2log 8,1628140,6x x x P x x x x ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大，最大利润为万元.922【分析】（1）分、两种情况讨论，根据年利润年销售收入固定成本流动成本可16x ≤<6x ≥=--得出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；()P x x （2）利用二次函数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出函数在()P x 16x ≤<()P x 6x ≥时的最大值，比较大小后可得出结论.【详解】（1）解：因为每件玩具售价为元，则万件玩具销售收入为万元.8x 8x 当时，， 16x ≤<()()()222222118log 2log 1082log 2log 822P x x x x x x x =-++--=-++当时，， 6x ≥()81818942240P x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故； ()()2221log 2log 8,1628140,6x x x P x x x x ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：当时，， 16x ≤<()()()2222211log 2log 8log 21022P x x x x =-++=--+此时，当时，取最大值，最大值为万元；4x =()P x 10当时，，当且仅当，即时，取等号. 6x ≥()81404022P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭81x x =9x =此时，当时，取得最大值，最大值为万元.9x =()P x 22因为，所以当年产量为万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大，1022<9最大利润为万元.2221．已知为偶函数，为奇函数，且.()f x ()g x ()()12x f x g x -+=(1)求，的解析式；()f x ()g x (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.x ∈R ()2222n n f x --≥n 【答案】(1)，()22x x f x -=+()22x x g x -=-(2)[]1,3-【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；（2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案.()min 2f x =2221n n --≤【详解】（1）解：因为为偶函数，为奇函数，且有，()f x ()g x ()()12x f x g x -+=所以，()()()()12x f x g x f x g x +-+-=-=所以，，解得，. ()()()()1122x x f x g x f x g x +-⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()22x x f x -=+()22x x g x -=-所以，，.()22x x f x -=+()22x x g x -=-（2）解：因为，当且仅当时等号成立，()222x x f x -=+≥=0x =所以.()min 2f x =所以，对任意的，恒成立，即，x ∈R ()2222n n f x --≥22222n n --≥则，即，解得，2221n n --≤2230n n --≤13n -≤≤所以，的取值范围.n []1,3-22．定义：若对定义域内任意x ，都有（a 为正常数），则称函数为“a 距”增函()()f x a f x +>()f x 数．（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；()2x f x x =-x ∈+∞()f x （2）若，R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； ()3144f x x x =-+x ∈（3）若，(﹣1，)，其中k R ，且为“2距”增函数，求的最小值．()22x k x f x +=x ∈+∞∈()f x 【答案】（1）见解析； （2）； （3）.1a >()24min 2,201,0k k f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a 距”增函数的定义得()()10f x f x +->到在上恒成立，求出a 的取值范围即可；（3）由()()2213304f x a f x x xa a +-=++->x ∈R ()f x 为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到()()2f x f x +>()1x ∈+∞﹣，()2222x k x x k x +++>+恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．k ()2222422k k x x k x f x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==()f x 【详解】（1）任意,, 0x >()()()()1121221x x x f x f x x x +⎡⎤+-=-+--=-⎣⎦因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．0x >21>21x >()()10f x f x +->()f x （2）. ()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x x a xa a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是“距”增函数，所以恒成立， ()f x a 22313304x a xa a a ++->因为,所以在上恒成立， 0a >2213304x xa a ++->x ∈R 所以，解得，因为,所以. 221=91204a a ⎛⎫∆--< ⎪⎝⎭21a >0a >1a >（3）因为，，且为“2距”增函数， ()22x k x f x +=()1,x ∈-+∞所以时，恒成立，1x >-()()2f x f x +>即时，恒成立， 1x >-()222222x k x x k x ++++>所以，()2222x k x x k x +++>+当时，，即恒成立， 0x ≥()()2222x k x x kx +++>+4420x k ++>所以, 得;420k +>2k >-当时，，10x -<<()()2222-x k x x kx +++>得恒成立，44220x kx k +++>所以,得,()()120x k ++>2k >-综上所述，得.2k >-又，()2222422k k x x k x f x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==因为,所以，1x >-0x ≥当时，若，取最小值为； 0k ≥0x =2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭0当时，若，取最小值. 20k -<<2k x =-2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为在R 上是单调递增函数，2x y =所以当，的最小值为；当时的最小值为， 0k ≥()f x 120k -<<()f x 242k -即 .()242,201,0k min k f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．。
2021-2022学年四川省成都外国语学校高一下学期入学考试数学试题(解析版)
2021-2022学年四川省成都外国语学校高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．sin 6π=（ ）A ．B ．12-C ．12D ．23π-【答案】C【分析】根据特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】因为1sin 62π=，所以选项C 正确， 故选：C3．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B【解析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.故选：B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.4．已知函数()y f x =是R 上的奇函数和严格增函数，则下列函数中，是R 上的偶函数且在区间0,上为严格增函数的有（ ）①()y f x =； ②()y f x =； ③()y f x =-； ④()1y f x =+. A ．①② B ．②③C ．③④D ．①②③④【答案】A【分析】根据函数性质的定义直接判断即可.【详解】易知①②符合题意：③是R 上的奇函数和严格减函数，不合题意；④是R 上的非奇非偶函数，不合题意. 故选：A.5．函数221x y e x x =++-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】将问题转化为函数()x f x e =与2()21g x x x =--+的图象交点的个数，进而作图判断即可.【详解】解:函数221x y e x x =++-的零点个数即函数()x f x e =与2()21g x x x =--+的图象交点的个数，作图如图所示，由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点 故选：C6．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(5,)+∞ D ．[5,)+∞【答案】D【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 7．函数()sin(cos )cos(sin )f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题可得函数为偶函数，然后利用(0)f 的符号，即得. 【详解】∵()sin(cos )cos(sin )f x x x =-，定义域为R ，∴()()()sin cos cos sin sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x -=---=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除AC ； 又(0)sin(cos0)cos(sin 0)sin110f =-=-<，排除B. 故选：D.8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为mk 的星的亮度为Ek （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1 D ．10.110-【答案】A【解析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 9．下列等式成立的是（ ） A．tan1652︒=B．1sin152︒︒C．sin 75cos 75︒︒= D．22sin 75cos 75︒-︒=【答案】D【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式，余弦公式进行求解判断即可.【详解】A ：tan 45tan 30tan165tan(18015)tan15tan(4530)1tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒=-︒=-︒-︒=-+︒︒，1tan1652⇒︒==-，因此本选项等式不成立； B：11sin15sin(4530)30)22︒︒=︒-︒︒-︒111))222==C ：11sin 75cos75cos15sin15sin 3024︒︒=︒︒=︒=，因此本选项等式不成立；D：22sin 75cos 75cos150cos(18030)cos30︒-︒=-︒=-︒-︒=︒=立， 故选：D10．已知定义在R 上的函数()f x 满足当12x x ≠时，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，()5log 0.5a f =，(0.5log b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据已知不等式判断函数的单调性，结合函数的单调性、指数函数和对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】()()()()()()()()1122122111211222[]0x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x +<+⇒---<()()()()2121112122))((0(]0)[x x f x x x f x x x f x f x ⇒-<--⇒-<-，所以当12x x >时，()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<；当12x x <时，()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>，因此函数()f x 是R 上的减函数， 因为55552510log 0.5log log 10102>=>=-，110.5221log 3log 3log 22--=<=-，0.520>，所以0.5log 3<5log 0.50.52<，又因为函数()f x 是R 上的减函数，所以()0.5log 3f >()5log 0.5f ()0.52f >，即b a c >>，故选：C11．已知函数()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则()1232m x x x ++的范围为（ ）A ．55,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．510,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．510,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】令π26z x =+，将函数()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点问题，转化为函数π5πsin ,62y z z ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线2m y =的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到12324πz z z ++=,进而得到1235π23x x x ++=，结合图象和正弦函数的最大值，得到m 的取值范围，进而得到()1232m x x x ++的取值范围. 【详解】令π26z x =+，当70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5π,62z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π5πsin ,62y z z ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象如图所示，由对称性可知1223π,3πz z z z +=+=，∴12324πz z z ++=, 又∵()123123123π2π2242226363z z z x x x x x x ππ++=+++++=+++，∴1235π23x x x ++=， [)0,12m∈,故[)0,2m ∈， ∴()12310π20,?3m x x x ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭,故选：D .12．函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ） A ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当32()42x k k Z ππωπ+=+∈时，即524()k x k Z ππω+=∈时，函数有最小值， 令1,0,1,2k =-时，有34x πω=-，54x πω=，134x πω=，214x πω=，因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，0>ω， 所以有：54413713344772144ππωππωωππω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩， 故选：B【点睛】关键点睛：根据正弦型函数的最值的性质进行求解是解题的关键. 二、填空题13．已知函数()12sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =______．【答案】【分析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()()4f f 的值.【详解】由已知可得()121224log 4log 22f -===-，故()()()42sin sin 33f f f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭故答案为：. 14．已知tan 2α=，tan 3β=，则()()sin cos αβαβ+-的值为___________.【答案】57【分析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商数关系，将目标式化为tan tan 1tan tan αβαβ++即可求值.【详解】()()sin sin cos cos sin tan tan 235cos cos cos sin sin 1tan tan 1237αβαβαβαβαβαβαβαβ++++====-+++⨯. 故答案为：57.15．函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.【答案】[]8,10【分析】先化简()f x ，然后分析())2ln1x g x x =+的奇偶性，将()f x 的最大值和小值之和转化为和a 有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出M N +的取值范围. 【详解】()))222lnln 4411ax a xx f x a x aax ++=+=++++，令())2ln1x g x x =+，()g x 定义域为R 关于原点对称， ∴()))()22ln ln11x x g x g x x x -===-=-++，∴()g x 为奇函数，∴()()max min 0g x g x +=， ∴()()max min 42f x f x M N a a ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，[]1,3a ∈，由对勾函数的单调性可知()4h a a a=+在[)1,2上单调递减，在(]2,4上单调递增，∴()()min 24h a h ==，()()1315,33h h ==，()()max 15h a h ==， ∴()[]4,5h a ∈，∴[]428,10M N a a ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，故答案为：[]8,10.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数()g x 奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.16．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．【答案】12,1⎡⎤⎣⎦【分析】先判断函数()e e cos 2x xh x -+=的奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性，结合换元法、正弦型函数的性质、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为()()e e cos cos 2x xh x h x -+-==，所以函数()e e cos 2x x h x -+=是偶函数， 设12,x x 是()0,∞+上任意两个实数，且12x x <，即210x x >> ()()112212121212e e e e 1e e cos cos (e e 222e 1)ex x x x x x x x x x h x h x --+-=-⋅+-=-，因为210x x >>，所以121212120e e e e e e e ,0,e 1x x x x x x x x+<>=>=，因此1212121e e (e e 2e 0e1)x x x x x x --⋅<，即()()()()12120cos cos cos cos h x h x h x h x <<⇒-，所以函数()e e cos 2x xh x -+=是偶函数，且在()0,∞+是增函数，()()()()cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos h h m h h m θθθθθθθθ+≥-⇒+≥- 若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-在0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，sin cos sin cos 4m πθθθθθ⎛⎫+=+≥- ⎪⎝⎭，04πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以sin cos sin cos 44m ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin cos t θθ⎡=+∈⎣，而22112sin cos sin cos 2t t θθθθ-+=⇒=由()211sin cos sin cos 22y t t θθθθ=-+=--，t ⎡∈⎣，故t =时max 12y = 由()211sin cos sin cos 22y t t θθθθ=++=++，t ⎡∈⎣，故1t =时，min 2y =， 所以m的取值范围为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：判断函数()e e cos 2x xh x -+=的奇偶性和单调性，运用换元法进行求解是解题的关键. 三、解答题 17．计算：(1)00.53954-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)()2log 648lg 2log 3log 32lg 3++. 【答案】(1)2e 3+ (2)416【分析】（1）利用指数运算性质和根式的运算性质求解， （2）利用对数的运算性质求解 【详解】(1)原式12231e 2-⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2211e e 33-++=+(2)原式()223log 6322log 3log 3log 22=+⋅+22311log 3log 3log 2623⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭235541log 3log 266666=⋅+=+=. 18．已知sin cos 1sin cos 3αααα-=+，求下列各式的值．(1)sin 2cos 3sin cos αααα++(2)()()()tan cos 3cos tan 2απαπαα--⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭【答案】(1)47(2)12【分析】化简条件得到tan α，然后对所求式化简后代入计算 【详解】(1)sin cos 1sin cos 3αααα-=+，则3sin 3cos sin cos αααα-=+，得tan 2α=而sin 2cos tan 243sin cos 3tan 17αααααα++==++(2)由诱导公式化简得：()()()tan cos tan cos 113sin (tan )tan 2cos tan 2απαααπααααα--⋅--⋅===⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭ 19．已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.【答案】（1）当0,0a b >>时，函数()f x 在R 上是增函数,当0,0a b <<时，函数()f x 在R 上是减函数；（2）当0,0a b <>时，则 1.5log ()2a x b >-；当0,0a b ><时，则 1.5log ()2ax b<-. 【详解】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a ⇒-<，121233,0(33)0x x x xb b ⇒-<，∴12())0(f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数, 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数； （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.20．新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32台，且每万台的销售收入()f x （单位：万元）与年产量x （单位：万台）的函数关系式近似满足：()21802,01826502700070,1832x x f x x x x -<≤⎧⎪=⎨+-<≤⎪⎩(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？【答案】(1)()228060,01827000302590,1832x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩； (2)年产量为30万台，利润最大.【分析】（1）根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式.（2）利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解.【详解】(1)()()10060W x x f x x =⋅--，∴()228060,01827000302590,1832x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩. (2)当018x <≤时，()()2228060220740W x x x x =-+-=--+，故在(]0,18上单调递增，∴18x =时，()W x 取最大值()max 24740732W x =-⨯+=， 当18x >时，()270009002590302590302590790W x x x x x ⎛⎫=--=-+≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当30x =时等号成立， ∴当30x =时，()max 790W x =，综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.21．某同学用“五点法”画函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数()f x 的解析式；(2)关于x 的方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求t 的取值范围；(3)求满足不等式()()52043f x f f x f ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解． 【答案】(1)()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)2⎡⎤⎣⎦； (3)2.【分析】（1）由表格中的数据可得出A 的值，根据表格中的数据可得出关于ω、ϕ的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数t 的取值范围；（3）分析可得()0f x <或()1f x >，分别解这两个不等式，得解集，令0k =，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.【详解】(1)解：由表格数据知，2A =，由325362πωπϕπωπϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)解：当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 26x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦， 因为方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以t 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.(3)解：因为552cos 2sin 14266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2432cos 2cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式即：()()10f x f x ⎡⎤-⋅>⎣⎦，解得()0f x <或()1f x >，由()0f x <得cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()3222Z 262k x k k πππππ+<-<+∈， 所以5,36x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈； 由()1f x >得1cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()222Z 363k x k k πππππ-+<-<+∈，所以,124x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈.令0k =可得不等式解集的一部分为5,,12436ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，解集中最小的正整数为2． 22．已知函数()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭.(1)若函数()y f ax =在()1,+∞单调递增，求实数a 的取值范围；(2)1x ∃，()21,x ∈+∞，使()2xf 在区间[]12,x x 上的值域为()()211122ln ,ln 2121x x t t ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦.求实数t 的取值范围. 【答案】(1)1a ≤-； (2)20,9⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）由对数复合函数的单调性得02101a a <⎧⎪⎨+≥⎪-⎩，即可求参数范围.（2）首先判断()2xf 的单调性并确定在[]12,x x 上的值域，结合已知易得()()()2222220x x t t t ⋅+-⋅+-=在()0,+∞内有两不等实根1x ，2x ，应用换元法进一步转化为两个函数有两个交点求参数范围. 【详解】(1)()12ln ln 111ax f ax ax ax +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∵()f ax 在()1,+∞单调递增， ∴211y ax =+-在()1,+∞单调递增，且2101ax +>-∴()021101a f a <⎧⎪⎨=+≥⎪-⎩，解得1a ≤-. (2)由()()2ln 12212l 021n 1x x xxf x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭+=>-，在()0,+∞上是减函数. 所以，在[]12,x x 上的值域为()()21,f x f x ⎡⎤⎣⎦， 故11122211212212212212x x x x x x t tt t++⎧+=⎪⎪-⋅-⎨+⎪=⎪-⋅-⎩，整理得：()()()()()()112222222220222220x x x x t t t t t t ⎧+-+-=⎪⎨⎪+-+-=⎩，即()()()2222220x x t t t ⋅+-⋅+-=在()0,+∞内有两不等实根1x ，2x ，令2x u =，当0x >时1u >，则关于u 的()()22220t u t u t ⋅+-⋅+-=在()1,+∞内有两个不等实根.整理得：21211512212u u u t u u +-==-++--，即1y t =与15112y x x =-++-由两个不同的交点， 又1515912(1)12122y x x x x =-++≥-⋅+=--，当且仅当2x =时等号成立，则(1,2)上递减，(2,)+∞上递增，且其值域为9[,)2+∞.∴函数图象如下：∴192y t =>，即20,9t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，应用参变分离将问题进一步化为两个函数在某区间内有两个交点.。
四川省绵阳南山中学实验学校2021-2022高一数学下学期开学考试试题 理(含解析)
四川省绵阳南山中学实验学校2021-2022高一数学下学期开学考试试题 理（含解析）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间100分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.下列命题中正确的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d <，则a b c d> C. 若a b >，c d >，则a c b d ->- D. 若0ab >，a b >，则11a b< 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值对四个选项逐一进行排除，从而得到正确选项. 【详解】对于A 选项，当0c时，不成立，故A 选项错误.当1,0,2,1a b c d ===-=-时，a bc d<，故B 选项错误. 当1,0,1,0a b c d ====时，a c b d -=-，故C 选项错误，故D 选项正确.所以选D.【点睛】本小题主要考查不等式的基本性质，由于题目是选择题，故采用特殊值举反例的方法，对选项进行排除.属于基础题.不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变.两边同时乘以零，那么两边都变为令.两边同时乘以负数，不等号要改变方向.同向不等式可以相加，不能相减.2.在平面直角坐标系中，不等式组20{20x yx yy+-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）A. 42B. 4C. 22D. 2【答案】B【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部．可得，A（2，0），B（0，2），C（-2，0），显然三角形ABC的面积为．故选B．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3.数列{}n a满足143n na a-=+且1a=，则此数列第5项是（）A. 15B. 255C. 16D. 63【答案】B【解析】【分析】由递推公式可推出{1}na+为等比数列，即可求出数列{}n a的通项公式.【详解】143n na a-=+，11114(1)41nn nnaa aa--+∴+=+⇒=+，∴{1}na+是以1为首项，4为公比的等比数列，则1*14()nna n N-+=∈，重点中学试卷 可修改 欢迎下载∴1*41()n n a n N -=-∈，∴4541255a =-=.故选：B【点睛】本题考查数列的递推公式，等比数列的通项公式，属于基础题. 4.等比数列{}n a 中，372,8,a a ==则5a = （ ） A. 4± B. 4C. 6D. 4-【答案】C 【解析】本试题主要考查了等比数列的通项公式的运用．因为等比数列中等比中项性质可知253755164,4()a a a a a ==∴==-舍，故选C.解决该试题的关键是根据等比中项253716a a a ==，得到结论．5.已知：在△ABC 中，cos cos c C b B=，则此三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理把边换成角得到sin cos sin cos C CB B=，进而利用三角函数的差角公式求解即可 【详解】对于cos cos c C b B=，等式左边的分子分母同时除以2R ，利用正弦定理可得， sin cos sin cos C CB B=，∴sin cos sin cos 0C B B C -=， 得到sin()0C B -=，A ，B ，C 均在△ABC 中，故得到B C =，此三角形为等腰三角形. 答案选C.【点睛】本题考查正弦定理和三角函数差角公式的运用，属于简单题.6.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A. 13项 B. 12项C. 11项D. 10项【答案】A【解析】试题分析：设这个数列有n 项，则1232134,146n n n a a a a a a --++=++=，因此()13n a a +=34146+180=即160n a a +=，则()16039022n n n a a nS +===，故13n =； 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n 项和公式；7.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c+-，则C =A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C 【解析】分析：利用面积公式12ABCSabsinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．8.△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b＝，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是 ( ) A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ③④【答案】A 【解析】ABC 中，()1?3b =，4c =，30B =︒，可得34sin 30sin C =︒，2sin sin 303C =>︒故满足条件的角C 有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确()2?5a =，8b =，30A =︒，可得58sin 30sin B =︒，4sin sin 305B =>︒故满足条件的角C 有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确()3?6c =，b =60B =︒，可得6sin C =sin 1C =，则2C π=，三角形有唯一的解，故错误()4?9c =，12b =，60C =︒，可得912sin 60sin B =︒，sin 1B =>，则B 不存在，三角形无解，故错误 故选A9.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y=+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P处取得最大值，由28,3212,x yx y+=⎧⎨+=⎩得()2,3P，则max324318z=⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10.不等式2(3)2(3)40a x a x-+--<对于一切x∈R恒成立，a的取值范围是（）A. (,3)-∞- B. (1,3]- C. (,3]-∞- D. (1,3)-【答案】B【解析】【分析】分类讨论不等式恒成立条件.【详解】①当3=0a-即3a=时，40-<成立；②当3a≠时，根据题意可得230(1,3)4(3)4(3)(4)0aaa a-<⎧⇒∈-⎨∆=---⨯-<⎩，综上所述，(1,3]a∈-.故选：B【点睛】本题考查由不等式恒成立求参数范围，涉及一元二次函数的图象与性质，属于基础题.11.在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进2003m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为A. 200mB. 300mC. 400mD. 1003m【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意可知AB BP =，BC CP =进而根据余弦定理可求得cos2θ的值进而求得θ，最后在直角三角形PCD 中求解．【详解】解：依题意可知600AB BP ==，2003BC CP ==2223cos222BC BP PC BC BP θ+-∴==⋅ 230θ∴=，15θ=所以该山峰的高度3sin6033002PD PC m =⋅== 故选B ．【点睛】本题主要考查了余弦定理及给值求角问题，考查计算能力及转化能力，属于基础题．12.在锐角三角形中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则ab的取值范围是（ ） A. 322⎝⎭B.)2,2C.2,3D. 02（，）【答案】A 【解析】2,B A =∴由正弦定理sin sin a b A B=得： sin sin sin 1sin sin 22sin cos 2cos a A A A b B A A A A ====，B 为锐角，即090B <<，且2,B A A =∴C 为锐角，029********A A ︒︒︒⎧<<⎨<-<⎩,所以23045,cos A A <<∴<<2cos A <<132cos 2A <<，则a b 的取值范围是32⎛ ⎝⎭，故选A. 第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二.填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案直接填在答题卡中的横线上. 13.已知等比数列{}n a 中，0n a >，19,a a 为210160x x -+=的两个根，则456a a a ⋅⋅=_______.【答案】64 【解析】 【分析】根据韦达定理可求得1916a a ，由等比数列的性质即可求出54a =，再次利用等比数列的性质即可得解.【详解】因为19,a a 为210160x x -+=的两个根且{}n a 为等比数列，所以219516a a a ⋅==，又0n a >，所以54a =，则4565364a a a a ==⋅⋅.故答案为：64【点睛】本题考查等比数列的性质，韦达定理，属于基础题.14.在ABC ，三个内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若内角、、A B C 依次成等差数列，且不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b 等于___________.【答案】【解析】 【分析】由等差数列的性质及三角形内角和为π列出方程组即可求出角B ，求不等式的解集从而得到a ，c 的值，再利用余弦定理列出等式即可得解.【详解】由题意可得{23B AC B A B C ππ=+⇒=++=，解不等式2680x x -+->得24x <<，因为不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，所以2,4a c ==，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=即21416282b +-=⨯，解得b =故答案：【点睛】本题考查等差数列的性质，一元二次不等式的解法，余弦定理解三角形，属于中档题.15.在ABC 中，60A =︒，1b =sin sin sin a b cA B C________．【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =11sin 1222bc A c ==⨯⨯⨯, 解得4c =， 由余弦定理可得：a === 所以13239sin sin sin sin 3a b ca A B C A故答案为：3【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 【答案】9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．三.解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin 0b C c B +=. （1）求C ；（2）若5,10a b ==D 在边AB 上，CD BD =，求CD 的长.【答案】（1）34π；（2）54【解析】【详解】（1）因为 cos sin 0b C c B +=，∴由正弦定理知，sin cos sin sin 0B C C B +=，0B π<<, sin 0B >，于是cos sin 0C C +=，即tan 1C =-，因为 0C π<<，所以34C π= （2）由（1）和余弦定理知，222222cos 2252c a b ab C ⎛=+-=+--= ⎝⎭5c =，所以222 cos 2a c b B ac +-===∵在BCD ∆中，CD BD =，所以12 cos BCB CD=，52cos 45aCD B=== 18.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2021年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且()21010004010000501450040x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，，．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2021年的利润L （x ）（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2021年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．【答案】（1）()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．【解析】 【分析】（1）根据利润的定义，结合投入成本是分段函数，分类讨论求得利润函数.（2）根据第一问利润函数，分040x <<和40x ≥两种情况进行分类讨论，当040x <<时2()10(20)1500L x x =--+，用二次函数法求最值，当40x ≥时10000()2000()=-+L x x x，用基本不等式法求最值，然后这两段中取最大的为函数的最大值即最大利润，此时x 的取值为最大利润时的产量. 【详解】（1）当040x <<时，()225100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-；当40x ≥时，1000010000()5100501450025002000()L x x x x x x=⨯--+-=-+； ∴()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+， ∴当20x时，()()201500max L x L ==；当40x ≥时，10000()2000()200020002001800L x x x =-+≤-=-=， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()()10018001500max L x L ==>； ∴当100x =时，即2021年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元． 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，还考查了抽象概括和运算求解的能力，属于难题. 19.已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1) 1n a n =+ (2) 1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩解得1a d ，即可求得通项公式；(2)111112n n a a n n +=-++,裂项相消求和n T = ()112222n n n -=++，因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*N n ∈，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222n n λ≤+成立.求出()222n n +的最大值即可解得λ的取值范围.试题解析：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩即12135,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为0d ≠，所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+.（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412n T n n =-+-++-=++ ()112222n n n -=++. 因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*N n ∈，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222n n λ≤+成立.又()21114416222424nn n n n n =⋅≤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）. 所以116λ≤，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.20.已知二次函数()f x 满足以下两个条件：①不等式()0f x <的解集是(2,0)-②函数()f x 在[1,2]x ∈上的最小值是3.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若点()()*1,n n a a n N+∈在函数()f x 的图象上，且199a=.（ⅰ）求证：数列(){}lg 1n a +为等比数列（ⅱ）令()lg 1n n b a =+，是否存在正实数k ，使不等式21(1)n n kn b n b +>+对于一切的*n N ∈恒成立？若存在，指出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）()(2)f x x x =+；（Ⅱ）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）4k > 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据不等式的解集可知函数()f x 与x 轴的交点横坐标为2-，0且开口向上，根据对称轴判断函数在[1,2]上的最小值列出等式求解即可；（Ⅱ）（ⅰ）点()1,n n a a +代入函数并整理得()2111n n a a ++=+，同时取对数即可得证；（ⅱ）求出{}n b 的通项公式代入不等式可得222k n n >+对于一切的*n N ∈恒成立，利用二次函数的图象与性质求出222y n n=+的最大值即可得解.【详解】（Ⅰ）因为不等式()0f x <的解集是(2,0)-， 所以设()(2)(0)f x ax x a =+>，且函数的对称轴为：1x =-， 因为()f x 在[1,2]上单调递增，所以最小值为(1)33f a ==，解得1a =， 函数解析式为()(2)f x x x =+；（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为点()()*1,n n a a n N+∈在函数()f x 的图象上，所以212n n n a a a +=+，则()2111n n a a ++=+，()()1lg 12lg 1n n a a ++=+，因为199a =，所以()1lg 12a +=，数列(){}1lg 1n a ++是以2为首项，2为公比的等比数列；（ⅱ）()lg 12nn n b a =+=，要使不等式21(1)n n kn b n b +>+对于一切的*n N ∈恒成立，则2220kn n -->对于一切的*n N ∈恒成立，所以222k n n >+对于一切的*n N ∈恒成立， 令()*222(),g n n N n n =+∈，令1t n =，则2211()222()22g t t t t =+=+-，(01t <≤)，max ()(1)4g t g ==，所以当4k >时， 不等式21(1)n n kn b n b +>+对于一切的*n N ∈恒成立.【点睛】本题考查一元二次函数的图象与性质，数列递推公式，数列与不等式恒成立综合问题，属于中档题.。
四川省成都市学高一数学下入学考试试题(含答案)
高一下学期入学考试数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.以下各组函数是同一函数的是〔 〕①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④2.以下函数中，既是偶函数又存在零点的是〔 〕A ．ln y x =B ．21y x =+ C ．sin y x = D ．cos y x = 3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深〔单位：m 〕的最大值为〔 〕A ．5B ．6C ．8D ．104.函数f(x)= 2211+log (2),1,(2)(log 12)2,1x x x f f x --<⎧-+=⎨≥⎩( )A ．3B ．6C ．9D ．125.假设2{|228}xA x Z -=∈≤<，2{||log |1}B x R x =∈>，那么()R AC B 的元素个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．36.函数()f x 的图象与1()()2xg x =的图象关于直线y x =对称，那么2(4)f x -的单调增区间是〔 〕A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(2,0]-D ．[0,2)7.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(0)2πϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，假设对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，那么ϕ=〔 〕A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 8.如图，长方形ABCD 的边2,1,AB BC O ==是AB 的中点，点P 沿着边,BC CD 与DA运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，那么()y f x =的图象大致为〔 〕9.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，那么使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是〔 〕A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33- D ．11(,)(,)33-∞-+∞10.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，那么不等式2()log (1)f x x ≥+的解集是〔 〕 A ．{|10}x x -<≤ B ．{|11}x x -≤≤ C ．{|11}x x -<≤ D ．{|12}x x -<≤11.定义在R 上的函数||()21x m f x -=-〔m 为实数〕为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，那么,,a b c 的大小关系为〔 〕A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<12.函数22||,2()(2),2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，假设函数()()y f x g x =-恰有4个零点，那么b 的取值范围是〔 〕A ．7(,)4+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(,2)4第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.假设函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，那么a = . 14.假设函数||()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，那么实数m 的最小值等于 .15.假设函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩〔0a >且1a ≠〕的值域是[4,)+∞，那么实数a 的取值范围是 .16.设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，①假设1a =，那么()f x 的最小值为 ；②假设()f x 恰有2个零点，那么实数a 的取值范围是 .三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.〔此题10分〕tan 2α=. 〔1〕求tan()4πα+的值；〔2〕求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 18. 〔此题12分〕函数22()sin sin (),6f x x x x R π=--∈.〔1〕求()f x 最小正周期；〔2〕求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.19. 〔此题12分〕全集U R =，{||1|1}A x x =-≥，B 为函数3()21x f x x +=-+的定义域，C 为()lg[(1)(2)](1)g x x a a x a =---<的定义域.〔1〕AB ，()UC A B ；〔2〕假设C B ⊆，求实数a 的取值范围.20. 〔此题12分〕函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍〔横坐标不变〕，再将所得的图象向右平移2π个单位长度.〔1〕求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；〔2〕关于x 的方程()()f x g x m +=在[0,2)π内有两个不同的解,αβ.①求实数m 的取值范围； ②请用m 的式子表示cos()αβ-.21. 〔此题12分〕设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数,m n ，都有()()()f m f n f m n =+，且当0x <时，()1f x >.〔1〕证明：①(0)1f =；②当0x >时，0()1f x <<；③()f x 是R 上的减函数；〔2〕设a R ∈，试解关于x 的不等式2(31)(361)1f x ax f x a -+-++≥.22. 〔此题12分〕()y f x =〔,x D D ∈为此函数的定义域〕同时满足以下两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数.请解答一下问题：〔1〕求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b ； 〔2〕判断函数31()((0,))4f x x x x=+∈+∞是否为闭函数？并说明理由； 〔3〕假设(0)y k x k =<是闭函数，求实数k 的取值范围.高一数学答案1-5 CDCCC 6-10 DDBAC 11-12CD13. 114.115. (1，2]16.17.(1)-3 (2)118. (I)(II)19.〔I〕(II)20.21.22.。
四川省2021年高一下学期开学数学试卷D卷
四川省2021年高一下学期开学数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·广东模拟) 已知集合 ,则（）A .B .C .D .2. （2分） y1＝2x ， y2＝x2 ， y3＝log2x ，当2<x<4时，有（）A . y1>y2>y3B . y2>y1>y3C . y1>y3>y2D . y2>y3>y13. （2分）已知点P（）在第三象限, 则角的终边在（）.A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2019高二上·大冶月考) 是奇函数，则（）A .B .C . -1D . 15. （2分） (2018高一上·衢州期中) 函数的零点必定位于如下哪一个区间（）A .B .C .D .6. （2分）若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1 ， x2 ，且f(x1)＝x1 ，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实数根的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与8. （2分）(2017·邹平模拟) 函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度9. （2分）已知a=3 ，b=（） 3 ， c=log3 ，它们间的大小关系为（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . b＞c＞aD . b＞a＞c10. （2分） (2019高一上·郁南月考) 给出下列命题:①存在实数x,使得sin x+cos x=2；②函数y=cos 是奇函数；③若角α,β是第一象限角,且α＜β,则tan α<tan β；④函数y=sin 的图象关于点（，0）成中心对称.⑤直线x= 是函数y=sin 图象的一条对称轴;其中正确的命题是（）.A . ②④B . ①③C . ①④D . ②⑤11. （2分）已知则的值等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知向量，满足 |，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（）A . ﹣2B . 2C .D .二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·静安期末) 设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.14. （1分）函数y=tan(2x-)的最小正周期为________15. （1分） (2016高一上·金华期中) 设函数f（x）= ，已知f（x0）=8，则x0=________．16. （1分） (2020·如东模拟) 若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是________．三、三.解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2019高一上·重庆月考) 已知全集，集合，集合.（1）求，；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.18. （10分） (2019高一下·钦州期末) 如图，在梯形中，，，，.（1）在中，求的长；（2）若的面积等于，求的长.19. （10分） (2019高二下·雅安期末) 设函数 .（1）求该函数的单调区间;（2）求该函数在上的最小值．20. （10分） (2016高二上·船营期中) 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？21. （10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+ ）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）画出函数f（x）在区间[﹣， ]上的图象．22. （15分） (2016高一上·南充期中) 已知函数f（x）= ﹣．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（f（x））+f（）＜0．参考答案一、一.选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
2020-2021学年四川省雅安中学高一(下)开学数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年四川省雅安中学高一（下）开学数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列{a n}的通项公式a n=2n+1，则第9项a9=()A. 9B. 13C. 17．D. 192.下列有关数列的说法正确的是()①数列1，2，3可以表示成{1,2，3}；②数列−1，0，1与数列1，0，−1是同一数列；③数列{1n }的第k−1项是1k−1；④数列中的每一项都与它的序号有关．A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④3.在△ABC中，A：B：C=4：1：1，则a：b：c=()A. √3：1：1B. 2：1：1C. √2：1：2D. 3：1：14.下列关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A. 在△ABC中，asinA =b+csinB+sinCB. 在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；若A>B，则sinA>sinBC. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=bD. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sin B：sin C5.△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若bsinB=csinC且sin2A=sin2B+sin2C，则该三角形是()A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形6.已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a+b−c)(a+b+c)=ab，则∠C的大小为()A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°7.在等差数列{a n}中，a3=0，a7−2a4=−1，则公差d等于()A. −2B. 12C. 2 D. −128.在等比数列{a n}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=()A. 81B. 27√275 C. √3 D. 2439.在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=()A. 58B. 88C. 143D. 17610. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac 则角B 的值为( )A. π3B. π6C. π3 或2π3D. π6或 5π611. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得100，70，49，34.3个单位，递减的比例为30%.今共有粮m(m >0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙衰分得90石，甲、丙衰分所得的和为181石，则“衰分比”与丁衰分所得分别为( )A. 10%，72.9石B. 40%，32.4石C. 60%，32.4石D. 90%，72.9石12. 已知各项均为正项的等比数列{a n }，a 1>1，0<q <1，其前n 项和为S n ，下列说法错误的是( )A. 数列{lga n }为等差数列B. 若S n =Aq n +B ，则A +B =0C. 记T n =a 1a 2…a n ，则数列{T n }有最大值D. S n ×S 3n =S 2n2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A =π3,a =√3,b =1，则△ABC 的形状是______ ．14. 在数列0，14，13，38，25，…，中49是它的第______ 项. 15. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为______． 16. 数列{a n }满足a n+1={2a n ,0≤a n <12,2a n −1,12≤a n <1,若a 1=25，则a 2018等于______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=−7，S 3=−15．(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．18. (1)在△ABC 中，a =1，b =2，cosC =14，求cos A ．(2)在△ABC 中，已知a =5√2，c =10，A =30°，求角B ；19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，f(x)=2sin(2x +π6)+1，且f(A)=2，b =1． (1)求角A ；(2)若△ABC 的面积为√32，求asinA 的值．20. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足sinA +√3cosA =2．(1)求角A 的大小；(2)若a =2，B =π4，求△ABC 的面积．21.记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=−6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．22.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=a n+1−1，且a1=1，数列{b n}中，b1=1，b5=9，2b n=b n+1+b n−1(n≥2)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式：(2)若c n=a n b n，求{c n}的前n项的和T n．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，数列{a n}的通项公式a n=2n+1，则a9=2×9+1=19，故选：D．根据题意，由数列的通项公式计算即可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：对于①，{1,2，3}是集合，不是数列，故选项①错误；对于②，数列是有序的，故数列−1，0，1与数列1，0，−1是不同的数列，故选项②错误；对于③，数列{1n }的第k−1项是1k−1，故选项③正确；对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．故选：B．利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．本题考查了数列概念的理解和应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵A+B+C=π，A：B：C=4：1：1，∴A=120°，B=C=30°，由正弦定理可知：a：b：c=sinA：sin B：sinC=√32：12：12=√3：1：1．故选：A．通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a、b、c的比即可本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R，得b=2RsinB，c=2RsinC，所以b+csinB+sinC =2R(sinB+sinC)sinB+sinC=2R=asinA，A正确；在△ABC中，若sinA>sinB，则a>b，A>B；若A>B，则a>b，即sinA>sinB，B正确；△ABC中，若sin2A=sin2B，则A=B或2A+2B=π，所以a=b或A+B=π2，C错误；△ABC中，a：b：c=2RsinA：2R sin B：2RsinC=sinA：sin B：sin C，D正确．故选：C．由正弦定理理asinA =bsinB=csinC=2R进行变形分别检验AD，由正弦定理及大边对大角检验B，结合正弦函数的性质检验B．本题主要考查了正弦定理及常见变形形式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，考查了判断三角形的形状，属于基础题．由条件利用正弦定理得sinB=sinC，B=C，且a2=b2+c2，可得三角形△ABC形状．解：∵bsinB=csinC，由正弦定理得sin2B=sin2C，∴sinB=sinC，∴B=C，由sin2A=sin2B+sin2C得a2=b2+c2，故三角形△ABC为等腰直角三角形．故选：A．6.【答案】C【解析】解：∵(a+b−c)(a+b+c)=ab，∴c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−(a2+b2+ab)2ab=ab2ab=12，∵0°<C<180°，∴C=120°，故选：C．由(a+b−c)(a+b+c)=ab可得c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC=a2+b2−c22ab =12可求C的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵a3=0，a7−2a4=−1，∴a1+2d=0，a1+6d−2(a1+3d)=−1，∴a1=1，d=−12，故选：D．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为数列{a n}是等比数列，且a1=1，a10=3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81，故选：A．由等比数列的性质知(a2a9)=(a3a8)=(a4a7)=(a5a6)=(a1a10).本题主要考查等比数列的性质．9.【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11=11(a1 +a11)2=88，故选：B．根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=11(a1 +a11)2运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：已知等式变形得：a2+c2−b22ac ⋅tanB=√32，即cosB⋅tanB=sinB=√32，则B=π3或2π3．故选：C．已知等式变形后，利用余弦定理化简，求出sin B的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11.【答案】A【解析】解：根据题意，设衰分比为x%，甲分到a石，0<x%<1，又由今共有粮食m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和为181石，则a(1−x%)=90，①a+a(1−x%)2=181，②解可得：a=100，x=10，则丁分得a(1−x%)3=100×0.93=72.9石，故选：A．根据题意，设衰分比为x%，甲分到a石，0<x%<1，结合等比数列的性质可得a(1−x%)=90和a+a(1−x%)2=181，解可得a、x的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12.【答案】D【解析】解：由题意得a na n−1=q，所以lga n−lga n−1=lg a na n−1=lgq为常数，即数列{lgan}为等差数列，A正确；因为S n=a1(1−q n)1−q =−a11−q⋅q n+a11−q，则A+B=0，B正确；因为a1>1，0<q<1，所以存在k使得0<a k<1，则T n−1=a1a2…a k−1取得最大值，C正确；S n×S3n=a1(1−q n)1−q ×a1(1−q3n)1−q=a12(1−q n)(1−q3n)(1−q)2，S2n2=a12(1−q2n)2(1−q)2，则S n⋅S3n≠S2n2，D错误．故选：D．由题意得a na n−1=q，然后检验lgan−lga n−1是否为常数可判断A；结合S n=a1(1−q n)1−q =−a11−q⋅q n+a11−q，可判断B；因为a1>1，0<q<1，可知存在k使得0<a k<1，可判断C；结合等比数列的求和公式求S n×S3n=a1(1−q n)1−q ×a1(1−q3n)1−q，S2n2=a12(1−q2n)2(1−q)2，可判断D．本题主要考查了等差数列的判断，等比数列的求和公式及性质，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：由A=π3,a=√3,b=1，根据正弦定理asinA =bsinB得：sinB=bsinAa =1×√32√3=12，由B为三角形的内角，得到B=π6或5π6，当B=5π6，A=π3，A+B=7π6>π，与三角形的内角和定理矛盾，舍去，∴B=π6，A=π3，则C=π2，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形由A的度数，a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由A和B的度数，由三角形的内角和定理求出C的度数，得到C为直角，故三角形ABC为直角三角形．此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求角B 时注意利用三角形的内角和定理检验，得到满足题意的B 的度数．14.【答案】9【解析】解：根据数列的前几项，归纳数列的通项公式为a n =n−12n，令n−12n =49，解得n =9． 故答案为：9．利用已知的数列的前几项，归纳出数列的通项公式，列出等式求解n 即可． 本题考查了数列的概念和通项公式，考查了推理能力与运算能力，属于基础题．15.【答案】(30+30√3)m【解析】解：在△PAB ，∠PAB =30°，∠APB =15°，AB =60， sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√22⋅√32−√22⋅12=√6−√24． 由正弦定理得：PBsin30∘=ABsin15∘， ∴PB =ABsin30°sin15∘=30(√6+√2)，∴树的高度为PBsin45°=30(√6+√2)×√22=(30+30√3)m ．故答案为：(30+30√3)m ．要求树的高度，需求PB 长度，要求PB 的长度，在△PAB 由正弦定理可得． 本题考查正弦定理和特殊角的三角函数值，考查学生利用数学知识解决实际问题，正确求PB 是关键．16.【答案】45【解析】解：a n+1={2a n ,0≤a n <12,2a n −1,12≤a n <1,若a 1=25， 则a 2=2a 1=45，a 3=2a 2−1=2×45−1=35， a 4=2a 3−1=2×35−1=15，a5=2a4=25，……所以数列{a n}是周期为4的数列，因为2018=504×4+2，所以a2018=a2=45．故答案为：45．由数列递推式可得数列{a n}是周期为4的数列，进而计算可得结论．本题主要考查数列递推式，考查数列的周期性，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵等差数列{a n}中，a1=−7，S3=−15，∴a1=−7，3a1+3d=−15，解得a1=−7，d=2，∴a n=−7+2(n−1)=2n−9；(2)∵a1=−7，d=2，a n=2n−9，∴S n=n2(a1+a n)=12(2n2−16n)=n2−8n=(n−4)2−16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值，为−16．【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．(1)根据a1=−7，S3=−15，可得a1=−7，3a1+3d=−15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；(2)由a1=−7，d=2，a n=2n−9，得S n=n2(a1+a n)=(n−4)2−16，由此可求出S n的最小值．18.【答案】解：(1)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=1+4−2×1×2×14=4，解得c=2，再由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =4+4−12×2×2=78；(2)由正弦定理得asinA =csinC，所以sinC=10×1 25√2=√22，因为C为三角形内角，所以C=45°或C=135°，当C=45°时，B=105°，C=135°时，B=15°．【解析】(1)由已知结合余弦定理可求c，然后结合余弦定理可求；(2)由正弦定理可求sin C，进而求出C，结合三角形内角和求出B．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意得2sin(2A+π6)+1=2，所以sin(2A+π6)=12，又A∈(0,π)，所以2A+π6∈(π6,13π6)，所以A=π3；(2)S△ABC=12bcsinA=12×1×c×√32=√34c=√32，所以c=2，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=1+4−2×1×2×12=3，故a=√3，由正弦定理得asinA =√3sinπ3=2．【解析】(1)由(A)=2，可得sin(2A+π6)=12，再解方程求出A；(2)由三角形面积公式可得c，然后由余弦定理求出a，再由正弦定理得到asinA的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为sinA+√3cosA=2，所以sin(A+π3)=1，由A为三角形内角得A=π6；(2)由正弦定理得asinA =bsinB，所以b=2×√2 212=2√2，因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=12×√22+√32×√22=√2+√64，S△ABC=12absinC=12×2×2√2×√2+√64=1+√3．【解析】(1)由已知结合辅助角公式进行化简可求A；(2)由正弦定理先求b，结合诱导公式及两角和的正弦公式可求sin C，代入三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3=S3−S2=−6−2=−8，则a1=a3q2=−8q2，a2=a3q=−8q，由a1+a2=2，即−8q2+−8q=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=−2，则a1=−2，a n=(−2)×(−2)n−1=(−2)n，∴{a n}的通项公式a n=(−2)n；(2)由(1)可知：S n=a1(1−q n)1−q=−2[1−(−2)n] 1−(−2)=−13[2+(−2)n+1]，则S n+1=−13[2+(−2)n+2]，S n+2=−13[2+(−2)n+3]，由S n+1+S n+2=−13[2+(−2)n+2]−13[2+(−2)n+3]，=−13[4+(−2)×(−2)n+1+(−2)2×(−2)n+1]，=2×[−13(2+(−2)n+1)]，=2S n，即S n+1+S n+2=2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．【解析】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．(1)由题意列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；(2)由(1)可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．22.【答案】解：(1)由题意，可知：对于数列{a n}：①当n=1时，a1=1．②当n≥2时，a n=S n−S n−1=(a n+1−1)−(a n−1)=a n+1−a n．∴a n+1=2a n．∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴a n=2n−1．对于数列{b n}：∵2b n=b n+1+b n−1(n≥2)．∴根据等差中项判别法，可知：数列{b n}是等差数列．又∵公差d=b5−b15−1=9−14=2．∴数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴b n=1+(n−1)×2=2n−1．(2)由(1)，可知：c n=a n b n，=(2n−1)⋅2n−1．T n=c1+c2+⋯+c n=1⋅1+3⋅21+5⋅22+⋯+(2n−1)⋅2n−1，------①．2T n=1⋅21+3⋅22+⋯+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n，------②．①−②，可得：−T n=1+2⋅21+2⋅22+⋯+2⋅2n−1−(2n−1)⋅2n=1+4⋅(1+2+22+⋯+2n−2)−(2n−1)⋅2n=1+4⋅1−2n−11−2−(2n−1)⋅2n=1+4⋅(2n−1−1)−(2n−1)⋅2n =(3−2n)⋅2n−3．∴T n=(2n−3)⋅2n+3．【解析】本题第(1)题对于数列{a n}可利用公式a n=S n−S n−1得到a n+1和a n的递推关系式，根据递推关系式判断出数列{a n}是等比数列，即可求出通项公式，对于数列{b n}可根据等差中项判别法判别出数列{b n}是等差数列，也可求出通项公式；第(2)题先求出c n 的通项公式，然后根据c n的通项公式的特点利用错位相减法求出前n项的和T n．本题第(1)题主要考查根据递推公式求出通项公式，以及据等差中项判别法判别出数列是等差数列，然后求出通项公式；第(2)题主要考查利用错位相减法求出数列的前n项和．。
2021-2022学年四川省泸县第一中学高一下学期开学考试数学试卷
泸县一中高2021级高一下学期开学考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 客观题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.=︒210sin A．BC ．12-D ．122.函数()f x A.[)()122+∞，， B.()1+∞， C.[)1,2 D.[)1+∞，3.已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N ⋂=，则实数a 的值是 A.1B.-1C.1或-1D.以上答案都不对4.函数()ln 29f x x x =+-的零点所在区间是 A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55.已知函数()2221x f x x =-+，若()43f a =-，则()f a -=A.43B.23-C.43-D.83-6.函数22(1)3y x m x =+-+在区间(,2]-∞-上是减函数，则m 的取值范围是 A.3m ≤B.3m ≥C.3m ≤-D.3m ≥-7.设函数()2log 1,2,()11,2,2x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩若()01f x > ，则0x 的取值范围是A.()(,02,) ⋃-∞+∞B.(0,2)C.,1()3,()∞-⋃+∞-D.()1,3-8.已知函数()sin (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象 A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9.若πsin(π)sin 2θθ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=A ．12-B ．12±C ．12 D ．43-10.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数,记0.5(log 3),a f =2(log 5)b f =,(2)c f m =,则a ,b ,c ,的大小关系为A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<11.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且πππ2π,2323f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω=A ．6B ．3C ．2D ．112.设函数()21lg 111x x f x x x -=-++-，()()1212g x f x f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．若()g x 的值不小于0，则x 的取值范围是 A ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．3111,,4224⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1130,,224⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦第II 卷 主观题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都南开为明学校2020_2021学年高一数学下学期开学测试试题
四川省成都南开为明学校2020-2021学年高一数学下学期开学测试试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号涂在答题卡中.）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.一个扇形的面积是，它的半径是，则该扇形圆心角的弧度数是（）A. B. 1 C. 2 D.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.4.在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是( )A. B. C. D.5.已知α是第三象限角，5tan12α=，则sinα=（）A. 15B.15- C.513D.513-6.若a=50.3，b=0.35，c=log0.35，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知是上的偶函数，且在上是减函数，若，则的解集是( )A. B. C. D.8.同时具有性质“周期为，图象关于直线对称，在上是增函数”的函数是A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共2小题,每小题6分，共12分，答案写在答题卡上．）9.函数的定义域为______．10.已知12sin 313a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.三、解答题（本大题共3小题，11题13分，12题每题13分，13题每题14分共40分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11.解答下列各题: （1）；（6分）（2）已知4tan =α，求ααααsin 2cos 3cos 2sin +-．（7分）12.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ），x∈R（其中A ＞0，ω＞0，0＜φ ）的周期为π，且图象上的一个最低点为M （）．（1）求f （x ）的解析式；（6分）（2）当x∈[0，]时，求f （x ）的值域．（7分）13.已知函数.（1）若在上是减函数，求的取值范围；（7分）（2）设，，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.（7分）成都为明学校20-21学年度下学期入学考试高一数学命题人：周双审题人：刘永芳第Ⅰ卷二、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号涂在答题卡中.）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A2.一个扇形的面积是，它的半径是，则该扇形圆心角的弧度数是（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】C3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D4.在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是( )A. B. C. D.【答案】B5.已知α是第三象限角，5tan12α=，则sinα=（）A. 15B.15- C.513D.513-【答案】D6.若a=50.3，b=0.35，c=log0.35，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A7.已知是上的偶函数，且在上是减函数，若，则的解集是( )A. B. C. D.【答案】A8.同时具有性质“周期为，图象关于直线对称，在上是增函数”的函数是A.B.C.D.【答案】D第Ⅱ卷二、填空题（本大题共2小题,每小题6分，共12分，答案写在答题卡上．） 9.函数的定义域为______．【答案】．10.已知12sin 313a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】1213三、解答题（本大题共3小题，11题13分，12题每题13分，13题每题14分共40分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11.解答下列各题: （1）；；（6分）（2）已知4tan =α，求ααααsin 2cos 3cos 2sin +-．（7分）【答案】（1）1； （2） 【解析】（1）（2）.故答案为：.12.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ），x∈R（其中A ＞0，ω＞0，0＜φ ）的周期为π，且图象上的一个最低点为M （）．（1）求f （x ）的解析式；（6分）（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．（7分）【答案】（1）[ ]，k∈Z；；（2）[1，2].（1）由f（x）=Asin（ωx+φ），且T==π，可得ω=2；又f（x）的最低点为M（）∴A=2，且sin（+φ）=-1；∵0＜φ，∴∴∴f（x）=2sin（2x+）；（2）0≤x≤，≤2x+≤∴当2x+=或，即x=0或时，f min（x）=2×=1，当2x+=，即x=时，f max（x）=2×1=2；∴函数f（x）在x∈[0，]上的值域是[1，2]．13.已知函数.（1）若在上是减函数，求的取值范围；（7分）（2）设，，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.（7分）【答案】(1) (2)（1）由题设，若在上是减函数，则任取，，且，都有，即成立.∵.又在上是增函数，且，∴由，得，即，且.∴只须，解.由，，且，知，∴，即，∴.所以在上是减函数，实数的取值范围是.（2）由题知方程有且只有一个实数根，令，则关于的方程有且只有一个正根. 若，则，不符合题意，舍去；若，则方程两根异号或有两个相等的正根.方程两根异号等价于解得；方程有两个相等的正根等价于解得；综上所述，实数的取值范围为.。
2021届四川省泸县第四中学高一下学期数学开学考试题
2021届四川省泸县第四中学高一下学期数学开学考试题一．选择题〔此题共12道小题，每题5分，共60分〕1.集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，那么A ∩B =〔 〕A. {}|12x x -<≤B. {}|01x x ≤<C. {}|12x x <≤D. {}1|0x x <<2.以下函数在其定义域上具有奇偶性,且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. ln y x =B. 3y x =C. 1y x =D. 1y x x=+ 3.以下四组中，f (x )与g (x )表示同一函数的是〔 〕A. ()f x x =, 2()g x x =B. ()f x x =, 2()()g x x =C. 2()f x x =，3()x g x x= D. ()f x x =, ()g x =,(0),(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩ 4.在同一坐标系中，函数x y e -=与函数ln y x =的图象可能是〔 〕A B C D5. .函数()log (2)1a f x x =+-〔0a >且1a ≠〕的图象经过定点〔 〕A. (－1,－1)B. (－1,0)C. (－2,2)D. (－2,0) 6函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，那么)1(-f 是〔 〕A. －1B. 2C.1D.-27.设函数(2),2()2,0x f x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，那么=)(f 3〔 〕A. －1B. 2C. 6D. 118.函数()2ln f x x x =-的零点所在的区间为〔 〕A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5) 9.设0.440.4log 3,log 3,3a b c ===，那么实数a 、b 、c 的大小关系是〔 〕A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>10.f (x )是定义在(－∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，假设f (x )在(0,+∞)上单调递减，且01=-)(f ，那么不等式0)(≤x f 的解集为〔 〕A. }x x {01<≤-B. {|1}x x ≥-C. {|10x x -≤< 或0}x >D.}x x x {11≥-≤或11.假设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对一切实数都有f (2＋x ) ＝ f (2－x )那么( )A. f (2)<f (1)< f (4)B. f (1)<f (2)< f (4)C. f (2)<f (4)< f (1)D. f (4)<f (2)< f (1)12.函数2||()ln(2)x f x x e -=+-，那么使得不等式)1()2(-<f x f 成立的x 的取值范围是〔 〕A. 11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121,D. 11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 二．填空题〔此题共4道小题，每题5分，共20分〕13.幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，那么f (x )=_____________． 14.方程()25log 2=-x 的解是_______________15.函数2322+-=x x y 的单调递增区间为___________16.以下四个说法：①函数()(0,)(,0)f x +∞-∞在区间上单调递增，在区间上也单调递增，所以()f x 在区间(,0)(0,)-∞+∞上是增函数；②假设函数22()280f x ax bx x b a =++-<与轴没有交点，则；③符合条件{1}{1,2,3}A ⊆⊆的集合A 有4个；④函数2ln 2(0)()41(0)x x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩有3个零点。
高中数学练习题 2021-2022学年四川省成都高一(下)入学数学试卷
2021-2022学年四川省成都外国语学校高一（下）入学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）A ．(−2，2)B ．(−1，2)C ．(0，2)D ．(1，2)1．（5分）已知集合A ={x |ln （x -1）<0}，B ={x |x 2-2<0}，则A ∩B =（ ）√√√√√A ．13B ．12C ．-13D ．-122．（5分）曲线y =ax 2-ax +1（a ≠0）在点（0，1）处的切线与直线2x +y +10=0垂直，则a =（ ）A ．2π3B ．π3C ．π8D ．5π63．（5分）将函数f （x ）=sinx -3cosx 的图象向左平移m （m >0）个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）√A ．72B ．92C ．73D ．944．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积（单位m 3）为（ ）A ．25B ．−25C ．-2D ．25．（5分）已知sinα+3cosα3cosα−sinα=5，则sin 2α-sinαcosα的值是（ ）A ．a n =2nB ．a n =2n -1C ．a n =3n -1D ．a n =3n6．（5分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1（n ≥1，n ∈N ），则数列{a n }的通项公式是（ ）A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 27．（5分）已知在m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面，若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2=M ，则α∥β的一个充分条件是（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）A ．（0，1）B ．（0，22）C ．（22，1）D ．[0，22]8．（5分）分别过椭圆x 2a2+y 2b2=1的左、右焦点F 1、F 2所作的两条互相垂直的直线l 1、l 2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）√√√A ．[12，2]B ．[43，4]C ．[1，74]D ．[2，4]9．（5分）已知实数x ,y 满足约束条件V Y Y W Y Y X x ≥1y ≥x −12x +y ≤6，目标函数z =x +y ,则当z =3时，yx的取值范围是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．910．（5分）已知圆C 1：x 2+y 2+4ax +4a 2-4=0和圆C 2：x 2+y 2-2by +b 2-1=0只有一条公切线，若a ,b ∈R 且ab ≠0，则1a2+1b2的最小值为（ ）A ．2B ．2+2C ．2D ．111．（5分）已知P 是椭圆x 24+y 2=1上第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，则四边形OAPB 面积的最大值为（ ）√√A ．b <-2且c >0B ．b >-2且c <0C ．b <-2且c =0D ．b ≥-2且c =012．（5分）已知函数f （x ）=V Y W Y X |x +1x |，x ≠00， x =0，则关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）+c =0有5个不同实数解的充要条件是（ ）13．（5分）已知向量a ，b 满足（a +2b ）•（a -b ）=-6，且|a |=1，|b |=2，则a 与b 的夹角为π3．→→→→→→→→→→14．（5分）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y =x -1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为（x -3）2+y 2=4．√15．（5分）图，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45°，假设建筑物高50m ,设山对于地平面的斜度θ，则cosθ=3−1．√三、解答题（本大题共6题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD 且2AB 2+BD 2-4=0，若将其沿BD 折成直二面角A -BD -C ，则三棱锥A -BDC 的外接球的表面积为4π．17．（10分）已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是正项等比数列，且满足a 1=1，b 1=4，a 2+b 2=10，a 26-b 3=10． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）记c n =a n b n ，求数列{C n }的前n 项和S n ．18．（12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .且cosA −2cosC cosB =2c −ab．（Ⅰ）求sinCsinA的值； （Ⅱ）若cosB =14，b =2，求△ABC 的面积S ．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，2AC =AA 1=BC =2，D 为棱AA 1上的点．（1）若D 为AA 1的中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （2）若直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为45°，求AD 的长．20．（12分）如图，已知圆心坐标为（3，1）的圆M 与x 轴及直线y =3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线y =3x 分别相切于C 、D 两点． （1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ,求直线l 被圆N 截得的弦的长度．√√√21．（12分）椭圆x 2a2+y 2b2=1（a >b >0）与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，原点O 到直线AB 的距离为255，该椭圆的离心率为32．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点P (0，53)的直线l 与椭圆交于M ，N 两个不同的点，且使QM =4QN −3QP 成立（Q 为直线l 外的一点）？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．√√→→→22．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．。
四川高一高中数学开学考试带答案解析
四川高一高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列各数中，最小的数是（）A．B．C．D．02.函数y=的自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．3.下列命题中，真命题是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是正方形D．四个内角均相等的四边形是矩形4.下列运算正确的是（）A．B．C．D．5.如图，直线∥，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．B．C．D．6.如下图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．7.下列说法中正确的是（）A．的值为B．同时掷两枚硬币，结果都是正面朝上的概率是C．的平方根是D．的倒数和值相等．8.随机对某社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是55 B．众数是60C．方差是29 D．平均数是549.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则直角三角形的面积为（）A．6B．7C．8D．910.给出下列命题及函数与和的图象：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．则（）A．正确的命题只有①B．正确的命题有①②④C．错误的命题有②③D．错误的命题是③④二、填空题1.计算：= ．2.分解因式：＝．3.如图，圆O的直径CD=10cm，D为的中点，CD交弦AB于P，AB=8cm，则．4.将一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为，则原抛物线的解析式为．5.如图，的一条直角边在x轴上，双曲线经过斜边的中点C，与另一直角边交于点D．若，则的面积为．6.已知抛物线经过点和．下列结论：；；③当时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为其中结论正确的有__________________（写出所有正确结论的番号）三、解答题1.（本小题6分）计算：2.（本小题6分）：先化简，再求值：，其中x=3.（本小题8分）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：甲班：根据上面提供的信息回答下列问题（1）表中x= ，甲班学生成绩的中位数落在等级中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角为度．（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．4.（本小题12分）已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC长为5．（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形。
广安市武胜烈面中学校高一数学下学期开学考试试题
四川省广安市武胜烈面中学校2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题（总分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.的值是A。
B。
C。
D。
2.函数的定义域是A。
B。
C。
D.3.已知集合,，则A,B的关系可以是A. B. C。
D。
4.某同学从家到学校需经过一处红绿灯,某天这位同学骑车上学，一路匀速行驶到红绿灯处正好遇上红灯，停留了90秒，然后加速行驶至学校在这一过程中，该同学行驶的路程s与时间t的函数图象可能是A. B.C. D。
5.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如表:那么方程的一个近似根精确到可以是A. B。
C. D。
6.设函数，则A。
0 B. C。
1 D。
7.已知一个扇形的圆心角为，半径为则它的弧长为A。
450 B. C. D.8.为了得到函数，的图象，只需把，的图象上所有点A。
向左平移个单位长度B。
向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度9.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或三国演义的学生共有80位,阅读过西游记的学生共有60位，阅读过西游记且阅读过三国演义的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过三国演义的学生人数为A。
60 B. 50 C。
40 D。
2010.已知,，，则a,b,c的大小关系为A。
B。
C。
D.11.中，,M是BC中点，O是线段AM上任意一点，且，则的最小值为A。
B。
2 C。
D。
112.已知函数，若存在，使得成立,则实数k的取值范围是A. B。
C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数的图象经过点,则实数______ ．14.设向量，若，则实数k的值是______ ．15.若函数对任意的x都有，则的值是______ ．16.如果函数在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意，，，，都有若在区间上是凸函数，那么在中,的最大值是______．三、解答题(本大题共6小题，共70。
2022年2月四川省绵阳南山中学2021-2022学年高一年级下学期开学考试数学试题
2022年2月绵阳南山中学高2021级高一下期入学考试试题数学命题人：李忠彬 审题人：冯淼第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x |0<x <4}，B ={2,3,4}，则A ∩B =（ ）A ．{2,3}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}2．已知弧长为π的扇形圆心角为π6，则此扇形的面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．(预习内容第31页第5题)在△ABC 中，若AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC =（ ）A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π64. (第22页第3题)函数f (x )=tan (2x +π4)的定义域为（ ）A ．{x|x ≠kπ+π2,k ∈Z,x ∈R}B ．{x|x ≠2kπ+π2,k ∈Z,x ∈R}C ．{x|x ≠kπ+π8,k ∈Z,x ∈R}D ．{x|x ≠kπ2+π8,k ∈Z,x ∈R}5．函数f (x )=e x +2x −3的零点所在的区间是（ ）A ．(−2,−1)B ．(−1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)6．(预习内容第6页第2题)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．(4,3)B ．(−4,−3)C ．(−4,3)D ．(4,−3)7．函数f (x )=3x +a 与函数g (x )=log a x (a >0且a ≠1)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f(x)=√3sin2x+2cos2x−1的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)=（）A．2sin(2x+π6)B．2sin(2x−π6)C．2cos(2x+π6)D．2cos(2x−π6)9．已知sin(α−π3)=13，则sin(2α−π6)=（）A．−79B．−19C．19D．7910．若f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x1,x2∈(−∞,0]，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则a=f(sin3)，b=f(ln13)，c=f(21.5)的大小关系是（）A．a>c>b B． a>b>c C．b>c>a D．c>b>a11．(第18页第5题)若A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2−5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上均有可能12．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)−1(ω>0,0≤φ≤π2)的最小正周期为4π，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，则φ的取值范围是（）A．[0,π3]∪{5π12}B．[0,π4]∪[π3,π2]C．[0,π6]∪{5π12}D．[0,π6]∪[π3,π2]第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学下学期开学考试试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并用2B 铅笔将考号准确填涂2、作答选择题时，选出答案后用2B 铅笔在答题卡对应题目选项答案信息涂黑；如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、单项选择题（每题5分，共60分） 1、数列1,3,5,7,L 的一个通项公式是（ A ）A 、21n a n =-B 、21n a n =+C 、31n a n =-D 、31n a n =+ 2、设,,a b c R ∈,且a b >,则（ C ）A 、ac bc >B 、22a b >C 、 33a b >D 、 11a b< 3、化简0000sin 74cos 29-cos74sin 29的值为（ B ） A、2-B、2C 、1D 、-1 4、在ABC ∆中，,14A a b π===，则B 等于（ B ）A 、030或0150B 、030C 、0150D 、以上答案都不对 5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若16119a a a ++=，则11S ＝（ C ） A 、7 B 、14 C 、33 D 、42 6、已知数列{}n a 满足：()*3121,22n n n a a a n N a +==∈+，则1a =（D ） A 、12 B 、3 C 、23D 、1 7、已知,A B 两地距离为2，,B C 两地距离为3，现测得23ABC π∠=，则,A C 两地的 距离为（ D ）AD8、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且3613S S =，则612SS 等于（ B ） A 、13 B 、310 C 、18 D 、199、下列说法正确的是（ B ）①若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形； ② 若{}n a 是正项等比数列，则{}2log n a 是等差数列；③若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆为等边三角形； ④常数列既是等差数列又是等比数列；A 、①②B 、②③C 、①③D 、③④10、正项等比数列{}n a 满足56478a a a a +=，则4142410log log log a a a +++=L （A ）A 、5B 、8C 、10D 、2+log 4511、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14150,0S S ><，则n 取何值时n S 最大 ( C ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、812、已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin sin a b A c C b B -=- 若ABC ∆的面积为3，则ABC ∆的周长的最小值为（ B ） A 、33B 、6C 、63D 、33+解：∵（a ﹣b ）•sin A ＝c sin C ﹣b sin B ，∴由正弦定理可得（a ﹣b ）a ＝c 2﹣b 2，可得a 2+b 2﹣c 2＝ab ， ∴由余弦定理可得cos C ＝＝＝，可得sin C ＝＝，∵△ABC 的面积为＝ab sin C ＝ab ，解得ab ＝4，24a b ab ∴+≥=∴由余弦定理可得c 2＝a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab ＝4，即c ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴△ABC 的周长为a +b +c ≥6，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 即△ABC 的周长的最小值为6．故选：B ． 二、填空题（每题5分，共20分） 13、已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则tan α=___3___14、已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则n a =______()()212-12n n n =⎧⎪⎨≥⎪⎩ 15、我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆ 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =222sin 2sin ,()4a C A a c b =+=+ ，则用 “三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为 ．1216、已知数列{}n a 满足：()*11121,+1,n na n N a a +==∈,若()1111,n nb n a λ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ三、解答题（共70分）17、(10分)ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 对边，且01,105,30c A C ===， （1）求b ； （2）求ABC ∆的面积 解：（1）易知045B =，由sin sin c bb C B=⇒=分 （2）111sin 12244ABC S bc A ∆==⨯= .......10分 18、(12分)（1cos15+ key（2）已知()0005120210,sin 6013αα<<+=-，求cos α的值 key ： （1）原式002sin(1530)=+=分（2）()00000012120210,18060270cos 6013ααα<<∴<+<∴+=-()001215cos cos (60)6013213αα⎛⎫∴=+-=-⨯+-=⎪⎝⎭1226-- ...12分 19、(12分)已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足：253,25a S ==（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设=+2nn n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）2115131510252a a d a S a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩ ()*21n a n n N ∴=-∈ ……………6分（2）=+2212nnn n b a n =-+123T ++n n b b b b ∴=+⋅⋅⋅+()()()()123=1+2+3+2+5+221+2n n +⋅⋅⋅+-……………………………7分12(135...21)(22...2)n n =++++-++++………………………………8分()212(121)+212nn n -+-=-2+122n n=+- …… …………11分2122n n T n +=+-…………………………………12分20、(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点))(,(*N n S n n ∈在函数22y x x =-上，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT ≥对所有*N n ∈都成立的最大正整数m21、(12分)设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin b a B =． （1）求A 的大小； （2）求cos sin C B +的取值范围．解：（1）由2sin b a B =，根据正弦定理得sin 2sin sin B A B =，所以1sinA 2=， 由ABC △为锐角三角形得π6A =． （2）5cos sin cos sin 63C B C C C ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由ABC △为锐角三角形知，0252532336062C C C C ππππππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⇒<+<⎨⎪<-<⎪⎩1sin 23C π⎛⎫∴<+<⎪⎝⎭所以，cos sin C B +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．22、(12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,1=1a ,且2n ≥时1(1),n n na n a -=-,数列{}n b 满 足1211,,24b b ==对任意*n N ∈,都有212n n n b b b ++=. （1）求数列}{n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122.n n n T a b a b a b =+++L 若对任意的*n N ∈,不等式2()6n n n n n b S nT b λλ>--恒成立,试求实数λ的取值范围.解：（1）当2n ≥时， 1(1)n n na n a -=-，即11n n a na n -=-( 2n ≥). ………………1分 ∴132112211232112321n n n n n a a a a n n n a a n a a a a n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---(2n ≥)， 又11a =,也满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =(n ∈*N ).…………………3分 （说明：学生由11111n n n n a a a aa n n n n -=⇒==⇒=-，同样得分）. 由1212,0n n n b b b b ++=⋅≠且，知数列{}n b 是等比数列，其首项、公比均为12， ∴数列{}n b 的通项公式n n b )21(= …………………………………………………4分（2）(1)123....2n n n n s +=++++=………5分∵2111112()(1)()()2222n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅L <1>∴ 23111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=+⋅++-+L <2> ………6分由<1><2>,得231111111()()()]()222222n n n T n +=++++-⋅L ………………7分1111-1221212n n n +⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅ ⎪⎝⎭-…………8分222n nn T +∴=- ……………9分 不等式2()6n n n n n b S nT b λλ>--即()11212(2)62222n nn n n n n n λλ⎛⎫+⎛⎫+⎛⎫⎛⎫-⋅>-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即2(1)(12)60n n λλ-+--<（*n ∈N ）恒成立.…………………………………10分方法一：设2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n ∈N ）， 当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=满足条件； 当1λ<时，由二次函数性质知不恒成立； 当1λ>时，由于对称轴x =1201λλ--<-,则()f n 在[1,)+∞上单调递减， ()(1)340f n f λ≤=--<恒成立，则1λ>满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1,)+∞. ……………………………………………12分方法二：也即2262n n n nλ+->+（*n ∈N ）恒成立，令226()2n n f n n n +-=+．则22611()1112422(6)1066n f n n n n n n n n +=-=-=-++++-++, 由67n +≥，24(6)106n n ++-+单调递增且大于0，∴()f n 单调递增， 当n →+∞时，()1f n →，且()1f n <，故1λ≥，∴实数λ的取值范围是[1,)+∞ ……………………………………………12分。