辽宁省沈阳市第一六五高级中学2019年高三数学文联考试卷含解析

辽宁省沈阳市第一六五高级中学2019年高三数学文联
考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集，集合，，
则?U（A∪B）＝（）
A．（－∞，1）B．（1，＋∞）C．（－∞，1] D．[1，＋∞）
参考答案：
B
略
2. 设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）
A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}
参考答案：
B
【考点】并集及其运算．
【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．
【解答】解：∵P∩Q={0}，
∴log2a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}，
故选B．
3. 已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．4
参考答案：
A
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积求出λ的值，再求其模即可．
【解答】解：，
，
故选A．
4. 若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数
的大致图象大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】3O：函数的图象．
【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，
可得a＞1，
则函数是奇函数，可知B不正确；
当x→0+，时，函数＜0，排除A，
当x=a10时，函数=→0，排除D，
故选：C．
5. 计算（1﹣cosx）dx=（）
A．π+2 B．π﹣2 C．π D．﹣2
参考答案：
B
考点：定积分．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：求出原函数，即可求得定积分．
解答：解：（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）=（﹣sin）﹣[﹣﹣sin （﹣）]=π﹣2，
故选：B．
点评：本题考查定积分，考查学生的计算能力，比较基础．
6. 函数的图象大致是（）
参考答案：
D
7. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
参考答案：
C
8. 函数y=（2x﹣1）e x的图象是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．
解答：解：令y=（2x﹣1）e x=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，
当x→﹣∞时，e x→0，所以y→0，故排除B，
故选：A．
点评：本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．
9. 函数的反函数是（）.
A．B．
C． D．
参考答案：
答案：D
10. 已知椭圆+=1（m＞0）与双曲线=1（n＞0）有相同的焦点，则m+n的最大值是（）
A．3 B．6 C．18 D．36
参考答案：
B
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆双曲线的几何性质，可得25﹣m2=7+n2，变形可得：m2+n2=18，进而由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆+=1（m＞0）与双曲线=1（n＞0）有相同的焦点，
则有25﹣m2=7+n2，
变形可得：m2+n2=18，
又由≥（）2，
则有（）2≤9，
即m+n≤6，
则m+n的最大值是6；
故选：B．
【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，涉及基本不等式的性质，关键是得到m2与n2的关系．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某几何体的三视图如图，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是由两个等
边三角形拼成，则该几何体的体积为_________.
参考答案：
12. 已知数列{a n}中，，，则数列{a n}的通项公式
a n =________.
参考答案：
依题意，且，所以由累加法可知，当时，
，也满足，所以数列的通项公式为.
试题立意：本小题考查递推数列的通项公式等基础知识；考查逻辑推理能力和运算求解能力.
13. 甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是_____
参考答案：
14. 已知向量满足,且,则向量与的夹角为. 参考答案：
由题cos,
,所以
15. 已知，则
参考答案：
略
16. 已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px（p>0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。

参考答案：
（1，0）
17. 的展开式中的系数为10，则实数= ．
参考答案：
4
由二项式定理得，令，则，所以的系数为，所以，．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，是它的一个顶点，过点P 作圆的切线PT，T为切点，且.
(1)求椭圆C1及圆C2的方程；
(2)过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B 两点，求△ABD面积的最大值.
解：（1）由a=2，e=，得c=,所以b=，故所求椭圆方程为. 由已知有r=,圆C2的方程为C2：x2+y2=2.(4分)
（2）设直线l1方程为y=k（x+2），由得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，
所以x P+x D=，又x D=，所以==.
直线l2的方程为即x+ky+2=0，，
所以
==
≤=，当且仅当，k=时取等号，因此△ABD的面积的最大值为.(12分)
19.
（13分）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－
f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
解析：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x. （4分）
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，（6分）
f max(x)=f(－1)=2，f min(x)=f(1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|f max(x)－f min(x)|=2－(－2)=4 （8分）（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，
∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为，
整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根（10分）
设g(x-0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0-=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1 （11分）
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
，解得－3－2.
故所求的实数a的取值范围是－3－2. （13分）
20. 设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．
（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．
参考答案：
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，a n=λS n﹣1+1，可得a n+1=
（1+λ）a n，利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（1）∵a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n=λS n﹣1+1，
∴a n+1﹣a n=λa n，即a n+1=（1+λ）a n，
又a1=1，a2=λa1+1=λ+1，
∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，
∴a3=（λ+1）2，
∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．
∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，
整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1．
∴a n=2n﹣1，b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．
（2）a n b n=（3n﹣2）?2n﹣1，
∴数列{a n b n}的前n项和T n=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）?2n﹣1，
2T n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，
∴﹣T n=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5，
∴T n=（3n﹣5）×2n+5．
点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜．
参考答案：
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则
解得
∴an＝2n－1，n∈N*．……………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵＝＝(－)，
∴＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1－)＜．………………………………………………………………12分
略
22. （本小题满分10分）
已知，n∈N*.
(1) 若，求中含项的系数；
(2) 若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：≥(1＋)(1＋)…(1＋)．
参考答案：
(1) 解：g(x)中含x2项的系数为C＋2C＋3C＝1＋10＋45＝56.(3分)
(2) 证明：由题意，p n＝2n－1.(5分)
①当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；
②假设当n＝k时，p k(a1a2…a k＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a k)成立，
当n＝k＋1时，
(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a k)(1＋a k＋1)≤2k－1(a1a2…a k＋1)(1＋a k＋1)
＝2k－1(a1a2…a k a k＋1＋a1a2…a k＋a k＋1＋1)．(*)
∵ a k＞1，a1a2…a k(a k＋1－1)≥a k＋1－1，即a1a2…a k a k＋1＋1≥a1a2…a k＋a k＋1，
代入(*)式得(1＋a1)(1＋a2)…(1＋a k)(1＋a k＋1)≤2k(a1a2…a k a k＋1＋1)成立．
综合①②可知，p n（a1a2…a n＋1）≥（1＋a1）（1＋a2）…（1＋a n）对任意n∈N*成立．（10分）。