第十八章 隐函数存在定理

第十八章 隐函数存在定理
§1 隐函数存在定理
引例：221x y y +=⇒=(1,0)U ∀±的点，不能显化，是使0y F =的点。

定理1 （一元隐函数存在定理）若(,)F x y 满足1）00(,)0F x y =；
2）00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤内(,)F x y 连续且连续偏导,y x F F ； 3）00(,)0y F x y ≠，则有
i) 在00(,)x y 附近由(,)0F x y =唯一确定隐函数0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足
(,())0F x f x =，00()y f x =；
ii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续； iii) ()y f x =在0(,)x O x ρ∈连续导数，且(,)(,)
x y F x y dy
dx F x y =-。

证明 设0y F >
1）存在性 由连续函数y F 保号性，在00{(,)|||,||}D x y x x a y y b =-≤-≤上
(,)0y F x y >，在固定的0x ，0(,)F x y 在00[,]y y ββ-+↑（严格），又00(,)0F x y =，从
而
0000(,)0,(,)0F x y F x y ββ-<+>，由(,)F x y 连续，0ρ∃>，在00,x x x ρρ-<<+ 0y y β=+上0(,)0F x y β+>；在00,x x x ρρ-<<+0y y β=-上0(,)0F x y β-<。

对00(,)x x x ρρ∀∈-+，(,)F x y 是y 在00[,]y y ββ-+上连续函数，则0(,)0F x y β-<
0(,)0F x y β+>，由零点定理，00(,)y y y ββ∃∈-+，使得(,)0F x y =，由0y F >知
唯一，从而有0(),(,)y f x x O x ρ=∈满足(,())0F x f x =，00()y f x =； 2）连续性 设00(,)x x x ρρ∀∈-+，对0ε∀>，由(,)0(())F x y y f x ==知
(,)0F x y ε-<，(,)0F x y ε+>，则由前面讨论可知，0(,)x O x ρ∈时相应的隐函数满
足()(),f x y y εε∈-+，即|()()|f x f x ε-<，连续。

3）可导性 00(,)x x x ρρ∀∈-+，00(,)x x x x ρρ∀+∈-+，()y f x =，
()y y f x x +=+，则成立(,)0F x y =，(,)0F x x y y ++=V V 。

0(,)(,)(,)(,)(,)(,)
F x x y y F x y F x x y y F x y y F x y y F x y =++-=++-+++-=12(,)(,)x y F x x y y x F x y y y θθ++++V V V V V ，又*D 上0y F ≠，则有
12(,)(,)
x
y F x x y y y
x F x y y θθ++=-+V V V V V ，令0x →，则(,)
(,)
x x
y F x y dy dx F x y =-
注：在局部确定隐函数
定理2若12(,,...,)n F x x x y 满足1）000
120(,,...,,)0n F x x x y =；
2）0
0{(,)|||,||}i i i D x y x x a y y b =-≤-≤内F 连续且连续偏导,i y x F F ；
3）000
120(,,...,,)0y n F x x x y ≠，则有
i) 在0
120(,,...,,)n x x x y 附近由12(,,...,)n F x x x y 唯一确定隐函数
000
1212(,,),(,,...,,)n n y f x x x x O x x x ρ=∈满足1212(,,...,(,,...))0n n F x x x f x x x =，000012(,,...,)n y f x x x =；
ii) 12(,,)n y f x x x =在000
12(,,...,,)n x O x x x ρ∈连续；
iii) 000
1212(,,),(,,...,,)n n y f x x x x O x x x ρ=∈连续导数，且
1212(,,,)(,,,)
i
x n i y n F x x x y y
x F x x x y ∂=-∂ 注
(,,)0(,)F x y z z f x y =⇒=0,0x z
y z z z F F F F x y ∂∂+=+=∂∂,y x z z
F F z z
x F y F ∂∂⇒=-=-∂∂ 1212(,,...,,)0(,,...,)n n F x x x y y f x x x =⇒=，0i x y
i y F F x ∂+=∂，i x i y
F y
x F ∂=-∂ 例1 设2222221(0)x y z z a b c ++=>，求
,z z
x y ∂∂∂∂ 解 对,x y 求偏导数，222222220,
0x z z
y z z
x
y a c a c ∂∂+=+=∂∂g g 2222,z c x z c y
x a z y b z
∂∂⇒=-=-∂∂ 例2 设2
2
2
4x y z z ++=，求222,z z
x x y
∂∂∂∂∂
解 2242z z z x
x z
x x x z
∂∂∂+=⇒=
∂∂∂- 2
22222
222231(2)22242(2)z z z z z z x x z x x x x z z ∂⎛⎫
+ ⎪∂∂∂∂-+∂⎛⎫⎝⎭++=⇒== ⎪∂∂∂∂--⎝⎭
2242z z z y
y z
x y y z
∂∂∂+=⇒=∂∂∂- 22232242(2)z z z z z z z xy x y z x y x y x y x y z z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=⇒==∂∂∂∂∂∂∂∂-- 例3 设(,)0F xz yz =，求22z x
∂∂
解 11212
0F z z z
z x
F y F x x x xF yF ∂∂∂⎛⎫++=⇒=- ⎪∂∂∂+⎝⎭ 2
21111222z z z z z x F z x F y z x F x x x x x ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎛
⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
22212220z z z z y F y z x F y F x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫
++++= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
2
2
211112
22212
22z z z z z F z x F z x y F y F z x x x x x x xF yF ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=∂+ =
()
()
()
22222
211121212212
3
121222y z F F F F F F F zF xF yF xF yF -+-
++
定理3 （多元隐函数存在定理）若(,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 满足
1）00000000(,,,)0,
(,,,)0F x y u v G x y u v ==；
2）0000{(,,,)|||,||,||,||}D x y u v x x a y y b u u c v v d =-≤-≤-≤-≤,F G 连续，连续偏导；
3）0000(,,,)x y u v 点Jacobi 行列式
(,)0(,)u
v u
v
F F F
G G G u v ∂=≠∂，则有
i) 在0000(,,,)x y u v 附近由(,,,)0
(,,,)0
F x y u v
G x y u v =⎧⎨
=⎩唯一确定隐函数
00(,),(,)((,),)(,)u f x y x y O x y v g x y ρ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,,(,),(,))0
(,,(,),(,))0
F x y f x y g x y
G x y f x y g x y =⎧⎨=⎩000000(,),(,)u f x y v g x y ==；ii)在00((,),)x O x y ρ∈连续；
iii)在00((,),)x O x y ρ∈连续导数，且1
x
y u v x
y u v u
u F F F F x
y G G G G v v x y -∂∂⎛⎫
⎪
⎛⎫∂∂⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪∂∂⎝⎭。

例4 设函数方程组222222
333333
u v w x y a
u v w x y b u v w x y c ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩
，求,,.u v w x x x ∂∂∂∂∂∂
解
2
2
2
111
(,,)
2226()()()0(,,)
333F G H u
v w u v w v w u u v w u v w ∂==---≠∂ 2222102222033330u v w x x x
u v w u v w x x x x u v w u v w x x x x ∂∂∂⎧
+++=⎪∂∂∂⎪
∂∂∂⎪+++=⎨
∂∂∂⎪
∂∂∂⎪+++=⎪∂∂∂⎩
()()
()()()()()()()()()()
u v x w x x v u w u v u x w x x u v w v w u x v x x u w v w ∂--=-∂--∂--⇒=-∂--∂--=-∂-- 例5 在直角坐标系中(),z z x y =具有二阶连偏，22222
2
0z z z
x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂，作变换u x y
v x y
=+⎧⎨
=-⎩，w xy z =-，导出w 关于,u v 的偏导数所满足的方程。

解 由于,22
u v u v
x y +-=
=⇒w xy z =-也是,u v 的函数。

由于Z xy w =- z w u w v w w y y x u x v x u v ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫
=-+=-- ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭，z w u w v w w x x y u y v y u v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=-+=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222222222z w w w w w w w x u v u v u v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 2222222222211z w w w w w w
x y u v u v u v u v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=-+++=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 22222222222222z w w w w w w w
y u
v u v u v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=--+-=-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
代入 2222220z z z x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂就得到221
2
w u ∂=∂。

例5 设'
000000000000(,),(,),(,),(,)P u v D x x u v y y u v P x y =∈===，f 在D 上具有连续
导数。

如果在0P 处
(,)
0(,)
x y u v ∂≠∂，则'0(,)O P ρ∃，f 具有连续导数的逆映射
(,):(,)
u u x y g v v x y =⎧⎨
=⎩，'
0(,)(,)x y O P ρ∈，满足1）000000(,),(,)u u x y v v x y == 2）
(,)/(,)u y x y x v u v ∂∂∂=∂∂∂，(,)/(,)v y x y x u u v ∂∂∂=-∂∂∂，(,)/(,)u x x y y v u v ∂∂∂=-∂∂∂，(,)/(,)
v x x y y u u v ∂∂∂=∂∂∂。

证明 (,,,)(,)0(,,,)(,)0
F x y u v x x u v
G x y u v y y u v =-=⎧⎨
=-=⎩，在0000(,,,)x y u v 处
(,)(,)
0(,)(,)F G x y u v u v ∂∂=≠∂∂，由隐函数定理，在0000(,,,)x y u v 附近存在向量值函数'0(,)
,(,)(,)(,)
u u x y x y O P v v x y ρ=⎧∈⎨
=⎩，满足
I ）000000(,),(,)u u x y v v x y ==；II ）((,),(,))0
((,),(,))0
x x u x y v x y y y u x y v x y -=⎧⎨
-=⎩，且(,),(,)u x y v x y 在
'0(,)O P ρ上有连续偏导，即在'0(,)O P ρ上g 为f 的逆映射。

在II ）中对,x y 求偏导得10x u x v u x v x
y u y v u x v x ∂∂∂∂+=∂∂∂∂∂∂∂∂+=∂∂∂∂，01x u x v u y v y y u y v
u y v y
∂∂∂∂+=∂∂∂∂∂∂∂∂+=∂∂∂∂，解之即得。

§2偏导在几何中的应用
一 空间曲线的切线和法平面
1.光滑曲线：空间曲线()()()x x t y y t a t b z z t =⎧⎪
=≤≤⎨⎪=⎩
，向量形式：()()()()r t x t i y t j z t k =++
若'()'()'()'()r t x t i y t j z t k =++r r r r
在[,]a b 上连续，且'()0r t ≠，[,]t a b ∈，则称光滑曲线。

0000((),(),())P x t y t z t ∈Γ，1((),(),())P x t y t z t ∈Γ，则过01P P 的割线的方程为
()()()000000()()()x x y y z z x t x t y t y t z t z t ---==---，()()()
000
000000
()()()x x y y z z x t x t y t y t z t z t t t t t t t ---==
------
令0t t →得切线方程
()()()
000
000'''x x y y z z x t y t z t ---==，0000'()('(),'(),'())r t x t y t z t =是切向量。

法平面方程000000'()()'()()'()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=。

2．曲线方程()
()
y f x z g x =⎧⎨
=⎩，则0000(,(),())P x f x g x 处切线方程()()000001''x x y y z z f x g x ---==， 法平面00000()'()()'()()0x x f x y y g x z z -+-+-=。

3．曲线方程(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩，0000(,,)P x y z ∈Γ，0
|x y
z P x
y
z F F F J G G G ⎛⎫
=
⎪⎝⎭满秩 。

设在0P 点
(,)0(,)y
z
y z
F F F
G G G y z ∂=
≠∂，由隐函数存在定理，在0P 点附近确定了00(),y f x = 00()z g x =的隐函数(),()y f x z g x ==，0(,)x O x ε∈，且有
000(,)(,)'()()/()(,)(,)F G F G f x P P z x y z ∂∂=
∂∂，000(,)(,)
'()()/()(,)(,)
F G F G g x P P x y y z ∂∂=∂∂，
于是切线方程为
000
000(,)(,)(,)
()()()
(,)(,)(,)
x x y y z z F G F G F G P P P y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂，
法平面为
000000(,)(,)(,)()()()()()()0(,)(,)(,)
F G F G F G P x x P y y P z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂。

例1 一质点一方面按逆时针方向以等角速度ω绕x 轴转，另一方面又沿z 轴正向以匀速c 上升，已知质点在0t =时刻在点(,0,0)(0)a a >处求1）运动轨迹Γ2）在t 时刻速度。

3）1ω=时在2
t π
=
时对应点的切线和法平面。

解 1）t θω=； cos cos x a a t θω==；sin sin x a a t θω==；z ct =螺旋线
2）()(cos ,sin ,)r t a t a t ct ωω=，则()'()(sin ,cos ,)v t r t a t a t c ωωωω==-。

3）1ω=，Γ的方程cos sin x a t
y a t z ct
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，2t π=时.0(0,,)2c M a π=，'()(sin ,cos ,)r t a t a t c =-。

'()(,0,)2r a c π=-，所以切线方程020
c z x y a a c
π
-
--==-，法平面202c ax cz π-+-=。

例2 22224
:0x y z y x y z ⎧++-=Γ⎨++=⎩
在点(1,1,2)-处的切线和法平面方程。

法一
222(,,)240:(,,)0
F x y z x y z y
G x y z x y z ⎧=++--=Γ⎨=++=⎩222(,)2(1)
11(,)y z
F G y z y z -∂==--∂22(,)2()11(,)z x F G z x z x ∂==-∂，222
(,)2(1)11(,)
x y F G x y x y -∂==--∂， 则
(1,1,2)(,)|4(,)F G y z -∂=∂，(1,1,2)(,)|6(,)F G z x -∂=-∂，(1,1,2)(,)|2(,)
F G x y -∂=∂，于是
切线方程
112
462
x y z --+==
-，法平面4(1)6(1)2(2)0x y z ---++=。

法二 2222010dy dz dy x y z dx dx dx
dy dz dx dx ⎧++-=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩
1,11dy z x dz y x dx y z dx y z --+⇒==----，
于是
(1,1,2)(1,1,2)31|,|22dy dz dx dx --=-=，所以切向量31(1,,)22
-， 切线方程11)(2)
031122
x y z --+=+=-，法平面方程31(1)(1)(2)022x y z ---++=。

二 空间曲面的切平面和法线
1.设曲面(,,)0,(,,)F x y z x y z D =∈，0000(,,)P x y z S ∈，考虑过0P 的任意曲线()
()()x x t y y t z z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
并设00000(),(),()x x t y y t z z t ===。

由于曲线在S 上，有((),(),())0F x t y t z t ≡。

两边对
t 求导：000000()'()()'()()'()0x y z F P x t F P y t F P z t ++=，即曲线S 上的任一条曲线在0P 点
的切向量000('(),'(),'())x t y t z t 都与向量000((),(),())x y z n F P F P F P =垂直，所以这些切向量都在过0P 点的平面上，称为S 在0P 点的切平面。

n 为法向量。

切平面方程000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-=。

法线方程
000
000()()()
x y z x x y y z z F P F P F P ---==。

若曲面具有连续变动的切平面，即,,x y z F F F 连续，称为光滑平面。

2. 若曲面方程为(,)z f x y =，即(,,)(,)0F x y z f x y z =-=，曲面在点0P 的切平面方程为0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---= 法线方程为
00
00000(,)(,)
x y x x y y z z f x y f x y --==-
注：因2200000000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x y x x f x y y y x y -=-+-++，与
切平面比较知，若(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则在00(,)x y 附近曲面可用切平面代替。

3. 曲面用参数方程表示：2
(,)(,)(,)(,)x x u v y y u v u v D R z z u v =⎧⎪=∈⊂⎨⎪=⎩，u v u
v u
v x x J y y z z ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
在D 上满秩 ()0000000000000(,,)((,),(,),,)P x y z x x u v y y u v z z u v S
===∈。

假设00
(,)(,)
|0(,)x y x y u v ∂≠∂，
由隐函数定理，(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩在00((,),)O x y ρ内唯一确定(,)
(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩
，代入(,)z z u v =有
((,),(,))(,)z z u x y v x y f x y ==，且
(,)/(,)u y x y x v u v ∂∂∂=∂∂∂，(,)
/(,)
v y x y x u u v ∂∂∂=-∂∂∂，(,)/(,)u x x y y v u v ∂∂∂=-∂∂∂，(,)
/(,)v x x y y u u v ∂∂∂=∂∂∂，由此得到 (,)(,)/(,)(,)x z u z v y z x y f u x v x u v u v ∂∂∂∂∂∂=
+=-∂∂∂∂∂∂，(,)(,)
/(,)(,)
y z u z v z x x y f u y v y u v u v ∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂ 切平面方程为
000000
(,)0(,)0(,)0(,)(,)(,)
|()|()|()0(,)(,)(,)u v u v u v y z z x x y x x y y z z u v u v u v ∂∂∂-+-+-=∂∂∂，
法线方程
000000000
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
|||(,)(,)(,)
u v u v u v x x y y z z y z z x x y u v u v u v ---==∂∂∂∂∂∂
例3 求曲面3z
e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。

解 (),,30z
F x y z e z xy =-+-=。

由于,,1z
x y z F y F x F e ===-，(1,2,0)n =
切平面240x y +-=，法向量21
120x y z --⎧=⎪
⎨⎪=⎩
例4 求曲面cos sin x achu v
y bchu v z shu
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
在(,)(0,)4u v π=所对应点处的切平面和法线方程。

解
cos x ashu v u ∂=∂，sin x ashu v v ∂=-∂，sin y bshu v u ∂=∂，cos y bchu v v ∂=∂，z
chu u
∂=∂，0z v ∂=∂，于是在(,)(0,)4u v π
=
处
(,)(,)y z u v ∂=∂
(,)(,)z x u v ∂=∂(,)0(,)
x y u v ∂=∂。

而(,)(0,
)4
u v π
=
处(,,)x y z =，
切平面0bx ay +-=
，法线0
z ⎪=⎪⎩。

例5 证明球面2
2
2
2x y z ax ++=和2
2
2
2(,0)x y z bx a b ++=>相互正交。

解 两条曲线的交角指在交点处切向量的交角；两张曲面在交线上的夹角是法向量的交角，
任一点上交角为直角，则称曲面正交。

(,,)x y z ∀处12(,,),(,,)n x a y z n x y b z =-=-，120n n =
§3 无条件极值
定义1 设n
D R ∈为开区域，()f x 是D 上的函数，000012(,,...,)n x x x x D =∈，若0(
,)O x r ∃，0(,)x O x r ∀∈，00()()(()())f x f x f x f x ≥≤，则称0x 为f 的极大值点（极小值点）；0()
f x 为相应的极大值（极小值）。

定理 1 若0x 为f 极值点，f 在0x 可偏导，则12000()()...()0n x x x f x f x f x ====（驻点）。

反之不然：马鞍面(,)f x y xy =
定理2 设00(,)x y 为f 驻点，f 在00(,)x y 附近具有二阶连续偏导数，记
000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===，2A B H AC B B C
=
=-
1） 若0H >时有极值：0A >极小值，0A <极大值。

2） 若0H <时无极值； 3） 若0H =无法确定。

证明：由Taylor 公式，
{}
2200001
(,)(,)()2()()2
xx xy yy f x x y y f x y f P x f P x y f P y ++-=
++，由二阶偏
导连续，因此000000()(,),()(,),()(,)xx xx xy xx xx yy f P f x y f P f x y f P f x y αβγ=+=+=+ 则有0000(,)(,)f x x y y f x y ++-=
{}22220000001
(,)2(,)(,)22
xx xy yy f x y x f x y x y f x y y x x y y αβγ+++++ {}2
220000001(,)2(,)(,)(1)2
xx xy yy f x y f x y f x y o ρζζηη=
+++，其中,x y ζηρρ==。

由2
2
1ζη+=，问题转为二次型
{}22000000(,)(,)2(,)(,)xx xy yy g f x y f x y f x y ζηζζηη=++在单位圆
()222{,|1}S R ζηζη=∈+=上是否保号。

若二次型是正定的，那么g 在S 上的最小值满足(,)min {(,)}0S
g m ζηζη∈=>。

因此当0ρ≠且
ρ充分小时0000(,)(,)f x x y y f x y ++-
=
{}2220000001(,)2(,)(,)(1)2xx xy yy f x y f x y f x y o ρζζηη+++21
{(1)}02
m o ρ≥+>，即00(,)f x y 为极小值，同理可证极大值。

若这个二次型是不定的，则既非极大值也非极小值。

反证法：若00(,)f x y 是极大值，取ρ适当小，任何过0P 的直线段0x x t x =+，
0y y t y =+，11t -<<，函数00()(,)t f x x y y φ=++在0t =也取极大值，则有
''(0)0φ≤，但0000'()(,)(,)x y t f x t x y t y x f x t x y t y y φ=+++++
20000''()(,)2(,)xx xy t f x t x y t y x f x t x y t y x y φ=+++++
2
00(,)yy f x t x y t y y +++ 因此22
0000000''(0)(,)2(,)(,)xx xy yy f x y x f x y x y f x y y φ≥=++ ={}2
22000000(,)2(,)(,)xx
xy yy f
x y f x y f x y ρ
ζζηη++，说明二次型在
1=上的总小于或等于零，与假设矛盾。

例1 求(,)()(0)f x y xy a x y a =--≠的极值。

解 驻点为(0,0),(,0),(0,),(,)33
a a
a a ：0a >，3(,)3327a a a f =极大值，0a <时为极小值。

其余皆不是极值点。

例2 讨论2
2
4
5
(,)2f x y x xy y y =-+-的极值 解 驻点(0,0)，2
0AC B -=，无法用定理判断。

注意到(0,0)0f =，(
)
2
25(,)f x y x y
y =--，在曲线2,0x y y =>上(,)0f x y <，在曲
线2
,0x y y =<上(,)0f x y >，因此(0,0)0f =不是极值。

定理可推广到多元函数。

§3 函数的最值
例3 在以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形所围闭区域上找点，使它们到三个顶点的距离的平方和最大或最小，并求相应的最大值和最小值。

解 ()2
2
2
2
2
2
2
2
1(1)33222z x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+，内部驻点
11,33⎛⎫
⎪⎝⎭，极小值11,334|3z ⎛⎫
⎪⎝⎭
=。

在OA 边上，0y =，2
322,01z x x x =-+≤≤，在1x =处最大值3，13x =
最小值5
3。

在OB 边上，0x =，2
322,01z y y y =-+≤≤，在1y =处最大值3，13y =最小值53。

在AB 边上，1x y +=，2
663,01z x x x =-+≤≤，在1,0x =处最大值3，12
x =最小
值32。

综上所述：,A B 两点到ABO ∆的三个顶点距离的平方和最大，最大值是3，而11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
点到
ABO ∆的三个顶点距离的平方和最小，且最小值4
3。

例4 有一宽为24m 的长方形木板，两边折起，做一个横截面为等腰梯形的水槽，用怎样的折法才能使梯形得截面积最大？
解 设边长为x ，折角为α，
22(,)24sin 2sin sin cos A x x x x ααααα=-+
0;0A A x α∂∂==∂∂得内部唯一驻点：(8,)3π
；(8,)3
A π=2
π
α=
时6x =，(6,
)722
A π
=。

3． 最小二乘法：已知一组数据
121
2......n
n
x x x x y
y y y
大致满足线性关系，确定直线
y ax b =+，
使之观察值i y 与i ax b +之间的偏差的平方和()2
1
n
i i i Q y ax b ==--∑最小。

求导
0,0Q Q a b
∂∂==∂∂，解之可得
4． 条件极值：求目标函数(,,)f x y z 在约束条件(,,)0
(,,)0G x y z H x y z =⎧⎨
=⎩
下的极值。

其中
x
y z x
y
z G G G J H H H ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
满秩。

先考虑必要条件：设000(,,)x y z 是条件极值点，由于J 满秩，不妨设
(,)
0(,)
G H y z ∂≠∂，由隐
函数存在定理，在000(,,)x y z 附近唯一确认0(),(),(,)y y x z z x x x ρ==∈，代入目标函数得()(,(),())x f x y x z x Φ=。

因为0x 是()x Φ的极值点，所以0'()0x Φ=，即
000000000(,,)(,,)
(,,)0x y z dy dz f x y z f x y z f x y z dx dx
++=，说明向量000(,,)gradf x y z 和1,,dy dz dx dx τ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
正交，又
(,)(,)(,)
0(,)(,)(,)
x
y z
x y z x
y z x
y
z
G G G G H G H G H gradG G G G G G G y z z x x y H H H τ∂∂∂=++==∂∂∂，同理0gradH τ=，又,gradG gradH 线性无关，可知gradf 可以由gradG 和gradH 线性表
出，即,λμ∃，使gradf gradG gradH λμ=+，这就是必要条件。

构造Lagrange 函数(,,,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z G x y z H x y z λμλμ=--
000
x x x y y y z
z z f G H f G H f G H λμλμλμ--=⎧⎪
--=⎨⎪--=⎩与两个约束条件一起解出(,,)x y z 极为可能极值点。

例5 体积为3
am 的无盖水箱，问长，宽，高为何值时，用料最省？ 解 即求目标函数(,,)22S x y z xy xz yz =++在约束条件xyz a =
下的最值：
x y z ===
例6 求原点到直线1
236x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩
的最小距离。

解 即求目标函数2
2
2
(,,)F x y z x y z =++在约束条件10
2360
x y z x y z ++-=⎧⎨
++-=⎩下的最值。

22517
,4,(,,)(,,)3333x y z λμ=-
==-即为最值点。

可以将lagrange 乘数法推广到n 元函数。

定理1 （条件极值的必要条件）设000
012(,,...,)n x x x x =为0()f x 满足约束条件
0(1,2,...)i g i m ==的极值点，则必存在m 个常数使
1122...m m gradf gradg gradg gradg λλλ=+++，构造lagrange 函数
1211211
(,,...,,,...)(,,...,)(,...,)m
n m n i i n i L x x x f x x x g x x λλλ==-∑，则条件极值点就在
1,1,2,...01,2,...,m
i i
i k k k
l
g L
f k n x x x
g l m λ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪==⎩∑的所有解11(,...,,...,)n m x x λλ所对应的点12(,,...,)n x x x 中。

例7 求平面0x y z ++=与椭球面2
2
2
41x y z ++=相交成的椭圆面积。

解 S ab π=，,a b 是椭圆两个半轴，也是椭圆上点到原点的最大和最小距离。

即目标函数
2
2
2
(,,)f x y z x y z =++在约束条件222
0410x y z x y z ++=⎧⎨++-=⎩
下的最值。

构造辅助函数222222
(,,,,)()(41)L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++-++-++-， 解之得3(13)0λμ-=。

1） 若0λ=，有,
⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭
，对应函数值为1。

2） 若130μ-=，有,,663663⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对应函数值为1
3。

1
3
3
S π==。