广东省佛山市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理

广东省佛山市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：
1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区
域内；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数i
i
215+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第
四象限
2.已知集合A = {x| x
2
- x - 2 < 0} ， B = {x| | x |> 1}，则 A ∩B = （ ）
A ． (-2, -1)
B ． (-1,1)
C ． (0,1)
D ． (1, 2)
3.已知 x , y ∈ R ，且 x > y > 0 ，则（
）
A. cos x - cos y > 0
B. cos x + cos y > 0 C ． l n x - ln y > 0 D ． l n x + ln y > 0
4.函数 f (x )的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = e x 关于
y 轴对称，则 f (x ) = （
） A.1
+-x e
B.1
--x e
C.1
-x e
D.1
+x e
5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶 点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么
黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯
基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A.
53 B.169 C.167 D.5
2 6.已知等比数列}{n a 满足24,363121=-=-a a a a ，则使得n a a a 21取得最大值的n 为（
） A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
7.已知α为锐角，53cos =α则=-)4
tan(απ
（ ）
8.已知双曲线C:122
22=-b
y a x ，O 为坐标原点，直线a x =与双曲线C 的两条渐近线交于A, B 两
点，若△OAB 是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（
）
9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．
根据以上信息，正确的统计结论是（ ）
A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值
B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升
C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW
D ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过3
1 10.已知函数121
21
)(+++=
x x f x
，且3)2()(2>+a f a f ，则a 的取值范围是（ ）
11.已知函数 f (x ) = sin x + sin(πx )，现给出如下结论： ① f (x )是奇函数 ② f (x )是周期函数 ③ f (x )在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x ) 的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
12.已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA 1 , BB 1 ,CC 1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（ ）
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共
有 种．（用数字作答）
14.在△ ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP ⋅ BC =。

函数 f (x ) = ln x 和 g (x ) = a 2
x - x 的图象有公共点 P ，且在点 P 处的切线相同，则这条切线方程 为 .
16.在平面直角坐标系xOy 中，对曲线C 上任意一点P ，P 到直线x +1 = 0的距离与该点到点O 的距离之和等于2，则曲线C 与 y 轴的交点坐标是 ；设点A )0,4
5
(-，则|PO|+|PA|的最小值为 .
三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展。

景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁。

该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立。

（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
18.（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin B = b sin )3
(π
-A .
（1）求A;
（2）D 是线段 BC 上的点，若 AD = BD = 2 ， CD = 3 ，求△ ADC 的面积.
19.（本小题满分12分）
已知椭圆 C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，点A )2
3
,1(在椭圆C 上，直线1l 过椭
圆C 的有交点与上顶点，动直线kx y l =:2与椭圆C 交于M 、N 两点，交1l 于P 点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足|OP|=4
1
|MN|，求此时|MN|的长度.
20.（本小题满分12分）
如图，三棱锥 P - ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， PA = PB ，∠APB = ∠ACB = 90
，点 E , F 分别是棱 AB , PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心． （1）证明： GF / / 平面 PAC ；
（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60
，求二面角B -AP -C 的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 f (x ) = 1 + x - 2 sin x , x > 0 （1）求 f (x ) 的最小值； （2）证明：x
e x
f 2)(->.
请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号．
22．(本小题满分 10 分)[选修 4 - 4 :坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为m m
y m x (442
⎩⎨⎧==为参数）
（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线21,l l ，其中1l 与曲线C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，
1l 与2l 交于点),(00y x P ，求证：||||||||PN PM PB PA ⋅=⋅.
23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数|1|||)(-+-=x a x x f . （1）若2)(<a f ，求a 的取值范围；
（2）当],[k a a x +∈时，函数)(x f 的值域为[1,3]，求k 的值.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。