高一数学期中联考试题含解析试题

六校2021-2021学年高一数学下学期期中联考试题〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕
1.以下图形中不一定是平面图形的是〔 〕
A. 三角形
B. 平行四边形
C. 梯形
D. 四边相等的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平面根本性质及推论求解．
【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，
而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．
应选D ．
【点睛】此题考察图形是否是平面图形有判断，是根底题，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．
2.ABC ∆的斜二侧直观图如下图，那么ABC ∆的面积为〔 〕 A. 22 B. 1 2 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
用斜二侧画法的法那么，可知原图形是一个两边分别在x 、y 轴的直角三角形，x 轴上的边长与原图形相等，而y 轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积.
【详解】∵1OA =，2OB =，45ACB ∠=︒
∴原图形中两直角边长分别为2，2，
因此，Rt ACB ∆的面积为12222
S =
⨯⨯=． 应选D ．
【点睛】此题要求我们将一个直观图形进展复原，并且求出它的面积，着重考察了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于根底题．
3.a 、b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系〔 〕
A. 一定是异面
B. 一定是相交
C. 不可能平行
D. 不可能垂直 【答案】C
【解析】
【分析】
由平行公理，假设//c b ，因为//c a ，所以//a b ，与a 、b 是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能．
【详解】a 、b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 异面和相交均有可能，但不会平行． 因为假设//c b ，因为//c a ，由平行公理得//a b ，与a 、b 是两条异面直线矛盾．
应选C ．
【点睛】此题主要考察空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考察逻辑推理才能，属于根底题.
4.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的选项是〔 〕 A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用直线斜率与截距的意义即可得出．
【详解】假设0a >，那么A 中的y x a =+的截距0a <与0a >矛盾，同理B 也与0a >矛盾． 假设0a <，那么D 中的y x a =+斜率小于零，与斜率大于零相矛盾，故C 符合条件．
应选：C ．
【点睛】此题考察了直线斜率与截距的意义，考察了数形结合的思想方法，属于根底题．
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x y +=与x ，y 轴所围成的三角形的周长等于〔 〕 A. 6
B. 12
C. 24
D. 60
【答案】B
【解析】
该直线在x 轴、y 轴上的截距分别为3和4，
因为直线与x 轴、y 轴围成的三角形为直角三角形，
所以两个直角边分别为3和4，所以斜边为5，
故周长为3+4+5=12.
6.以下说法正确的选项是〔 〕
A. ////a b b a αα⊂⇒，
B. a b b a αα⊥⊂⇒⊥，
C. //a b a b αα⊥⊥⇒，
D. a a αββα⊥⊂⇒⊥，
【答案】C
【解析】
由线面垂直的性质定理可知，假设a α⊥，b α⊥，那么a b ∥，
此题选择C 选项.
7.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，那么四面体P ABC ﹣的四个面中，直角三角形的个数有〔 〕
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】 由题意得出三角形ABC 是直角三角形，根据线面垂直的性质定理得出PA 垂直于AC ，BC ，从而得出两个直角三角形，又可证明BC 垂直于平面PAC ，从而得出三角形PBC 也是直角三角形，从而问题解决．
【详解】∵AB 是圆O 的直径
∴∠ACB ＝90°即BC ⊥AC ，三角形ABC 是直角三角形
又∵PA ⊥圆O 所在平面，
∴△PAC ，△PAB 是直角三角形．
且BC 在这个平面内，
∴PA ⊥BC 因此BC 垂直于平面PAC 中两条相交直线，
∴BC ⊥平面PAC ，
∴△PBC 是直角三角形．
从而△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC 中，直角三角形的个数是：4．
应选：A ．
【点睛】此题考察线面垂直的断定与性质定理的应用，要注意转化思想的应用，将线面垂直转化为线线垂直．
8.假设圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为〔 〕
A. 1
B. 12 D. 34
【答案】D
【解析】
设圆柱底面半径为R ，圆锥底面半径r ，高都为h ，由得2Rh ＝rh ，∴r ＝2R ，
V 柱︰V 锥＝πR 2h ︰
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πr 2h ＝3︰4，应选D ． 123102110L ax y L x a y ++=+++=：，：（），假设12//L L ，那么a 的值是〔 〕
A. ﹣3
B. 2
C. ﹣3或者2
D. 3或者﹣2
【答案】C
【解析】
试题分析：由()16a a +=，解得a=-3或者a=2，当a=-3时，直线1l ：-3x+3y+1=0，直线2l ：2x-2y+1=0，平行；当a=2时，直线1l ：2x+3y+1=0，直线2l ：2x+3y+1=0，重合
所以两直线平行，a=-3
考点：此题考察两直线的位置关系
点评：解决此题的关键是掌握两直线平行或者重合的充要条件为1221A B A B =
()0k ，
与()0b ，的中点为()1,0-，那么直线y kx b =+必定经过点〔 〕 A. ()1,2-
B. ()1,2
C. ()1,2-
D. ()1,2--
【答案】A
【解析】
试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-
考点：1．中点坐标公式；2．直线方程
11.以下四个命题中的真命题是〔 〕 A. 经过定点000P x y （，）
的直线都可以用方程00y y k x x ﹣＝（﹣）表示 B. 经过任意两个不同点111222P x y P x y （，）、（，）
的直线都可以用方程121121y y x x x x y y （﹣）（﹣）=（﹣）（﹣）表示
C. 不经过原点的直线都可以用方程1x y a b
+=表示 D. 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b +＝表示
【答案】B
【解析】
试题分析：A 中只有斜率存在的直线才可以表示；B 中直线方程正确；C 中只有两轴上截距都存在且不为
零的直线可以用截距式；D 中只有斜率存在的直线才可以表示
考点：直线方程
12.如图，正方体ABCD A B C D ''''﹣的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且2EF ＝，动点Q 在棱D′C′
上，那么三棱锥A EFQ '﹣
的体积〔 〕
A. 与点E ，F 位置有关
B. 与点Q 位置有关
C. 与点E ，F ，Q 位置有关
D. 与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值
【答案】D
【解析】 试题分析：'11'''32
A EFQ Q A EF V V EF AA A D '-==
⨯⨯⨯⨯－，所以其体积为定值，与点E ，F ，Q 位置均无关，应选D ．
考点：柱锥台体的体积
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕 (2,2)A ，(5,1)B ，(4,2)C a -在同一条直线上，那么a =___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由三点在同一条直线上，根据斜率相等列出等式，解出即可.
【详解】三点(2,2)A ，(5,1)B ，(4,2)C a -在同一条直线上， 21222542
a --=---，解得2a =． 故答案为2．
【点睛】此题主要考察了两点间斜率计算公式的应用，属于根底题.
14.在边长为a 的等边三角形ABC 中，AD BC ⊥于D ，沿AD 折成二面角B AD C ﹣﹣后，2
a BC =，这时二面角B AD C --的大小为_______．
【答案】60°
【解析】
∵AD BC ⊥，
∴沿AD 折成二面角B AD C --后，AD BD ⊥，AD CD ⊥，
故BDC ∠即为二面角B AD C --的平面角，
又∵2
a BD CD BC ===
， ∴60BDC ∠=︒，
故答案为：60︒．
l 与直线4350x y -+=关于y 轴对称，那么直线l 的方程为 。

【答案】4x+3y-5=0
【解析】
试题分析：因为直线l 与直线4350x y -+=关于y 轴对称，所以直线l 与直线4350x y -+=上的点的横坐标互为相反数，纵坐标一样，所以直线l 的方程为4x+3y-5=0.
考点：本小题主要考察两条直线的关系.
点评：求解此类问题时，一般是遵循“求谁设谁〞的原那么.
()
M a b ，在直线3415x y +＝_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
()0,0到点(),a b 的间隔 ，再由点到直线间隔 公式即可得出结果.
()0,0到点(),a b 的间隔 ，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=上，
()0,0到直线34250x y +-=的间隔 ，且5d =
=.
【点睛】此题主要考察点到直线的间隔 公式的应用，属于根底题型.
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．〕
17.如图四边形ABCD 为梯形，//90AD BC ABC ∠︒，＝，求图中阴影局部绕AB 旋转一周所形成的几何体的外表积和体积．
【答案】(1)8352568S S S S ππππ=++=++=表半球圆台侧圆台底；
〔2〕161405233V V πππ-=-=圆台半球所以旋转体体积为。

【解析】
试题分析：直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的是半球，所以阴影局部绕
旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，，
.
试题解析：解：圆中阴影局部是一个圆台，从上面挖出一个半球
S 半球=×4π×22=8π S 圆台侧=π×(2+5)×5=35π S 圆台底=25π 故所求几何体的外表积S 表＝8π+35π+25π＝68π 5分
V 圆台=
V 半球=.
故所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 半球=
10分. 考点：简单组合体的外表积和体积.
18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：
〔Ⅰ〕PA 平面BDE ；
〔Ⅱ〕平面PAC ⊥平面BDE ．
【答案】(1)见详解〔2〕见详解
【解析】
【分析】
〔I 〕连接OE,由三角形的中位线可得OE AP ，由线面平行的断定定理可得到证明．〔II 〕只需证明平面BDE 内的直线BD 垂直于平面PAC 内的两条相交直线即可．
【详解】证明：〔Ⅰ〕连接OE ．
∵ O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，
∴ OE AP ，
又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，
∴ PA 平面BDE ．
〔Ⅱ〕∵PO ⊥底面ABCD ，
PO BD ⊥，
又∵AC BD ⊥，且AC
PO O =，
∴ BD ⊥平面PAC ．
∵ BD ⊂平面BDE ，
∴ 平面PAC ⊥平面BDE ．
【点睛】此题考察线面平行的断定定理和面面垂直的断定定理的应用，考察空间想象才能，属于根底题.
19.如图，在矩形ABCD 中，31AB AD ＝，＝，E 、F 分别是AB 的两个三等分点，AC ，DF 相交于点G ，建立适当的平面直角坐标系，
证明：EG DF ⊥．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先根据图形建立适当的坐标系如图，然后把需要用到的点的坐标分别表示出来，最后根据向量垂直的定义进展证明．
【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．
那么()()()00,30,31A B C ，，，，()()() 01,10
,20D E F ，，， 由()()00,31A C ，，
知直线AC 的方程为：30x y -=
由()()01,20D F ，，
知直线DF 的方程为：220x y +-=，
由30220x y x y -=⎧⎨+-=⎩得6525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故点G 点的坐标为62,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又点E 的坐标为()10
，，故2EG k =， 所以1DF EG k k ⋅＝-．即证得：EG DF ⊥
【点睛】此题考察直线的一般方程与直线的垂直关系，涉及平面向量的计算，通过设置坐标系进展计算，属于根底题．
l 的方程为()120a x y a a R +++-=∈（
）． 〔1〕假设l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
〔2〕假设l 不经过第二象限，务实数a 的取值范围．
【答案】〔1〕()12y a x a =-++-
〔2〕a 的取值范围是(]
,1-∞-
【解析】
【分析】
〔1〕分别求出横截距与纵截距，令其相等即可解出a 的值，代入方程即可得到直线方程；
〔2〕由于不过第二象限所以斜率大于等于0，纵截距小于等于0，由题意列不等式组即可求得参数范围.
【详解】〔1〕令方程横截距与纵截距相等：221a a a --=+，解得：2a =或者0， 代入直线方程即可求得方程：30x y +=，20x y ++=；
〔2〕由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限， 当且仅当解得a ≤－1，故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．
【点睛】此题考察直线方程的系数与直线的位置关系，纵截距决定直线与y 轴的交点，斜率决定直线的倾斜程度，解题时注意斜率与截距等于0的特殊情况，需要分别讨论，防止漏解.
21.如下图，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为1240A B （，），（，）
一条河所在的直线方程为2100l x y ：﹣＝，假设在河边l 上建一座供水站P ，使之到A ，B 两镇的管道最，那么供水站P 应建在什么地方？
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
根据两点间的间隔 公式以及点的对称性，建立方程组的关系，进展求解即可. 【详解】
如下图，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，
假设P ′(异于P )在直线上，那么|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |．
因此，供水站只有在P 点处，才能获得最小值，设A ′(a ，b )，
那么AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，
即解得
即A ′(3,6)．
所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0， 解方程组得
所以P 点的坐标为
． 故供水站应建在点P 处．
【点睛】此题主要考察了直线方程的应用和直线对称性的应用，解答中涉及到直线方程的求解，直线的对称性求解最值问题，解答中合理利用数形结合思想是解答此题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.
22.如图，点P 在圆柱OO 1的底面⊙O 上，11AB A B 、分别为⊙O、⊙O 1的直径，且1A A ⊥平面PAB ．
〔1〕求证：1BP A P ⊥；
〔2〕假设圆柱1OO 的体积122120V OA AOP π∠︒＝，＝，＝，
①求三棱锥A 1﹣APB 的体积．
②在线段AP 上是否存在一点M ，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为
25
？假设存在，请指出M 的位置，并证明；假设不存在，请说明理由．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕①3
【解析】
【分析】
〔1〕根据BP AP ⊥，1BP AA ⊥得出BP ⊥平面1A AP ，故而1BP A P ⊥；〔2〕①根据圆柱的体积计算1AA ，根据120AOP ∠=︒计算BP ，AP ，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明1A BP ∠就是异面直线OM 与1A B 所成的角，然后根据12cos 5A BP ∠=可得OM BP ，故M 为AP 的中点． 【详解】〔1〕证明：∵P 在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，AP BP ∴⊥，
1AA ⊥平面1PAB AA BP ∴⊥，， 又1AP AA A ⋂＝，
BP ∴⊥平面1PAA ，又1A P ⊂平面1PAA ，故1BP A P ⊥．
〔2〕①由题意211412V OA AA AA πππ⋅⋅⋅＝＝＝
，解得13AA ＝， 由2120OA AOP ∠︒＝，＝，得302BAP BP ∠︒＝，＝，23,AP =，
1223232
PAB S ∆∴=⨯⨯= ∴三棱锥1A APB ﹣的体积1112332333
PAB V S AA ∆=⋅=⨯⨯=． ②在AP 上存在一点M ，当M 为AP 的中点时，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为
25
． 证明：∵O、M 分别为AB AP 、的中点，那么//OM BP ， 1A BP ∴∠就是异面直线OM 与1A B 所成的角，
11345AA AB A B ∴＝，＝，＝又1BP A P ⊥，
在1Rt A PB ∆中，11BP 2cos A B 5
A P
B ∠==． ∴在AP 上存在一点M ，当M 为AP 的中点时，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为25
．
【点睛】此题主要考察了线面垂直的断定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。