【步步高】高考数学一轮复习第五章平面向量平面向量应用举例文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第五章平面向量
5.4 平面向量应用举例文
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原
解决几何问题． 2．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →
，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )
(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →
<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →
＝OA →＋t (AB →＋AC →
)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )
1．已知等边△ABC 的边长为1，则|3AB →＋4BC →
|＝________. 答案
13
解析 因为|3AB →＋4BC →|2＝9＋24AB →·BC →＋16＝25＋24×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以|3AB →＋4BC →|＝
13.
2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →
|＝________________________________________________. 答案 3
解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝BC 2
，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2
＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →
|＝3.
3．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →
，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________． 答案 1∶2
解析 设D 为AC 的中点， 如图所示，连结OD ， 则OA →＋OC →＝2OD →. 又OA →＋OC →＝－2OB →，
所以OD →＝－OB →
，即O 为BD 的中点，
从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2.
4．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300
解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J)．
5．已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →
)＝________.
答案 2
解析 (BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝(BD →＋BE →)·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC →
|的长度为半个周期，周期T ＝2ππ
＝2，∴|BC →
|＝1，所求值为2.
题型一 向量在平面几何中的应用
例1 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →
＋λ(AB →＋AC →
)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)． 答案 重心
解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →
＋AC →
是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →
的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重
心． 引申探究
在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的______________________________________________________． 答案 内心
解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →
|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →
|AC →|平分∠BAC ，即AP →
平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必
过△ABC 的内心．
思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．
(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD
＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →
＝1，则AB ＝________.
(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →
＝0，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 (1)1
2
(2)菱形
解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →
，
又∵AC →＝AD →＋AB →，
∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12
AB →)
＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2
＝|AD →|2＋12|AD →||AB →
|cos 60°－12|AB →|2
＝1＋12×12|AB →|－12
|AB →|2
＝1.
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－|AB →||AB →
|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.
(2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →
＝0⇒DB →⊥AC →
，所以平行四边形ABCD 是菱形． 题型二 向量在解析几何中的应用
例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．
(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2
＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x
＝________.
答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →
＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.
由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.
(2)∵OM →·CM →
＝0，∴OM ⊥CM ，
∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由
|2k |1＋k
2
＝3，得k ＝±3，即y x
＝± 3. 思维升华 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用
a ⊥
b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．
(2015·江西重点中学盟校第一次联考)已
知圆C ：(x －2)2
＋y 2
＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2
＋(y －5sin θ)2
＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →
的最小值是________． 答案 6
解析 圆(x －2)2
＋y 2
＝4的圆心C (2,0)，半径为2，
圆M (x －2－5cos θ)2
＋(y －5sin θ)2
＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，
∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．
如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，
则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2
＝16－4＝23，
sin ∠CHE ＝CE CH ＝1
2
，
∴cos∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2
∠CHE ＝12，
HE →·HF →＝|HE →|·|HF →
|cos∠EHF ＝23×23×12＝6.
题型三 向量的综合应用
例3 (1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ，x ＋y ≤2，
x ≥a ，
若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →
的最大值是
最小值的8倍，则实数a 的值是________．
(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．
答案 (1)1
8
(2)3
解析 (1)因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →
＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋
y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，
当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ， 所以3＝8×3a ，解得a ＝18
.
(2)由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝
⎛⎭
⎪⎫
2－12
＝3.
思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，
M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP
→
的最大值为________． 答案 3
解析 ∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →
＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →
＝2x ＋3y ，
即在⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1
时，z max ＝3.
三审图形抓特点
典例 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的
四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的
一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →
在x 轴上的投影为π12，则ω， φ的值分别为
__________．
――→y ＝sin ωx ＋φ
和y ＝sin 2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3
解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点为M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝
π2ω＝π
4
，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝
φ2＝π6，即φ＝π
3
.
答案 2，π
3
温馨提醒 对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．
[方法与技巧]
1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．
2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的
一般方法． [失误与防范]
1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价． 2．注意向量共线和两直线平行的关系．
3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
，则△ABC 的形状是________三角形． 答案 直角
解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →
)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →
)＝0， 2AC →·BA →
＝0， ∴AC →⊥BA →
，∴A ＝90°.
又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →
|， 故△ABC 是直角三角形．
2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2
，则点P 的轨迹是__________． 答案 抛物线
解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →
＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2
，
∴y 2
＝x ＋6.即点P 的轨迹是抛物线．
3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PAB 与△ABC 的面积的比值是________． 答案 13
解析 由题意可得PC →＝2AP →
，
所以P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )， 易知S △PAB ＝1
3
S △ABC ，即S △PAB ∶S △ABC ＝1∶3.
4．在△ABC 中，AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA
→|BA →|＝2，则AB 边的长度为________．
答案 3
解析 由题意画示意图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图.AC →·AB →
|AB →|＝1表示AC →在AB →
上
的投影为1，即AD 的长为1，BC →·BA
→
|BA →|
＝2表示BC →在BA →
上的投影为2，即BD 的
长为2，故AB 边的长度为3.
5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2
)在一个周期内的图象如图所示，
M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →
＝0(O 为坐标原点)，则A ＝
______. 答案
712
π 解析 由题意知M (π12，A )，N (7π
12，－A )，
又∵OM →·ON →＝π12×7π12－A 2
＝0，
∴A ＝
7
12
π. 6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →
＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.
答案 150°
解析 ∵AB →·AC →
<0，∴∠BAC 为钝角，
又∵S △ABC ＝12|a||b |sin∠BAC ＝15
4.
∴sin∠BAC ＝1
2
，∴∠BAC ＝150°.
7．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →
的夹角为________． 答案 120°
解析 ∵A ，B ，C 为单位圆上三点， ∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →
|＝1， 又∵OA →＋OB →＋OC →
＝0. ∴－OC →＝OB →＋OA →.
∴OC →2＝(OB →＋OA →)2＝OB →2＋OA →2＋2OB →·OA →， 可得cos 〈OA →，OB →
〉＝－12.
∴向量OA →，OB →
的夹角为120°.
8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →
＝________. 答案 －25
2
解析 设{AB →，AC →
}为平面内一组基底．如图所示，O 为△ABC 的外心，设M 为
BC 中点，连结OM 、AM 、OA ，
则易知OM ⊥BC . 又AO →＝AM →＋MO →，
∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →)＝BC →·AM →＋BC →·MO → ＝BC →·AM →(其中BC →·MO →
＝0) ＝(AC →－AB →)·12
(AB →＋AC →)
＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132
)＝－252
. 9．设向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)，b ＝(2sin ωx ，－1)，其中ω>0，x ∈R ，已知函数f (x )＝a·b 的最小正周期为4π. (1)求ω的值；
(2)若sin x 0是关于t 的方程2t 2
－t －1＝0的根，且x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，求f (x 0)的值．
解 (1)f (x )＝a·b ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)·(2sin ωx ，－1)＝2sin ωx cos ωx －
2sin 2
ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4.
因为T ＝4π，所以2π2ω＝4π，ω＝1
4
.
(2)方程2t 2
－t －1＝0的两根为t 1＝－12
，t 2＝1.
因为x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，所以sin x 0∈(－1,1)， 所以sin x 0＝－12，即x 0＝－π
6.
又由(1)知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
x 0＋π4，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋π4＝2sin π6＝22.
10．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．
(1)当a ∥b 时，求cos 2
x －sin 2x 的值；
(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围． 解 (1)因为a ∥b ， 所以3
4cos x ＋sin x ＝0，
所以tan x ＝－3
4
.
cos 2
x －sin 2x ＝cos 2
x －2sin x cos x
sin 2x ＋cos 2
x
＝
1－2tan x 1＋tan 2
x ＝8
5
. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，得
sin A ＝
22，所以A ＝π4，或A ＝3π4
. 因为b ＞a ，所以A ＝π
4
.
f (x )＋4cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2A ＋π6＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
－12
.
因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，
32－1≤f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12.
∴所求范围是⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3
2
－1，2－12.
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →
＝0，则|AB →
||BC →|＝________.
答案 3
解析 由OA →－4OB →＋3OC →＝0，得OA →－OB →＝3OB →－3OC →＝3(OB →－OC →)，所以－AB →＝－3BC →，所以|AB →
|＝3|BC →
|，即|AB →||BC →|
＝3.
12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12
|a |x 2
＋a ·b x 在R 上有极值，则向量
a 与
b 的夹角的范围是________________．
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3，π
解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2
＋a ·b x .
∴f ′(x )＝x 2
＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，
∴方程x 2
＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根， 即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 2
4，
又∵|a |＝2|b |≠0，
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 2
4a 22
＝12，即cos θ＜1
2
，
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3，π.
13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．
答案 (－34，12)∪(1
2，＋∞)
解析 由已知得AB →＝OB →－OA →
＝(3,1)， AC →＝OC →－OA →
＝(2－m,1－m )． 若AB →∥AC →
，则有3(1－m )＝2－m ， 解得m ＝1
2
.
由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →
＝(－1－m ，－m )． ∵∠ABC 为锐角，
∴BA →·BC →
＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34.
由题意知，当m ＝12
时，AB →∥AC →
.
故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是 (－34，12)∪(1
2
，＋∞)． 14．在梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，|BC →|＝6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0，DA →·CB →＝|DA →|·|DP →|，Q 为边AD 上的一个动点，则|PQ →
|的最小值为________． 答案
42
3
解析 如图，取AB 的中点M ，由AP →＋BP →＋4DP →＝0得PM →＝2DP →
，P 为线段DM 上靠近点D 的三等分点，由题意知，DA →·CB →＝DA →·DM →＝|DA →|·|DM →
|cos∠ADM ＝|DA →|·|DP →|，
所以cos∠ADM ＝13，则sin∠ADM ＝22
3，
所以|PQ →
|的最小值为2sin∠ADM ＝423
.
15．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，若|m ＋n |＝2. (1)求内角A 的大小；
(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．
解 (1)|m ＋n |2
＝(cos A ＋2－sin A )2
＋(sin A ＋cos A )2
＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋
4cos(π
4＋A )．
∵4＋4cos(π
4＋A )＝4，
∴cos(π
4
＋A )＝0.
∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，A ＝π
4.
(2)由余弦定理知：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 即a 2＝(42)2＋(2a )2
－2×42×2a cos π4，
解得a ＝42，∴c ＝8.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×2
2
＝16.。