集合与函数必修1检测考试试题含答案高一数学北京海淀

集合与函数必修1检测
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={0,1},则下列结论错误的是( )
A.0∈A
B.{1}∈A
C.⌀⊆A
D.{0,1}⊆A
2.若集合M={y|y=2x},P={y|y=√x-1},则M∩P=()
A.{y|y>1}
B.{y|y≥1}
C.{y|y>0}
D.{y|y≥0}
3.函数y=√lg(2-x)的定义域是( )
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,2]
C.(-∞,0]
D.(-∞,1]
4.已知f(x)={x2+1,x≤0,
2x,x>0,若f(x)=10,则x=( )
A.3或5
B.-3或5
C.±3
D.±3或5
5.已知f(x)是偶函数,x∈R,当x>0时, f(x)为增函数,若x
1<0,x
2
>0,且|x
1
|<|x
2
|,则
( )
A.f(-x
1)>f(-x
2
) B.f(-x
1
)<f(-x
2
)
C.-f(x
1)>f(-x
2
) D.-f(x
1
)<f(-x
2
)
6.已知幂函数y=f(x)的图象过点(1
2,√2
2
),则log2 f(2)的值为( )
A.1
2B.-1
2
C.2
D.-2
7.已知a>b,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=log
a
(x+b)的图象可能为( )
8.已知方程kx+3=log
2x的根x
满足x
∈(1,2),则( )
A.k<-3
B.k>-1
C.-3<k<-1
D.k<-3或k>-1
9.若函数f(x)={
(14)x
,x ∈[-1,0),4x
,x ∈[0,1],
则f(log 43)=( )
A.1
3 B.1
4 C.3 D.4
10.设a,b,c 均为正数,且2a
=lo g 1
2
a,(12)b
=lo g 12
b,(12)c
=log 2c,则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
11.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x 2-2x,则f(x)在R 上的表达式是( )
A.f(x)=x(x-2)
B.f(x)=x(|x|+2)
C.f(x)=|x|(x-2)
D.f(x)=x(|x|-2)
12.已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x 的取值范围是( )
A.(10,+∞)
B.(1
10,10)
C.(0,10)
D.(0,110)∪(10,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 13.若集合
M={x|x 2+x-6=0},N={x|ax-1=0},且
N ⊆M,则实数
a 的值
为 .
14.一名工人组装第x 件产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=√x x <A ,√A
x ≥A
(A,c 为常数).
已知这名工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么A 的值是 .
15.已知函数f(x)={2x -1,x >0,
-x 2-2x ,x ≤0,若函数g(x)=f(x)-m 有3个零点,则实数m 的取值范
围是 . 16.关于函数f(x)=lg
x 2+1|x |
(x≠0),有下列结论:
①其图象关于y 轴对称;
②当x>0时, f(x)是增函数;当x<0时, f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;
④f(x)在区间(-1,0),(2,+∞)上是增函数;
⑤f(x)无最大值,也无最小值.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.
18.(12分)已知全集U=R,A={x∈R|x2-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4时,存在集合M使得A⫋M⫋B,求出所有这样的集合M;
(2)集合A,B是否能满足(∁
U
B)∩A=⌀?若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
19.(12分)计算:
(1)1.5-1
3×(-
7
6
)
+80.25×√2
4+(√2
3×√3)6-√(2
3
)
2
3;
(2)log
3√
27+lg 25+lg 4+7log72+(-9.8)0.
20.(12分)已知函数f(x)=2x-5
x
.
(1)判断函数的奇偶性,并证明;
(2)用单调性的定义证明函数f(x)=2x-5
x
在(0,+∞)上单调递增.
21.(13分)某种海洋生物身体的长度f(t)(单位:米)与生长年限t(单位:年)满足如下的
函数关系:f(t)=10
1+2-t+4
(设该生物出生时t=0).
(1)需经过多长时间,该生物的身长超过8米?
(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米?并据此判断,这2年中哪一年长得更快.
22.(13分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=log
a (x+1),g(x)=log
a
1
1-x
,记F(x)=2f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的零点;
(2)若关于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.
一、选择题
1.B {1}与A 均为集合,而“∈”用于表示元素与集合的关系,所以B 错.
2.C 集合M 表示函数y=2x 的值域,为(0,+∞);集合P 表示函数y=√x -1的值域,为[0,+∞),所以M∩P={y|y>0},故选C.
3.D 由lg(2-x)≥0得2-x≥1,∴x≤1.
4.B 当x≤0时,由x 2+1=10,解得x=-3或x=3(舍去);当x>0时,由2x=10,解得x=5,故选B.
5.B ∵当x>0时, f(x)为增函数, ∴当|x 1|<|x 2|时, f(|x 1|)<f(|x 2|), 又∵f(x)是偶函数,∴f(-x 1)<f(-x 2).
6.A 设f(x)=x
α
,则√22=(12)α
,∴α=12,则
f(x)=x 12,∴f(2)=212
,∴log 2 f(2)=log 2212
=1
2.
7.B 易知0<b<1<a,所以g(x)=log a (x+b)为增函数,且g(0)<0,显然B 符合. 8.C 令f(x)=kx+3-log 2x, ∵x 0∈(1,2),∴f(1)·f(2)<0, 即(k+3)(2k+2)<0, ∴-3<k<-1.
9.C ∵log 43∈(0,1),∴f(log 43)=4log 43=3,故选C. 10.A 因为a,b,c 均为正数, 所以lo g 12
a=2a >1⇒0<a<1
2,
lo g 12
b=(12)b
∈(0,1)⇒1
2<b<1,
log 2c=(12)c
∈(0,1)⇒1<c<2,所以a<b<c,故选A. 11.D 当x<0时,-x>0, 则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x 2+2x, 因为f(x)是R 上的奇函数,
所以当x<0时, f(x)=-f(-x)=-(x 2+2x)=-x 2-2x, 故f(x)={x 2-2x ,
x ≥0,
-x 2
-2x ,
x <0,
即f(x)=x(|x|-2).选D.
12.B 易知函数g(x)=-f(|x|)为偶函数,因为函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以当
x≥0时,g(x)=-f(|x|)=-f(x)为减函数,所以当x<0时,函数g(x)=-f(|x|)为增函数.因为g(lg x)>g(1),所以-1<lg x<1,解得1
10<x<10.故选B. 二、填空题 13.答案 1
2或-1
3或0
解析 M={x|x 2+x-6=0}={x|(x+3)·(x -2)=0}={-3,2}, 当N=⌀时,满足题意,此时a=0; 当N≠⌀时,N={1a }, ∵N ⊆M,∴1
a ∈M, ∴1
a =-3或1a =2, ∴a=-1
3或a=1
2.
综上,a 的值为-1
3或1
2或0. 14.答案 16
解析
依题意得{√4
=30,√A
=15,
由此解得c=60,A=16.
15.答案 (0,1)
解析 在平面直角坐标系内作出函数f(x)={2x -1,x >0,
-x 2-2x ,x ≤0
的图象,如图所示.
发现当0<m<1时,函数f(x)的图象与直线y=m 有3个交点,即函数g(x)=f(x)-m 有3个零点.
16.答案 ①③④ 解析 易证f(x)=lg x 2+1|x |
(x≠0)为偶函数,故f(x)的图象关于y 轴对称.令
u(x)=
x 2+1|x |
(x≠0),则当x>0时,u(x)=x+1
x 在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,
∴f(x)在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增, ∵f(x)是偶函数,
∴f(x)在(-1,0)上递增,在(-∞,-1]上递减.
∴f(x)的最小值为lg 2.
综上所述,正确结论的序号是①③④. 三、解答题
17.解析 当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠⌀时,则有{a +3≥2a ,a +3<-1或{a +3≥2a ,
2a >4,
解得a<-4或2<a≤3.
综上,实数a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞). 18.解析 B={-4,1,2}. (1)当b=4时,A=⌀, 所以M≠⌀且M ⫋B,
所以符合题意的集合M 有6个,分别是{-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}. (2)能.由题意知,A ⊆B,
①若A=⌀,则Δ=9-4b<0,所以b>9
4;
②若A≠⌀,则方程x 2-3x+b=0有实根,设两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系知,x 1+x 2=3. 因为A ⊆B,所以A={1,2}, 所以b=1×2=2. 综上,b=2或b>9
4.
19.解析 (1)原式=(3
2)-13
×1+814×214+(213×31
2
)6-[(2
3)23
]12
=(23)1
3×1+234+1
4+22×33-(23)1
3
=2+108=110.
(2)原式=log 3332
+lg(25×4)+2+1 =3
2+lg 102+3=3
2+2+3=13
2.
20.解析 (1)函数f(x)=2x-5
x 是奇函数.
证明如下:易知f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称. 因为f(-x)=2(-x)-5
-x =-2x+5
x =-(2x -5
x )=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)证明:任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2, 则f(x 2)-f(x 1)
=2x 2-5x 2
-(2x 1-5
x 1
)
=2(x 2-x 1)+5(1x 1
-1
x 2
)
=(x 2-x 1)(2+5
x
1x 2
),
因为0<x 1<x 2,所以x 2-x 1>0,x 1x 2>0,所以f(x 2)-f(x 1)>0,即f(x 2)>f(x 1), 所以f(x)=2x-5
x 在(0,+∞)上单调递增.
21.解析 (1)由f(t)=10
1+2-t+4≥8,即2-t+4≤1
4,解得t≥6. 即该生物6年后身长超过8米.
(2)由于f(3)-f(2)=10
1+2-10
1+22=4
3, f(4)-f(3)=10
1+20-10
1+21=5
3,
所以,第3年长了4
3米,第4年长了5
3米,因为53>4
3,所以第4年长得快. 22.解析 (1)F(x)=2f(x)+g(x) =2log a (x+1)+log a 11-x , 由{x +1>0,11-x
>0,解得-1<x<1,
所以函数F(x)的定义域为(-1,1). 令F(x)=0,
则2log a (x+1)+log a 11-x =0(*). 方程变为log a (x+1)2=log a (1-x), (x+1)2=1-x,即x 2+3x=0, 解得x 1=0,x 2=-3(舍去), 所以方程(*)的解为x=0, 所以函数F(x)的零点为0.
(2)因为函数y=x+1,y=11-x 在(-1,1)上是增函数,
所以当a>1时,F(x)=2f(x)+g(x)在定义域(-1,1)上是增函数; 当0<a<1时,函数F(x)=2f(x)+g(x)在定义域(-1,1)上是减函数. 问题等价于关于x 的方程2m 2-3m-5=F(x)在区间[0,1)内仅有一解. 当a>1时,函数F(x)在[0,1)上是增函数,
所以F(x)∈[0,+∞),所以只需2m 2-3m-5≥0,解得m≤-1或m≥5
2;
当0<a<1时,函数F(x)在[0,1)上是减函数,所以F(x)∈(-∞,0],所以2m2-3m-5≤0,解得-1≤m≤5
.
2
,+∞);
综上所述,当a>1时,m的取值范围是(-∞,-1]∪[5
2
].
当0<a<1时,m的取值范围是[-1,5
2。